四柱坐标系与球坐标系简介

1、四柱坐标系与球坐标系简介,学习目标 1.了解柱坐标系、球坐标系的特征. 2.掌握柱坐标系、球坐标系与空间直角坐标系的关系，并掌握坐标间的互化公式. 3.能利用柱坐标、球坐标与空间坐标的转化解决相关问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一柱坐标系,答案空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.,思考要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？,梳理柱坐标系的概念 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间 任意一点，它在平面Oxy上的射影为Q，用(，) (0,02)表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这 时点P的位置可用有序数组 (zR)表示， 这样

2、，我们建立了空间的点与有序数组(，z) 之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(，z)叫做点P的柱坐标，记作 ，其中_.,(，z),0,02，zR,P(，z),(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为,x = _， y = _ ， z = _.,z,cos ,sin ,思考要刻画空间一点的位置，在空间直角坐标系中，用三个距离来表示，在柱坐标系中，用两个距离和一个角来表示，那么，能否用两个角和一个距离来表示.,知识点二球坐标系,答案可以.,梳理球坐标系的概念 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意 一点，连接OP，记|O

3、P|r，OP与Oz轴正向所夹的角 为，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方 向旋转到OQ时所转过的最小正角为.这样点P的位置 就可以用有序数组 表示.这样，空间的点与 有序数组(r，)之间建立了一种对应关系，把建 立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)叫做点P的球坐标，记作 ，其中 .,r，,r0,0，02,P(r，),(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的变换关系为,x = _， y = _， z = _.,rcos ,rsin cos ,rsin sin ,题型探究,例1(1)已知点A的直角坐标为(1， ，4)，求它的柱坐标；

4、,类型一柱坐标与直角坐标的互化,(2)已知点P的柱坐标为 ，求它的直角坐标.,反思与感悟(1)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(，z)，代入变换公式 求；也可以利用2x2y2，求.利用tan ，求，在求的时候特别注意角所在的象限，从而确定的取值. (2)点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同.,跟踪训练1(1)已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标；,(2)已知点N的柱坐标为 ，求它的直角坐标.,故点N的直角坐标为(0,2,3).,例2(1)已知点P的球坐标为 ，求它的直角坐标；,类型二球坐标与直角坐标的互化,解由变换公式，得,(2)已知点M的直角坐标为(2，2，

5、2 )，求它的球坐标.,解由坐标变换公式，可得,反思与感悟由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r，)，利用变换公式 求出r，即可；也可以利用r2x2y2z2，tan ，cos 来求，要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚和所在的位置.,跟踪训练2把下列各点的球坐标化为直角坐标.,解设点的直角坐标为(x，y，z).,例3已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面ABCD边长为1，高AA1为 ，建立空间直角坐标系(如图)，Ax为极轴，求点C1的直角坐标，柱坐标及球坐标.,类型三求点的坐标,设C1的球坐标为(r，)，其中r0,0，02，,由xrsin cos ，yrsin sin ，zrc

6、os ，,反思与感悟(1)弄清空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系之间的关系，灵活运用直角坐标与柱坐标及球坐标的互化公式. (2)结合图形，更直观地看到三种坐标之间的联系.,跟踪训练3在例3的条件下，求点C，A1的直角坐标、柱坐标及球坐标.,解C的直角坐标为(1,1,0)， 设C的柱坐标为(，z)，球坐标为(r，)(0,0，02).,达标检测,1.在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为 ，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为,1,2,3,4,5,2.设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为,1,2,3,4,5,3.在球坐标系中，方程r2表示空间的 A.球 B.球面 C.圆 D.直线,

7、1,2,3,4,5,4.点P的柱坐标为 ，则点P到原点的距离为_.,1,2,3,4,5,5,1,2,3,4,5,5.已知点M的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r，)，则tan _，tan _.,2,解析如图所示，,1.空间点的坐标的确定 (1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标来确定的，即(x，y，z). (2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(，z). (3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点连线与x轴正方向所成的角，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角，以及点到原点的距离组成的，即(r，).注意求坐标的顺序为到原点的距离r；与z轴正方向所成的角；与x轴正方向所成的角.,