2521锐角三角函数

1、锐角三角函数,直角三角形,一、边的关系（勾股定理）：,二、角的关系：A+B=90,三、边角的关系,我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为RtABC，直角C所对的边AB称为斜边， 用c表示，另两条直角边分别叫A的对边 与邻边，用a、b表示.,如图，在RtMNP中，N90.P的对边是_,P的邻边是_;M的对边是_,M的邻边是_;,MN,PN,PN,MN,3、如图：在RtABC中，ACB90， CDAB于点D;则A的对边有 _,A的邻边有_; B的对边有_, B的邻边有_; ACD邻边有_;,CD、BC,AC、AD,AC、CD,BD、BC,CD,观察图中的RtAB1C1、RtAB2C2和RtAB3

2、C3，它们之间有什么关系？,RtAB1C1RtAB2C2RtAB3C3,所以_=_.,可见，在RtABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的.,B2C2 AC2,B3C3 AC3,AC1 AB1,=,AC2 AB2,=,AC3 AB3,（邻边与斜边的比相等）,B1C1 AB1,=,B2C2 AB2,B3C3 AB3,=,（对边与斜边的比相等）,同样发现,对于锐角A的每一个确定的值,其邻边与对边的比值也是唯一确定的,因此这几个比值都是锐角A的函数.,如图，在RtABC中，C90，我们把锐角A的对边与斜边的比 叫做A的正弦（sine），记为sinA . 把锐角A的邻边与斜

3、边的比叫做A的余弦（cosine），记为cosA,c,a,b,对边,斜边,锐角三角函数的定义,邻边,如图，在RtABC中，C90，我们把锐角A的对边与邻边的比 叫做A的正切，记为 tanA 即,c,a,b,对边,斜边,锐角三角函数的定义,如图，在RtABC中，C90，我们把锐角A的邻边与对边的比 叫做A的余切，记为cotA 即,邻边,锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数。,c,a,b,锐角三角函数的定义,在RtABC中，C90,议一议:你将采用什么方法记住A的锐角三角函数?,特别提醒：,1. 我们研究的锐角三角函数都是在直角三角形中定义的.,2. 三角函数的实质是一个比值，没有

4、单位，而且这个比值只与锐角的大小有关与三角形边长无关.,3. sin A、cos A、tan A、cot A都是表达符号,它们是一个整体,不能拆开来理解.,4. sin A、cos A、tan A、cot A中A的角的记号“”习惯省略不写,但对于用三个大写字母和阿拉伯数字表示的角,角的记号“” 不能省略.如sin 1不能写成sin1. tan ACB不能写成tan ACB,如图在RtMNP中，N90. sinP=_; sinM=_;tanM=_; cotP=_,MN PM,PN PM,PN MN,PN MN,如图：在RtABC中，ACB90， CDAB于点D; sin ACD=_;,AD AC

5、,BD BC,BC AB,或,提示:在求三角函数值时关键要找准哪些边?,cos B=_,或,CD AC,例1 如图，在RtABC中，C90，求sinA和sinB的值,解： （1）在RtABC中， C90,（2）在RtABC中， C90,A,B,C,A,B,C,3,4,13,5,根据下图，求A的四个三角函数值,A,B,C,3,5,解： 在RtABC中， C90,练一练,试试求 B的四个三角函数值,注：对于锐角三角函数式的求值问题 的基本解法是构造直角三角形，利用定义。 求锐角三角函数值的实质就是求直角 三角形的两边的比,1：取值范围：,0sinA1 0cosA1,tanA0 cotA0,2.互余

6、两角之间的三角函数关系:,直角三角形两锐角互余:A+B=900.,则 sinA=cosB或cosA=sinB.,tanA=cotB或cotA=tanB. tanAtanB1,3.同角之间的三角函数的关系,平方和关系:,商的关系:,倒数关系:,2、如图：下列式子中成立的是（ ） A a=csinB B a=ccosB C a=ctanB D a=ccotB,1、在RtABC中，将边AB、BC、AC均扩大到3倍， 则锐角A的正弦值将（ ） A 扩大到3倍 B 缩小到1/3 C 不变 D不能确定,锐角三角函数的定义,3、如图：在RtABC中，C90， CDAB于点D， 则下列结论中不正确的是（ ）,

7、2题,3题,C,B,D,sin A=,cos A=,tan A=,cot A=,0sin A1，0cos A1,小结:这节课你学到了哪些知识?,1.如图:在等腰ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB.,小测验,2、如图，RtABC中， C90 ，CDAB，AD=8，BD=4，求tanA的值。,3、若sin=cos15 , 则锐角 度。,5、如果是锐角，且sin2+cos2 35=1，那么 度。,4、若tanA tan15= 1，则锐角A = 。,3、在RtABC中，C = 90，若sinA = cosA ，则tanA = 。,6、已知sin+cos= ，则si

8、ncos= 。,作业,3、如图，ADCD，AB=13，BC=12，AD=4，CD=3，求sinB.,3题,4题,新知探索:30角的三角函数值,sin30=,cos30=,tan30=,cot30=,特殊角的三角函数值,cos45=,tan45=,sin45=,新知探索:45角的三角函数值,cot45=,特殊角的三角函数值,sin60=,cos60=,tan60=,新知探索:60角的三角函数值,cot60=,特殊角的三角函数值,1,1,角度 逐渐 增大,正弦值如何变化?,正弦值也增大,余弦值如何变化?,余弦值逐渐减小,正切值如何变化?,正切值也随之增大,余切值如何变化?,余切值逐渐减小,特殊角的

9、三角函数值,1）当角度在0-90之间变化时，正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）,2）当角度在0-90之间变化时，余弦值（余切值）随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）,三角函数值的变化规律,例 填空：比较大小,三角函数值的变化规律,特殊角的三角函数值,特殊角的三角函数值,锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数。,c,a,b,锐角三角函数的定义,在RtABC中，C90,锐角三角函数的值都是正数。,0sinA1,0cosA1,tanA0,cotA0,1,1,特殊角的三角函数值,理解定义：,1、你认为A的正弦、余弦的定义有什么区别？正切、余切呢？,2、你能利用直角三角形的三边关系 得到sinA与 cosA的取值范围吗？,0sin A1，0cos A1,3、根据定义，sin2A和cos2A有什么 关系？,4、tan A与cot A之间有什么关系呢？,tan Acot A=1,sin2A+cos2A=1,（1）平方关系： sin2A+cos2A=1,（2）倒数关系： tanA cotA=1,（3）商式关系：,同角三角函数的关系,互余两角三角函数之间的关系,锐角三角函数,1、特殊角