高中数学 3-2-3指数函数与对数函数的关系精品课件 新人教版必修1

1、3.2.3指数函数与对数函数的关系,知识整合,1当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的_作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的_作为新的函数的因变量，称这两个函数_ 2对数函数ylogax与指数函数yax_，它们的图象关于直线_对称 3如果函数yf(x)有反函数_，那么函数_的反函数就是yf(x)这就是说，函数_互为反函数,答案：1.因变量自变量互为反函数 2互为反函数yx 3yf1(x)yf1(x)yf(x)与yf1(x),名师解答,1怎样把对数函数与指数函数联系起来研究？ (1)对数函数的反函数是指数函数，所以要利用指数函数的性质来研究对数函数应该注意到：这两种函数都要求底数a0，且a

2、1；对数函数的定义域为(0，)，结合图象看，对数函数在y轴左侧没有图象，即负数与0没有对数，也就是真数必须大于0.这些知识可以用来求含有对数函数的定义域,(2)通过将对数函数与指数函数的图象进行对比，可以发现：当a1，或0a1时，对数函数与指数函数的单调性是一致的即在区间(0，)上同时为增函数，或者同时为减函数对数函数的图象都经过点(1,0)，这与性质loga10a01是分不开的 (3)既然对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数，那么它们的图象关于直线yx对称于是通过对a分情况(约定不同的取值范围)，再结合函数ylog2x，的图象来揭示对数函数的性质，应该是一件水到渠成的事,2如何证明

3、ylogax(a0，a1)的图象与yax(a0，a1)的图象关于yx对称？ 设点M(x，y)是ylogax(a0，a1)图象上的任意一点，所以有xay，即N(y，x)在yax(a0，a1)的图象上又M(x，y)与N(y，x)关于yx对称，因此有ylogax(a0，a1)的图象上任意一点M(x，y)关于yx的对称点N(y，x)在yax(a0，a1)的图象上；同理亦可证明yax(a0，a1)的图象上任意一点M(x，y)关于yx对称点的N(y，x)在ylogax(a0，a1)的图象上所以ylogax(a0，a1)的图象与yax(a0，a1)的图象关于yx对称,深入学习,分析：深刻理解对数函数与指数函

4、数的关系，是求指数函数(或对数函数)反函数的前提,分析：熟练掌握求反函数的基本步骤是准确求出函数的反函数的必要条件，当然首先这个函数要有反函数解本题时，还要注意对参数a，b的讨论,题型二 判断反函数的单调性和奇偶性 【例2】已知f(x)axax(其中0a1) (1)分别作y1ax，y2ax(0a1)的图象，从图象上判断f(x)y1y2的单调性，并加以证明； (2)求函数f(x)的反函数f1(x)； (3)试判断f1(x)的奇偶性，并证明你的结论 分析：本题主要考查函数单调性与奇偶性的判定与证明以及求反函数的方法第(1)小题可结合图象作出判断后再加以证明，本题体现了由特殊到一般的数学思想方法,评

5、析：本题综合性较强，要认真审题，逐步作答要学会使用“定义法”判断单调性、奇偶性、求反函数,答案：C,题型三 函数的单调性问题 【例3】若函数f(x)log2(x2mx3m)在区间(2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_ 答案：4,4 解：令g(x)x2mx3m. f(x)log2(x2mx3m)在(2，)上是增函数， g(x)在(2，)也应是增函数，且g(x)0在(2，)上恒成立，故有：,评析：这类问题的解决主要对问题进行等价转换，一是根据整个复合函数的单调性得到真数上的函数的相应的单调性，二是要保证真数上的函数在给定的区间上要恒大于零，依据上述两条建立参数的不等式组，即可求得其取值范围,变

6、式训练 3找出下面函数的单调区间，并说明函数在每一单调区间的单调性： (1)y4x2x11； (2)ylog0.4(82xx2) 分析：本题考查利用指数函数、对数函数的图象与性质解题的能力,解：(1)y4x2x11(2x1)22， 2x0，且在(，)上是增函数， 而y(u1)22在(，1上单调递减，在(1，)上单调递增，由复合函数的单调性知函数y4x2x11的单调区间是(，0，(0，)，且在区间(，0上递减，在区间(0，)上递增 (2)由82xx20，得4x2. 而82xx2(x1)29， 函数ylog0.4u在(0，)上单调递减，所以函数ylog0.4(82xx2)的单调区间是(4，1，(1

7、,2)，且在区间(4，1上递减，在区间(1,2)上递增,题型四 利用互为反函数的图象之间的关系，求其表达式 【例4】已知函数f(x)axk的图象经过点(1,3)，其反函数yf1(x)的图象过(2,0)点，则f(x)的表达式为_ 分析：根据互为反函数的两函数的自变量与因变量之间的对应关系，可求得a、k的值，从而求得f(x)的表达式,解：yf1(x)的图象过点(2,0)， yf(x)的图象过(0,2)点，2a0k. k1，f(x)ax1. 又yf(x)的图象过点(1,3)，3a11， a2，f(x)2x1. 评析：(1)互为反函数的两个函数的定义域与值域发生互换，即原函数的定义域是反函数的值域，原

8、函数的值域是反函数的定义域 (2)互为反函数的两函数的图象关于直线yx对称点(a，b)关于直线yx的对称点为(b，a),变式训练 4设有三个函数，第一个函数是yf(x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于y轴对称，那么第三个函数是 () Ayf(x)Byf(x) Cyf1(x) Dyf1(x) 答案：D 解析：由已知得第二个函数yf1(x)，第三个函数的图象与第二个函数的图象关于y轴对称，则第三个函数可这样得到：将第二个函数中的x换成x，则第三个函数为yf1(x)，故选D.,整体探究解读,题型一 对数函数的综合应用 【例1】已知f(x)loga(aax)(a1)

9、， (1)求f(x)的定义域、值域； (2)判断f(x)的单调性，并证明： (3)解不等式：f1(x22)f(x) 分析：本题考查函数的性质及反函数的知识，解决本题的关键是对指数函数与对数函数的性质有较好地把握,解：(1)为使函数有意义，需满足aax0， 即ax1， x1，故定义域为(，1) 又loga(aax)logaa1， f(x)1，即函数值域为(，1),评析：判断函数的单调性等性质，应首先找出函数的定义域,题型二 指数与对数函数图象 【例2】已知a0，且a1，则函数yax与yloga(x)的图象只能是 (),分析：可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意

10、底数a对图象的影响 解法一：首先，曲线yax只可能在上半平面，yloga(x)只可能在左半平面，从而排除A、C. 其次，从单调性着眼yax与yloga(x)的增减性正好相反，又可排除D. 应选B.,解法二：若01，则曲线yax上升且过点(0,1)，而曲线yloga(x)下降且过(1,0)，只有B满足条件 解法三：如果注意到yloga(x)的图象关于y轴的对称图象为ylogax，又ylogax与yax互为反函数(图象关于直线yx对称)，则可直接选定B. 答案：B,评析：要养成从多角度分析问题、解决问题的习惯，培养思维的灵活性,题型三 指数与对数的综合应用 【例3】已知函数f(x)lg(axkbx)(b(0，)，a1b0)的定义域恰为区间(0，)，是否存在这样的a、b使得f(x)恰在(1，)上取正值，且f(3)lg4？若存在，求出a、b的值；若不存在，请