§1.9 连续函数的运算

1、1,1.11 连续函数的运算与初等函数的连续性,四则运算的连续性,反函数与复合函数的连续性,小结 思考题 作业,初等函数的连续性,第一章 函数与极限,2,定理1,如,则,由于,一、四则运算的连续性,也在点 x0连续;,在其定义域内连续.,在点 x0连续;,在点 x0连续.,3,如,结论: 反三角函数在其定义域内皆连续,定理2,故,同理,二、反函数与复合函数的连续性,单调增加,且连续,单调的连续函数,必有单调的连续反函数.,也是单调增加且连续.,单调减少且连续.,单调增加且连续.,单调减少且连续.,4,此定理对计算某些极限是很方便的.,定理3,设函数,是由函数,复合而成,而函数,连续,则,5,例

2、,解,由,所以,6,定理4,设函数,是由函数,与函数,复合而成,若函数,连续,而函数,连续,则复合而成,也连续.,是由连续函数,因此,复合而成,例,7,三角函数及反三角函数,(1),(2),(3),是连续的;,三、初等函数的连续性,单调且连续;,指数函数,对数函数,单调且连续;,(均在其定义域内连续 ),(4),幂函数,连续;,在它们的定义域内,8,定义区间是指包含在定义域内的区间.,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数 在定义区间内 连续,1. 初等函数仅在其定义区间内连续,如,这些孤立点的邻域内没有定义.,注,在其定义域内不一定连续;

3、,9,例,例,解,解,2. 初等函数求极限的方法,注,代入法.,10,利用连续性求极限练习,练习,练习,解,解,练习,练习,11,求,解:,原式,练习,12,练习,解,2002年考研数学三, 填空题, 3分,13,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,例 讨论函数,解,为间断点,14,例 确定函数,间断点的类型.,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,15,四、小结,连续函数的和差积商的连续性;,复合函数的连续性:,初等函数的连续性:,求极限的又一种方法.,两个定理; 两点意义.,反函数的连续性;,定义区间与定义域的区别;,1

4、6,思考题1,如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不,那么, f (x) + g(x)在该点是否连续?,连续,思考题2 (是非题),处有定义,则,17,解答,思考题1,如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不,那么, f (x) + g(x)在该点是否连续?,连续,(1) 若两个函数 中只有一个在点x0不连续,则f (x) + g(x)在点x0必不连续.,用反证法证之:,不妨设在点x0,并假设,f (x) + g(x)在点x0连续,则由连续函数的运算性,质有:,在点x0连续,与已知矛盾.,故 f (x) + g(x)在点x0不连续.,f (x)连续,g(x)不连续;,18,解答,思考题1,如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不连续,(2) 若f (x)、g(x)在点x0均不连续,则,在f (x) + g(x)在点x0可能连续,那么, f (x) + g(x)在该点是否连续?,也可能不连续.,如:,在 x = 0处均不连续,在 x = 0处,在 x = 0处连续.,在 x = 0处均不连续,在 x = 0处亦不连续.,19,思考题2 (是非题),处有定义,则,非,故,但,20,思考题2 (是非题),处有定义,则,所以,不存在.,故,正确的说