第三章-随机变量的数字特征.ppt

1、3.1数学期望一.数学期望的定义,例1 设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2,数学期望描述随机变量取值的平均特征,则学生的平均成绩是总分总人数(分)。即,定义 3.1 离散型随机变量P=xk=pk, k=1,2,n, 若级数,，则称,为随机变量的数学期望，简称期望或均值。,（3.1）,对于离散型随机变量 , E就是的各可能值与其 对应概率乘积的和.,例1 若服从0-1分布,其概率函数为P= k=Pk(1-p)1-k (k=0,1), 求E.,解：,例2 甲,乙两名射手在一次射击中得分(分别用, 表示)的

2、分布律如表3-2,表3-3所示.,这表明,如果进行多次射击,他们得分的平均值是2.1和2.2,故乙射手较甲射手的技术好.,试比较甲乙两射手的技术.,解：,例3 一批产品中有一,二,三等品,等外品及废品5种,相应的概率分别为0.7, 0.1, 0.1, 0.06及0.04,若其产值分别为6元, 5.4元, 5元,4 元及0元.求产品的平均产值.,E=6x0.7+5.4x0.1+5x0.1+4x0.06+0 x0.04 =5.48( 元),解 ：产品产值是一个随机变量,它的分布率如表3-4:,例4 掷一颗均匀的骰子，以表示掷得的点数，求的数学期望。,定义 3.2 P(63) 设连续型随机变量(x)

3、, - x+,若,为的数学期望。,则称,连续型随机变量的数学期望是它的概率密度(x)与实数x的乘积在 (-,+)无穷区间上的广义积分.,（3.2）,例5 计算在区间a, b上服从均匀分布的随机变量的数学期望.,解：,E(c)=c, c为常数; E(+c)=E()+c, c为常数; 3. E(c)=c E(), c为常数;,3.2 数学期望的性质(P64),证明:设(x),则,4. E(k+b)=E(k)+b=kE()+b,EX1：设随机变量X的分布律为,解:,求随机变量Y=X2的数学期望,X,Pk,-1 0 1,Y,Pk,1 0,随机变量函数的期望,(p66) 定理1 若 P=xk=pk, k

4、=1,2, 则=f()的期望Ef()为,推论: 若 (,) P=xi ,=yj,= pij, i, j=1, 2, , 则= f(,)的期望,（3.6）,(p66) 定理2 若(x), -x, 则=f()的期望,推论 若(,) (x, y), -x, -y, 则=f(,)的期望,（3.7）,5. E(+)=E()+E();,证明:设(,)(x,y),这个性质可以推广到任意有限个随机变量的情况,即对于n2也同样有,特别地, n个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量,其期望值等于这个随机变量的算术平均数,即：,6. 若与独立，则,证明:设(,)(x, y),例1 随机变量，的概率分布如下：,求:,

5、解：,E90.3+100.5+110.29.9,E60.4+70.66.6,E=EE=9.96.6=65.34,与相互独立,这是因为,(3.5)式要求两个随机变量相互独立,而一个随机变量与它本身绝不能说是独立的,因此,一般说来,注意,下面的计算法是错误的,例2 有一队射手共9人,技术不相上下,每人射击中靶的概率均为0.8;进行射击,各自打中靶为止,但限制每人最多只打3次.问大约需为他们准多少发子弹?,解 设i表示i名射手所需的子弹数目, 表示9名射手所需的子弹数目,依题意,并且i有如下分布律,再多准备10% 15%,大约为他们准备13发子弹.,例3 设随机变量(,)的分布律如下，求E(),解:

6、,例4 某无线电元件的使用寿命是一个随机变量, 其概率密度为,其中0,求这种元件的平均使用寿命.,解：,设的概率密度为，,EX,求 E(2), E(3) ，E(4)。,例5 据统计,一位40岁的健康(一般体检未发现病症)者,在5年之内活着或自杀死亡的概率为p(0a),b应如何定才能使公司可期望获益;若有m人参加保险,公司可期望从中获益多少?,解 设i表示公司从第i个参加者身上所得的收益,则i是一个随机变量,其分布如下,公司期望获益Ei0,而 Ei= ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p) 因此,aba(1-p)-1 对于m个人,公司期望获益E元,EX,P75 2、4、9,3.3条件期望,

7、解,因此,在2=1条件下,关于1的平均值应为,例1 计算2.3例2中在第2个邮筒有一封信的条件下 第1个邮筒内信的数目的平均值.,对于二元离散型随机变量(, ),在取某一个定值,比如 =xi的条件下,求的数学期望,称此期望为给定=xi时的条件期望,记作,同样地定义给定 =yj时关于的条件期望为,对于二元连续型随机变量,定义:,其中(y/x)及(x/y)分别是在 =x 的条件下关于的条件概率密度和在 =y条件下关于的条件概率密度.当然这个定义假定各式都是有意义的.,3.4 方差一. 定义与性质,方差是衡量随机变量取值波动 程度 的一个数字特征。,如何定义？,定义3.3 如果随机变量的数学期望E存

8、在, 称 E为随机变量的离差.,？,1.(p70)定义3.4 随机变量离差平方的数学期望,称为随机变量的方差,记作D或 2 .,可见,显然,随机变量离差的期望是0,即E ( E)=0不论正偏差大还是负偏差大,同样都是离散程度大,为了消除离差E的符号,用( E)2来衡量与E的偏差.,可见,随机变量的方差是一个非负数,常量的方差是0.当的可能值密集在它的期望值E附近时,方差较小,反之则方差较大.因此,方差的大小可以表示随机变量分布的离散程度.,例1 若服从0-1分布,其概率函数为P= k=Pk(1-p)1-k (k=0,1), 求D.,解：,2.推论 D()=E(2)E()2 （3.17）,证明:

9、,这个公式很重要,它不仅证明了一般情况下随机变量 平方的数学期望大于其期望的平方这个重要结论, 而且经常用它来简化方差的计算.,例2：设随机变量的概率密度为,1)求D, 2)求,3. 方差的性质 (1) D(c)=0 反之，若D=0，则存在常数C，使 P=C=1, 且C=E();,(2) D(+c)=D(), c为常数；,证明:,(3) D(a)=a2D(), a为常数；,证明:,综合上述三个性质，有：,证明:,(4)若与独立，则D(+)=D+D,X与Y独立,特别的,进一步可得:n个相互独立随机变量算术平均数的 方差等于其方差算术平均数的1/n倍:,例3 计算在区间a,b上服从均匀分布的随机变

10、量的 方差. 解：,利用(3.17)式,有,例4 计算2.4例3中的方差.,解 一种方法是求出-的分布,然后直接应用方差定义计算.但更简单的方法是先计算出与各自的方法,再利用方差性质求出D(-).,同理计算：E=6.6 E2 =43.8 D=0.24,D(-)=D+D=0.4+0.24=0.64,例5 若连续型随机变量的概率密度是,已知E=0.5, D=0.15, 求系数a, b, c.,解:,协方差，相关系数一.协方差定义与性质,1.协方差定义 (P74)若二元随机变量 （，）的期望E()和E()存在, 则称 COV(, )=EE()E(). （3.18） 为与的协方差, 易见 COV(,

11、)=E()E()E().,当COV(, )=0时，称与不相关。,？,“与独立”和“与不相关”有何关系？,设(X, Y)在D=(X, Y)：x2+y21上服从均匀分布，求X与Y相关系数，问X与Y是否独立。,EX,解： (X, Y)的联合密度为,X的密度为,X与Y不相关,Y的密度为,COV(X,Y)=E(XY)-EXEY=0,由于,X与Y不独立,X与Y是既不相关又不独立的两个随机变量,因此，独立的两个随机变量一定不相关；,不相关的两个随机变量不一定独立。,2.协方差性质 (1) COV(X, Y)=COV(Y, X); (2) COV(X,X)=D(X); COV(X,c)=0 (3) COV(aX, bY)=abCOV(X, Y), 其中a, b为 常数； (4) COV(X+Y，Z)=COV(X, Z)+COV(Y, Z);,二.相关系数,1. 定义 若随机变量 ，的方差和协方差均存在, 且D0, D 0，则,称为与的相关系数.,可以证明 | 1 。 如果 | =1 , 与有线性关系,称与完全线性关系; 如果 =0,称与不相关。 实际上是刻画与间线性相关程度的一个数字特征