向量代数与空间解析几何基本概念.ppt

1、,1向量及其运算,数量：,只有大小，,单用实数就可以表示的量。,向量：,既有大小，,又有方向的量。,考虑 xy 平面上的向量，几何上该向量可表示为 xy 平面上一有向线段。,o,x,y,Q,R,Q：始点,R：终点,若将其平移，始点移至原点 O，而其终点对应于平面上一个点 P(x, y).,如此，平面上每一个向量都唯一确定了平面上的一个点P(x, y)；,反之，平面上任意一点 P(x, y) 也唯一确定了平面上以 O 为始点，P 为终点的一个向量.,即,平面向量与平面上的点是一一对应的.,也即,二元有序数组(x, y)表,我们也称 (x, y) 为二维向量.,示了平面上一向量，,平面向量 平面上

2、点 二元有序数组,定义1,由n个数 a1, a2, an 所组成的有序数组, = (a1, a2, an),称为n维向量.,数 a1, a2, an 称为向量 的分量,(坐标)，,aj 称为向量 的第 j 个分量,(坐标).,一般地，我们用, , 表示向量，a, b, c 或 x, y, z 表示其分量.,其它表示法,u, v,平行四边形法则,一般可定义如下基本运算.,问题：,是否和数一样，可以对向量进行运算？,回忆合力的运算.,定义2,设 = (a1, a2, an), = (b1, b2, bn),为 n 维向量，可定义和运算：,由此，可定义 n 维向量中两个典型向量：,零向量0: 满足

3、+0=. 由加法定义知：,0=(0, 0, 0);,负向量 ：满足 +( )= 0. 由加法定义知, =( a1, a2, , an).,o,x,y,a1,a2,a2,b2,b1,b1,A,几何上,平行四边形法则,(a1+b1, a2+b2),o,x,y, +,上图可简化为：,三角形法则,设 =(a1, a2, an)为 n 维向量，,定义3,为实数.,则,向量( a1, a2, an ),称为向量 与数 的乘积.,记为 = = ( a1, a2, an ).,运算规律:,1. 交换律, + = + ;, +, +,2. 结合律,( + )+ = +( + );,+ +, + , +,3. +

4、0= ;,4. +( )=0;,5. 1 = ;,6. 数乘结合律, = = ；,7. 数乘对向量加法的分配律, + = + ；,8. 数乘对数加法的分配律,( + = + .,定义4.,向量的减法：, ,例1. 已知一平面向量,始点为 Q(x1, y1),终点为 R(x2, y2 ),求其对应之坐标,(分量).,解：,o,x,y,R(x2, y2),P(x, y),Q(x1, y1),由向量减法定义知.,(x2, y2)(x1, y1),(x2 x1, y2y1),=,=,一般有：设n维向量,始点为 Q(a1, , an),终点为R(b1, , bn),则其坐标为,(b1a1, , bnan

5、).,一、空间直角坐标系,对于二维空间,我们引入相应直角坐标系,的途径是通过平面一定点,作两条互相垂直的,数轴而成.,对于三维空间, 我们可类似地建立,相应的空间直角坐标系,即过空间中一定点O,作三条互相垂直的数轴,它们以O为公共原点,且具有相同的单位长度,这三条数轴分别称为,x 轴,y 轴,z 轴,都统称为数轴.,数轴正向不同, 可建立不同的直角坐标系. 如,为统一起见, 我们用右手法则确定其正向.,主要名称与记号:,1. 坐标平面:,三个坐标轴中任意两条坐标轴所确定的平面.,xy 平面,yz 平面,zx 平面.,2. 卦限:,三个坐标平面将空间分为,八个部分,每一部分叫做一个卦限.,IV,

6、VI,V,VII,0,x,y,VIII,II,III,I,z,点在各卦限中坐标的符号：,I,II,(, +, +),(+, +, +),III,(, , +),IV,(+, , +),V,(+, +, ),VI,(, +, ),VII,(, , ),VIII,(+, , ),3. 空间点在空间直角坐标系中的表示法.,R,Q,P,如此, 记P,Q,R,在x 轴,y 轴,z 轴上的坐标,依次为x,y,z.,因此, 点M,一一对应于,有序数组,(x, y, z).,4. 点M 的坐标,点M,(x, y, z),记为M (x, y, z),x,y,z,称为M 的坐标.,横坐标,纵坐标,竖坐标,5. 三

7、维向量与空间点的一一对应关系.,点M,一一对应,(x, y, z),始点,终点,6. 三维向量加法的几何意义,z,x,y,o,z,x,y,o, , ,平行四边形法则,三角形法则,7. 数乘的几何意义,( 1),( 1),(0 1),(1 0),二、空间两点间的距离,现求M1 , M2两点间的距离 .,由图知, 为以M1QNP为底, M1R为高的长方体的一条对角线的长度.,由勾股定理,下面利用向量运算推导上式.,= (x2, y2, z2) (x1, y1, z1),= (x2 x1, y2 y1, z2 z1),= .,由向量模的定义, 知, = | |,特例: 空间任一点M (x, y, z

8、)到原点的距离为,例1. 求在 z 轴上与两点 A(4, 1, 7)和 B(3, 5, 2)等距的点.,三. 向量的数量积、向量间的夹角,在前一节, 我们介绍了向量内积以及向量的模 (或长度)., R3, = (x1, y1, z1), = x1 x2 y1 y2 z1 z2 ，, = (x2, y2, z2),由Schwarz 不等式, 知,因此可定义,定义1.,易知,如果, 都不为0向量, 且, 不平行(即, 线性无关), 则在空间直角坐标系中, 由原点O和, 的终点A 和B 可确定, 所在平面上的一个三角形OAB.,A,B,O,由余弦定理, 知,2| | | |cos,= | |2+|

9、|2 | |2,=2 (x1 x2 y1 y2 z1 z2),= 2 , ,= 2 .,若 /, 则 = 或 = .,若 = , 又若 0，则, =, , = 2 , ,= , ,= 2| | 2.,=,1 0,1 0.,= | |2., 0, 0,可定义：,例2.,解:,所做功 W = f1 s,例3. 求空间任意点 = (x, y, z)与三个坐标轴之间的夹角.,解: 在坐标轴上分别取三个单位向量,i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1),则,如果 是单位的, 即| |=1, 则,如果 不是单位的, 可进行单位化., =, 的方向余弦及方向角,

10、 与坐标轴夹角的余弦,将其单位化, 得单位化向量,向量在轴上的投影,M,P,u,点 P 为点 M 在轴上的投影.,M1,M2,u1,u2,u,M1,o,u1,u2,u,o,u1,u2,u,M2,M2,M1,性质：,2) 设 =(x, y, z), 则 Proji = i=x， Projj = j=y, Projk = k=z;,3) Proju(+ )=Proju + Proju .,解：,M,y,x,z,o,在前面介绍的向量加法与减法时我们知道，两向量之和或差仍然是一个向量，但在介绍向量的数量积时却发现， 不再是一个向量而是一个数了，因此，我们仍希望引入向量的某种“积”运算，使之结果仍为一个

11、向量，构造的准则之一: 有实际应用.,四、向量的向量积.,(1) | c | = | a | | b | sin,(2) c 与a、b所在的平面垂直, (即 c a且c b).,c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定.,则将向量c 称为 a 与 b 的向量积, 记作: a b.,即: c = a b,注: 向量积的模的几何意义.,1. 定义1:,向量积的性质,(b + c) a = b a + c a,( a) b = a ( b) = (a b ), 为实数,| c | = | a | | b | sin,必要性: 设a 、b 平行, 则 = 0或 = . 于是,| a b | = |

12、 a | | b |sin = 0,所以 a b = 0,充分性: 设 a b = 0,则 | a b | = | a | | b |sin = 0,由 | a | 0, | b | 0, 得, = 0或 = . 所以 a 与 b 平行,证:,例如:,i i = j j = k k = 0,i j = k,j i = k k j = i i k = j,k i = j,j k = i,2、向量积的坐标表示式,设 a =(ax, ay , az) b = (bx , by , bz) 则,a b = (ax i + ay j + az k ) (bx i + by j + bz k ),= ax

13、 bx (i i) + ax by ( i j ) + ax bz( i k ) + ay bx (j i) + ay by ( j j ) + ay bz (j k ) + az bx (k i) + az by ( k j ) + azbz( k k ),= ax by k + ax bz( j ) + ay bx(k) + ay bz i + az bx j + az by( i ),= ( ay bz az by) i+( az bx ax bz) j+ ( ax by ay bx) k,得公式:,a b = ( aybz azby) i+( azbx axbz) j+ ( axby

14、ay bx) k,求垂直于向量 a = (2, 2, 1)和b = (4, 5, 3)的向量c.,a b 同时垂直于a、b,= 6i + 4j + 10k 8k 6j 5i,= i 2j + 2k,取 c = a b = (1, 2 , 2).,显然, 对于任意 0R, c = (,2, 2) 也与a、b垂直.,例3:,解:,而,已知ABC的顶点分别是A(1, 2, 3), B(3, 4, 5), C(2, 4, 7), 求ABC的面积.,由向量积的定义.,所以,= 4i 6j + 2k,于是,例4:,解:,三、两向量的混和积,1.定义2,称 与 的向量积 再与向量 的数量积为向量, , ,的混合积，记作 ,设有三个向量, , ,则有,设向量 = (ax , ay , az), = (cx , cy , cz), = (bx , by , bz),2.混合积的坐标表示式,混合积性质：,事实上， 若 , , 在同一个平面上， 则 垂直于它们所在的平面， 故 垂直于 , 即,( ) = 0,(2) , , 共面 = 0,混合积( ) 的绝对值等于以 , , 为棱的平行