因式分解及其应用

1、第一章第四课时： 因式分解,要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练,要点、考点聚焦,2.因式分解的几种常用方法 (1)提公因式法 (2)运用公式法： 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2 (3)二次三项式型：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) (4)分组分解法： 分组后能提公因式； 分组后能运用公式.,1.因式分解的定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个 多项式因式分解式分解因式.,3.因式分解的一般步骤 可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”： (1)一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有

2、必须先提出来. (2)二“套”：若多项式的各项无公因式(或已提出公 因式)，第二步则看能不能用公式法或用x2+(p+q)x+pq 型分解. (3)“三分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分成一组，使之分组后能“提”或能“套”，当然要注意其要分解到底才能结束. (4)四“查”：可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.,要点、考点聚焦,3.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( ) A.x2-y B.x2+2x C.x2+y2 D.x2-xy+y2,课前热身,1.分解因式：3x2-3= .,2.分解因式： X2+2xy+y2-4= .,3(x+1)(x-1)

3、,(x+y+2)(x+y-2),B,4.分解因式：a2-4a+4= .,(a-2)2,5.分解因式：a3+2a2+a= .,6.将下列式子因式 分解 x-x2-y+y2= .,a(a+1)2,(x-y)(1-x-y),课前热身,7.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0 的两根为x11，x22，则x2+bx+c分解因式的结果为： .,8.分解因式： x2-4y2+x-2y= .,(x-2y)(1+x+2y),课前热身,（x-1）(x-2),典型例题解析,【例1】 因式分解： (1)-4x2y+2xy2-12xy； (2)3x2(a-b)-x(b-a)； (3)9(x+y)2-4(x-y)2；,

4、解： (1)原式=-2xy(2x-y+6),(2)原式=3x2(a-b)+x(a-b) =x(a-b)(3x+1),(3)原式=3(x+y)+2(x-y)3(x+y)-2(x-y) =(5x+y)(x+5y),解：(4)原式=(9a2)2-1 =(9a2+1)(9a2-1) =(3a+1)(3a-1)(9a2+1),典型例题解析,【例1】 因式分解： (4)81a4-1； (5)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1； (6)(a2+b2)2-4a2b2.,(5)原式=(x2+2x+1)2=(x+1)4,(6)原式=(a+b2+2ab)(a2+b2-2ab) =(a+b)2(a-b)2,【例2

5、】 因式分解：-3an-1+12an-12an+1 (n1的正整数).,解：原式=-3an-11-4an-(n-1)+4a(n+1)-(n-1) =-3an-1(1-4a+4a2) =-3an-1(2a-1)2,【例3】 因式分解： (1)m3+2m2-9m-18；,典型例题解析,解：(1) 原式=(m3+2m2)-(9m+18) =m2(m+2)-9(m+2) =(m+2)(m2-9) =(m+2)(m-3)(m+3),或者： 原式=(m3-9m)+(2m2-18) =m(m2-9)+2(m2-9) =(m2-9)(m+2) =(m-3)(m+3)(m+2),解： (2)原式=a2-(b2+

6、2bc+c2) =a2-(b+c)2 =(a+b+c)(a-b-c),(3)原式=(x2)2-5(x2)+4 =(x2-4)(x2-1) =(x-2)(x+2)(x-1)(x+1),典型例题解析,【例3】 因式分解： (2)a2-b2-c2-2bc； (3)x4-5x2+4；,【例4】 求证：对于正整数n，2n+4-2n能被30整除.,解：2n+4-2n=2n(2-1)=2n(16-1)=152n =1522n-1=302n-1. n为正整数时，2n-1为整数， 2n+4-2n能被30整除.,典型例题解析,5.不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原. 如:(a2+b2)-4a2b2 =(

7、a2+b2+2ab)(a2+b2-2ab) =(a+b)2(a-b)2 =(a+b)(a-b)2 =(a2-b2)2 =a4-2a2b2+b4 实际该题到第2个等于号就分解到底了，不能再向下 计算了!,方法小结：,6.注意解题的技巧的应用，不能死算.如：分解因式(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9 =(x+1)(x+7)(x+3)(x+5)-9 =(x2+8x+7)(x2+8x+15)-9 =(x2+8x)+7(x2+8x)+15-9 =(x2+8x)2+22(x2+8x)+105-9 =(x2+8x)2+22(x2+8x)+96 =(x2+8x +6)(x2+8x +16) =(x2

8、+8x+6)(x+4)2,方法小结：,课时训练,1分解因式：a2-25= .,2. 分解因式：x3y2-4x= .,3. 分解因式：xy2-x2y= .,x(xy+2)(xy-2),(a+5)(a-5),xy(y-x),y(x-2)2,4. 分解因式：x2y-4xy+4y= .,5. 分解因式： a2-2ab+b2-c2= .,(a-b+c)(a-b-c),6. 多项式ac-bc+a2-b2分解因式的结果为 ( ) A. (a-b)(a+b+c) B. (a-b)(a+b-c) C. (a+b)(a+b-c) D. (a+b)(a-b+c),7. 把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结 果为 ( ) A.(1-x-y)(1+x-y) B.(1+x-y)(1-x+y) C.(1-x-y)(1-x+y) D.(1+x-y)(1+x+y),A,B,课时训练,19、若5 x2 4 xy y2 2x 1=0，求x、y的值。,20