1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

1、要点梳理 1.命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以_ 的陈述句叫做命题.其中_的语句叫真命题, _的语句叫假命题.,1.2 命题及其关系、充分条 件与必要条件,判断真假,判断为真,判断为假,基础知识 自主学习,2.四种命题及其关系 （1）四种命题,若q,则p,（2）四种命题间的逆否关系,逆命题,逆否命题,否命题,(3)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们有_的真假性; 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假 性_. 3.充分条件与必要条件 (1)如果p q,则p是q的_,q是p的_; (2)如果pq,qp,则p是q的_. 4.特别注意：命题的否命题是既否定命题的条件

2、,又 否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的 结论.,相同,没有关系,充分条件,必要条件,充要条件,基础自测 1.下列语句是命题的是 （ ） 求证 是无理数； x2+4x+40； 你是高一的学生吗？ 一个正数不是素数就是合数； 若xR，则x2+4x+70. A. B. C. D.,解析 不是命题，是祈使句，是疑问句.而 是命题，其中是假命题，如正数 既不是 素数也不是合数，是真命题，x2+4x+4=(x+2)20 恒成立，x2+4x+7=(x+2)2+30恒成立. 答案 C,2.命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是 （ ） A.“若xy,则x2y2” C.“若xy，则x2y2” D.“若

3、xy,则x2y2”,C,3.(2009江西文,1)下列命题是真命题的为（ ） A. B.若x2=1,则x=1 C.若x=y,则 D.若xy,则x2y2 解析 得x=y,A正确，B、C、D错误.,A,4.（2008湖北理，2）若非空集合A、B、C满足 AB=C,且B不是A的子集，则 （ ） A.“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件 B.“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件 C.“xC”是“xA”的充要条件 D.“xC”既不是“xA”的充分条件也不是 “xA”的必要条件 解析 由题意知，A、B、C的关系可用 右图来表示. 若xC，不一定有xA，而xA,则必有xC， “xC”是“xA”的

4、必要条件但不是充分条件.,B,5.(2009四川文,7)已知a,b,c,d为实数,且cd,则 “ab”是“a-cb-d”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 cd,-cb, a-c与b-d的大小无法比较； 当a-cb-d成立时，假设ab,-cb. 综上可知，“ab”是“a-cb-d”的必要不充分 条件.,B,题型一 命题的关系及命题真假的判断 【例1】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否 命题，并判断它们的真假. （1）面积相等的两个三角形是全等三角形. （2）若q1,则方程x2+2x+q=0有实根. （3）若x2+y2=0，则

5、实数x、y全为零. ,写成“若p，则q”的形式,写出逆命题、否命题、逆否命题,判断真假,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 （1）逆命题：全等三角形的面积相等,真命题. 否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形， 真命题. 逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命 题. (2)逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根,则q1,假命题. 否命题：若q1,则方程x2+2x+q=0无实根，假命题. 逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q1, 真命题.,(3)逆命题:若实数x,y全为零,则x2+y2=0,真命题. 否命题:若x2+y20,则实数x,y不全为零,真命题. 逆否命题:若实数x

6、,y不全为零,则x2+y20,真命题. (1)在写一个命题的逆命题、否命题、逆 否命题时，首先要看这个命题是否有大前提.若有大 前提，必须保留其大前提，大前提不能动. （2） 原命题和其逆否命题等价.,探究提高,知能迁移1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否 命题，并判断其真假. （1）若m,n都是奇数，则m+n是奇数. （2）若x+y=5,则x=3且y=2. 解 （1）逆命题:若m+n是奇数，则m,n都是奇 数，假命题. 否命题：若m、n不都是奇数,则m+n不是奇数, 假命题. 逆否命题：若m+n不是奇数,则m,n不都是奇数, 假命题. （2）逆命题：若x=3且y=2，则x+y=5,真命题.

7、 否命题：若x+y5，则x3或y2，真命题. 逆否命题：若x3或y2，则x+y5,假命题.,题型二 充要条件的判断 【例2】指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充 分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条 件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在ABC中，p：A=B，q：sin A=sin B; (2)对于实数x、y，p：x+y8,q:x2或y6; (3)非空集合A、B中，p：xAB，q：xB; (4)已知x、yR，p：(x-1)2+(y-2)2=0， q：(x-1)(y-2)=0. 首先分清条件和结论，然后根据充要条 件的定义进行判断.,思维启迪,解 （1）在ABC中

8、，A=B sin A=sin B，反 之，若sin A=sin B，因为A与B不可能互补（因为三 角形三个内角和为180),所以只有A=B. 故p是q的充要条件. (2)易知, p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然 q p, 但 p q,即 q是 p的充分不必要条件,根据原命题 和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件. (3)显然xAB不一定有xB,但xB一定有 xAB,所以p是q的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2, 所以pq但q p,故p是q的充分不必要条件.,探究提高 判断p是q的什么条件，需要从两方面分 析:一是由条件p能否推得条件q,二

9、是由条件q能否推 得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命 题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观 化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题 的等价性，转化为判断它的等价命题.,知能迁移2 （2009安徽理，4）下列选项中,p是 q的必要不充分条件的是 （ ） A.p:a+cb+d,q:ab且cd B.p:a1,b1,q:f(x)=ax-b(a0,且a1)的图象不过 第二象限 C.p:x=1，q:x2=x D.p:a1,q:f(x)=logax(a0,且a1)在（0,+）上 为增函数,解析 由于ab,cd a+cb+d，而a+cb+d却不一定 推出ab,cd.故A中p是q的

10、必要不充分条件.B中,当 a1,b1时，函数f(x)=ax-b不过第二象限,当f(x)=ax- b不过第二象限时，有a1,b1.故B中p是q的充分不 必要条件.C中，因为x=1时有x2=x，但x2=x时不一定有 x=1，故C中p是q的充分不必要条件.D中p是q的充要条 件. 答案 A,题型三 充要条件的证明 【例3】 （12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个 负数根的充要条件为a0或a=1. 思维启迪 （1）注意讨论a的不同取值情况； （2）利用根的判别式求a的取值范围. 证明 充分性： 当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为 方程只有一负根. 2分 当a=1时，方程为x2+2x+

11、1=0，其根为x=-1, 方程只有一负根. 4分 当a0，方程有两个不相等的根，,且 0，方程有一正一负根. 6分 必要性： 若方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根. 当a=0时，适合条件. 8分 当a0时，方程ax2+2x+1=0有实根， 则=4-4a0，a1， 当a=1时，方程有一负根x=-1. 10分 若方程有且仅有一负根， 综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为 a0或a=1. 12分,探究提高 （1）条件已知证明结论成立是充分性. 结论已知推出条件成立是必要性； （2）证明分为两个环节，一是充分性;二是必要性. 证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”,而 应该进

12、行由条件到结论，由结论到条件的两次证明； （3）证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这 就要分清哪是条件，哪是结论.,知能迁移3 求证方程x2+ax+1=0的两实根的平方和大 于3的必要条件是|a| 这个条件是其充分条件 吗？为什么？ 证明 设x2+ax+1=0的两实根为x1,x2, 则平方和大于3的等价条件是 |a| 这个条件是必要条件但不是充分条件.,1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必 须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并 列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其 中一个（或n个）作为大前提. 2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命 题与定理是有区别的

13、；命题有真假之分，而定理都 是真的.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,3.命题的充要关系的判断方法 (1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法：即利用 的等价关系，对 于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:若AB,则A是B的 充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要 条件.,1.否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论， 而命题的否定是只否定命题的结论.要注意区别. 2.判断p与q之间的关系时,要注意p与q之间关系的方 向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆.,失误与防范,一、选择题 1.（2009重庆文，2）命

14、题“若一个数是负数，则 它的平方是正数”的逆命题是 （ ） A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数，则它是负数” C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解析 原命题的逆命题:若一个数的平方是正数， 则它是负数.,B,定时检测,2.（2009浙江理，2）已知a,b是实数，则“a0且 b0”是“a+b0且ab0”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当a0且b0时，一定有a+b0且ab0.反之， 当a+b0且ab0时，一定有a0,b0.故“a0且

15、b0” 是“a+b0且ab0”的充要条件.,C,3.（2008广东文，8）命题“若函数f(x)=logax (a0,a1)在其定义域内是减函数，则loga20,a1)在其定 义域内不是减函数 B.若loga20,a1)在其定 义域内不是减函数 C.若loga20，则函数f(x)=logax(a0,a1)在其定 义域内是减函数 D.若loga20,a1)在其定义 域内是减函数,解析 由互为逆否命题的关系可知,原命题的逆否命 题为：若loga20，则函数f（x）=logax(a0,a1) 在其定义域内不是减函数. 答案 A,4.已知A=x|x-1|1,xR,B=x|log2x1,xR, 则“xA”

16、是“xB”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 A=x|x2或x0，B=x|x2， xA xB，但xB xA.,B,5.集合A=x|x|4,xR,B=x|x5”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 A=x|-4x4,若AB，则a4, a4 a5,但a5a4. 故“A B”是“a5”的必要不充分条件.,B,6.（2009北京文，6） 的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 这说明 外 还可以取其他的值.所以

17、的 充分而不必要条件.,A,二、填空题 7.若“x2,5或xx|x4”是假命题，则x 的取值范围是_. 解析 x2，5且xx|x4是真命题. 由 得1x2 .,1,2),8.设p:|4x-3|1;q:(x-a)(x-a-1)0，若p是q的充 分不必要条件,则实数a的取值范围是_. 解析 p: x1,q：axa+1, 易知p是q的真子集，,9.(2009江苏,12)设 和 为不重合的两个平面， 给出下列命题：若 内的两条相交直线分别平行 于 内的两条直线，则 平行于 ； 若 外一条直线l与 内的一条直线平行，则l和 平行； 设 和 相交于直线l，若 内有一条直线垂直于 l，则 和 垂直； 直线l

18、与 垂直的充分必要条件是l与 内的两条直 线垂直. 上面命题中，真命题的序号为_（写出所有真 命题的序号）.,解析 命题是两个平面平行的判定定理，正确;命 题是直线与平面平行的判定定理，正确；命题中 在 内可以作无数条直线与l垂直,但 与 只是相交 关系，不一定垂直，错误；命题中直线l与 垂直 可推出l与 内两条直线垂直，但l与 内的两条直线 垂直推不出直线l与 垂直，所以直线l与 垂直的必 要不充分条件是l与 内两条直线垂直. 答案 ,三、解答题 10.已知命题p: 命题q:1-mx1+m,m0, 若 的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 解 p：x-2,10，q：x1-m,1+m,m0, 的必要不充分条件，pq且q p. -2，101-m，1+m.,11.已知p:|x-