高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）第二章 函数的定义域和值域教学案（含解析）新人教A版

1、第二节函数的定义域和值域知识能否忆起1常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)yax，ysin x，ycos x，定义域均为R.(5)ytan x的定义域为.(6)函数f(x)x0的定义域为x|x0(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约2基本初等函数的值域(1)ykxb(k0)的值域是R.(2)yax2bxc(a0)的值域是：当a0时，值域为；当a0且a1)的值域是y|y0(5)ylogax(a0且a1)的值域是R.(6)ysin x，ycos

2、 x的值域是1,1(7)ytan x的值域是R.小题能否全取1(教材习题改编)若f(x)x22x，x2,4，则f(x)的值域为()A1,8B1,16C2,8 D2,4答案：A2函数y的值域为()AR B.C. D.解析：选Dx222，0.0y.3(2012山东高考)函数f(x) 的定义域为()A2,0)(0,2 B(1,0)(0,2C2,2 D(1,2解析：选Bx满足即解得1x0或0x2.4(教材习题改编)函数f(x)的定义域为_解析：由得x4且x5.答案：x|x4，且x55(教材习题改编)若有意义，则函数yx23x5的值域是_解析：有意义，x0.又yx23x525，当x0时，ymin5.答案

3、：5，)函数的最值与值域的关系 函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域 注意求函数的值域，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意函数定义域求函数的定义域典题导入例1(1)(2012大连模拟)求函数f(x)的定义域；(2)已知函数f(2x)的定义域是1,1，求f(x)的定义域自主解答(1)要使该函数有意义，需要则有解得3x0或2x3，所以所求函数的定义域为(3,0)(2,3)(2)f(2x)的定义域为1,1，即1x1，2x2，故f(x)的定义域为.若本例(2)条件变为：函数f(x)的定义域是1,1，求f(l

4、og2x)的定义域解：函数f(x)的定义域是1,1，1x1，1log2x1，x2.故f(log2x)的定义域为.由题悟法简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解(3)对抽象函数：若已知函数f(x)的定义域为a，b，则函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域以题试法1(1)函数y的定义域是_(2)(2013沈阳质检)若函数yf(x)的定义域为3,5，则函数g(x)f(x1)f(x2)的定义

5、域是()A2,3B1,3C1,4 D3,5解析：(1)由得所以函数的定义域为(1,2(2)由题意可得解不等式组可得1x4.所以函数g(x)的定义域为1,4答案：(1)(1,2(2)C求已知函数的值域典题导入例2求下列函数的值域(1)yx22x(x0,3)；(2)y；(3)yx(x0)；(4)f(x)x.自主解答(1)(配方法)yx22x(x1)21，y(x1)21在0,3上为增函数，0y15，即函数yx22x(x0,3)的值域为0,15(2)y1，1x21，02.111.即y(1,1函数的值域为(1,1(3)x0，x4，当且仅当x2时等号成立y(，4函数的值域为(，4(4)法一：(换元法)令t

6、，则t0且x，于是yt(t1)21，由于t0，所以y，故函数的值域是.法二：(单调性法)f(x)的定义域为容易判断f(x)为增函数，所以f(x)f，即函数的值域是.由题悟法求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数(例(1)(2)换元法(例(4)(3)基本不等式法(例(3)(4)单调性法(例(4)(5)分离常数法(例(2)注意求值域时一定要注意定义域的使用，同时求值域的方法多种多样，要适当选择以题试法2(1)函数y的值域为_(2)(2012海口模拟)在实数的原有运算中，我们定义新运算“”如下：当ab时，aba；当ab时，abb2.设函数f(x)(1x)x(2x)，x

7、2,2，则函数f(x)的值域为_解析：(1)y1，因为0，所以11，即函数的值域是y|yR，y1(2)由题意知f(x)当x2,1时，f(x)4，1；当x(1,2时，f(x)(1,6，即当x2,2时，f(x)4,6答案：(1)y|yR，y1(2)4,6与函数定义域、值域有关的参数问题典题导入例3(2012合肥模拟)若函数f(x) 的定义域为R，则a的取值范围为_自主解答函数f(x)的定义域为R，所以2x22axa10对xR恒成立，即2x22axa1，x22axa0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.答案1,0由题悟法求解定义域为R或值域为R的函数问题时，都是依据题意，对问题进行转化，转化

8、为不等式恒成立问题进行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法，二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法以题试法3(2012烟台模拟)已知函数f(x)1的定义域是a，b(a，bZ)，值域是0,1，则满足条件的整数数对(a，b)共有_个解析：由011，即12，得0|x|2，满足整数数对的有(2,0)，(2,1)，(2,2)，(0,2)，(1,2)共5个答案：5函数的值域由函数的定义域和对应关系完全 确定，但因函数千变万化，形式各异，值域的求 法也各式各样，因此求函数的值域就存在一定的 困难，解题时，若方法适当，能起到事半功倍的 作用求函数值域的常用方法有配方法、换元法、 分离常数法、基本

9、不等式法、单调性法(以上例2 都已讲解)、判别式法、数形结合法等1数形结合法利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法，如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键典例1对a，bR，记max|a，b|函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的值域是_解析f(x)由图象知函数的值域为.答案题后悟道利用函数所表示的几何意义求值域(最值)，通常转化为以下两种类型：(1)直线的斜率：可看作点(x，y)与(0,0)连线的斜率；可看作点(x，y)与点(a，b)连线的斜率(2)两点间的距离： 可看作点(x，y)与点(x1，y1)之间的距离针对训练1函数y的值域

10、为_解析：函数yf(x)的几何意义为：平面内一点P(x,0)到两点A(3,4)和B(5,2)距离之和由平面几何知识，找出B关于x轴的对称点B(5，2)连接AB交x轴于一点P即为所求的点，最小值y|AB|10.即函数的值域为10，)答案：10，)2判别式法对于形如y(a1，a2不同时为零)的函数求值域，通常把其转化成关于x的一元二次方程，由判别式0，求得y的取值范围，即为原函数的值域典例2函数y的值域为_解析法一：(配方法)y1，又x2x12，0，y1.函数的值域为.法二：(判别式法)由y，xR，得(y1)x2(1y)xy0.y1时，x，y1.又xR，(1y)24y(y1)0，y.2(2012汕

11、头一测)已知集合A是函数f(x)的定义域，集合B是其值域，则AB的子集的个数为()A4 B6C8 D16解析：选C要使函数f(x)的解析式有意义，则需解得x1或x1，所以函数的定义域A1,1而f(1)f(1)0，故函数的值域B0，所以AB1，1,0，其子集的个数为238.3下列图形中可以表示以Mx|0x1为定义域，以Ny|0y1为值域的函数的图象是()解析：选C由题意知，自变量的取值范围是0,1，函数值的取值范围也是0,1，故可排除A、B；再结合函数的定义，可知对于集合M中的任意x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D.4(2013长沙模拟)下列函数中，值域是(0，)的是()AyBy(x(0，

12、)Cy(xN) Dy解析：选D选项A中y可等于零；选项B中y显然大于1；选项C中xN，值域不是(0，)；选项D中|x1|0，故y0.5已知等腰ABC周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y102x，则函数的定义域为()AR Bx|x0Cx|0x5 D.解析：选C由题意知即0x5.6函数y的定义域是(，1)2,5)，则其值域是()A(，0) B(，2C.2，) D(0，)解析：选Ax(，1)2,5)，故x1(，0)1,4)，(，0).7(2013安阳4月模拟)函数y的定义域是_解析：由得则所以定义域是x|1x1，或1x2答案：x|1x1，或1x1)，求a、b的值解：f(x)(x1)2a，其

13、对称轴为x1.即1，b为f(x)的单调递增区间f(x)minf(1)a1f(x)maxf(b)b2bab由解得12(2013宝鸡模拟)已知函数g(x)1, h(x)，x(3，a，其中a为常数且a0，令函数f(x)g(x)h(x)(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当a时，求函数f(x)的值域解：(1)f(x)，x0，a(a0)(2)函数f(x)的定义域为，令1t，则x(t1)2，t，f(x)F(t)，当t时，t2，又t时，t单调递减，F(t)单调递增，F(t).即函数f(x)的值域为.1函数y2的值域是()A2,2 B1,2C0,2 D，解析：选Cx24x(x2)244，02，2

14、0，022，所以0y2.2定义区间x1，x2(x1x2)的长度为x2x1，已知函数f(x)|logx|的定义域为a，b，值域为0,2，则区间a，b的长度的最大值与最小值的差为_解析：由函数f(x)|logx|的图象和值域为0,2知，当a时，b1,4；当b4时，a，所以区间a，b的长度的最大值为4，最小值为1.所以区间长度的最大值与最小值的差为3.答案：33运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50x100)(单位：千米/小时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解：(1)行车所用时间为t(h)，y2，x50,100所以，这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x50,100(2)yx26，当且仅当x，即x18时，上述不等式中等号成立当x18时，这次行车的总费用最低，最低费用为26元1已知函数f(x)2，则函数f(x)的值域为()A2,4 B0