3Matlab矩阵.ppt

1、3 Matlab 矩阵运算,3.1 MATLAB矩阵,3.1.1 矩阵的建立 1直接输入法 直接输入需遵循以下基本规则： 整个矩阵应以“ ”为首尾，即整个输入矩阵必须包含在方括号中； 矩阵中，行与行之间必须用分号“ ；”或 Enter 键（ 按 Enter 键）符分隔； 每行中的元素用逗号“ ，”或空格分隔； 矩阵中的元素可以是数字或表达式，但表达式中不可包含未知的变量，MATLAB用表达式的值为该位置的矩阵元素赋值。 例3-1： A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;13,14,15,16,2利用M文件建立矩阵 对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。 启

2、动编辑器（输入edit命令，或者使用按钮） 输入待建立矩阵，输入格式要求和直接输入法类似，只不过不同行元素必须使用分号作为间隔,3利用冒号表达式建立一个向量 冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是： e1:e2:e3 其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。 在MATLAB中，还可以用linspace函数产生行向量。其调用格式为： linspace(a,b,n) 其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。, x=0:0.5:2; x = 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 y=linspace(0,2,7) y = 0 0.3333 0.6667

3、1.0000 1.3333 1.6667 2.0000 z=-1 x 3 z = -1.0000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 3.0000 u=y;z u = 0 0.3333 0.6667 1.0000 1.3333 1.6667 2.0000 -1.0000 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 3.0000,3.1.2 矩阵的拆分 1矩阵元素 通过下标引用矩阵的元素 例如: A(3,2)=200 采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。 在MATLAB中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依

4、次类推。例如 A=1,2,3;4,5,6; A(3) ans = 2,2矩阵拆分 (1) 利用冒号表达式获得子矩阵 A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素； A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素； A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。 A(i:i+m,:)表示取A矩阵第ii+m行的全部元素； A(:,k:k+m)表示取A矩阵第kk+m列的全部元素， A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第ii+m行内，并在第kk+m列中的所有元素。 此外，还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标，从而获得子矩阵。end表示某一维的末尾元素下标。,(2) 利用空矩阵删除矩阵的元素 在MATL

5、AB中，定义为空矩阵。给变量X赋空矩阵的语句为X=。 可以通过给指定矩阵的行列赋以空矩阵来删除指定的行列。,3.1.3 特殊矩阵1通用的特殊矩阵常用的产生通用特殊矩阵的函数有：zeros：产生全0矩阵(零矩阵)。ones：产生全1矩阵(幺矩阵)。eye：产生单位矩阵。rand：产生01间均匀分布的随机矩阵。randn：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。,例3-3 分别建立33、32和与矩阵A同样大小的零矩阵 (1) 建立一个33零矩阵。 zeros(3) (2) 建立一个32零矩阵。 zeros(3,2) (3)设A为23矩阵，则可以用zeros(size(A)建立一个与矩阵A同样

6、大小零矩阵。 A=1 2 3;4 5 6; %产生一个23阶矩阵A zeros(size(A) %产生一个与矩阵A同样大小的零矩阵,2用于专门学科的特殊矩阵 (1) 魔方矩阵魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,n2共n2个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔方阵。,例3-5 将101125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。 M=100+magic(5),(2) 范得蒙矩阵 范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指

7、定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。例如，A=vander(1;2;3;5)即可得到上述范得蒙矩阵。,(3) 希尔伯特矩阵 希尔伯特矩阵，其元素为1/(i+j-1)，ij分别为其行标和列标。即 希尔伯特矩阵是一种数学变换矩阵，正定，且高度病态（即，任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的值和逆矩阵都会发生巨大变化），病态程度和阶数相关。 MATLAB中，生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)，求希尔伯特矩阵的逆的函数是invhilb(n)，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩

8、阵。,例2-6 求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。命令如下：format rat %以有理形式输 H=hilb(4) H=invhilb(4),(4) 托普利兹矩阵 托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。 生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它生成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵。这里x, y均为向量，两者不必等长。 toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。例如T=toeplitz(1:6),(5) 伴随矩阵 A的伴随矩阵可按如下步骤定义： 用A的第i 行第j 列的余子式把第j 行第i 列的元素替换掉得到就是

9、A的伴随矩阵。 MATLAB生成伴随矩阵的函数是compan(p)，其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。 例如，为了求多项式的x3-7x+6的伴随矩阵，可使用命令： p=1,0,-7,6; compan(p),(6) 帕斯卡矩阵 我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(pascal)矩阵。函数pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵。,例2-7 求(x+y)5的展开式。 在MATLAB命令窗口，输入命令： pascal(6) 矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为展开式的系数。

10、,3.2 MATLAB矩阵运算 3.2.1 算术运算 1基本算术运算 MATLAB的基本算术运算有：(加)、(减)、*(乘)、/(右除)、(左除)、(乘方)。 注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。,(1) 矩阵加减运算 假定有两个矩阵A和B，则可以由A+B和A-B实现矩阵的加减运算。 运算规则： 若A和B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，A和B矩阵的相应元素相加减。 如果A与B的维数不相同，则MATLAB将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。, A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;13,14,15,16； B=1,sqrt(25

11、),9,13 2,6,10 7*2 3+sin(pi),7,11,15 4,abs(-8),12,16； C=A+B C = 2 7 12 17 7 12 17 22 12 17 22 27 17 22 27 32 D=A-B D = 0 -3 -6 -9 3 0 -3 -6 6 3 0 -3 9 6 3 0 E=A+3 E = 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19,(2) 矩阵乘法 假定有两个矩阵A和B，若A为mn矩阵，B为np矩阵，则C=A*B为mp矩阵。 (3) 矩阵除法 在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：和/，分别表示左除和右除。 AB

12、等效于A的逆左乘B矩阵，也就是inv(A)*B， B/A等效于A的逆右乘B矩阵，也就是B*inv(A)。 对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般ABB/A。 (4) 矩阵的乘方 一个矩阵的乘方运算可以表示成Ax，要求A为方阵，x为标量。,例：矩阵乘法 C=A*B C = 30 70 110 150 70 174 278 382 110 278 446 614 150 382 614 846 D=A*3 D = 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 例： 矩阵除法 左除 AB=inv(A)*B A=

13、8,1,6;3,5,7;4,9,2 A = 8 1 6 3 5 7 4 9 2, B=1,1,1;1,2,3;1,3,6 B = 1 1 1 1 2 3 1 3 6 AB ans = 0.0667 0.0500 0.0972 0.0667 0.3000 0.6389 0.0667 0.0500 -0.0694 C=inv(A) C = 0.1472 -0.1444 0.0639 -0.0611 0.0222 0.1056 -0.0194 0.1889 -0.1028 C*B ans = 0.0667 0.0500 0.0972 0.0667 0.3000 0.6389 0.0667 0.050

14、0 -0.0694,右除 A/B =A*inv(B) A/B ans = 27 -31 12 1 2 0 -13 29 -12 D=inv(B) D = 3 -3 1 -3 5 -2 1 -2 1 A*D ans = 27 -31 12 1 2 0 -13 29 -12,2数组的运算 Matlab是以矩阵为基本运算单元的，数组作为独立的计算单元实体是不存在的。数组运算是Matlab的一种运算形式，它从矩阵的单个元素出发，针对每个元素进行的运算。 MATLAB对数组运算在符号上做了不同的约定，运算符形式为：.* , ./ , . , . 矩阵运算和数组运算有着显著的不同。属于两种不同的运算：矩阵

15、运算是从矩阵的整体出发，按照线性代数的运算规则进行，有着明确而严格的数学规则；而数组运算是从矩阵的单个元素出发，针对每个元素进行的运算。 对于加法和减法而言，矩阵运算和数组运算相同；对于乘法和除法而言，矩阵和数组的运算有着显著的不同。,矩阵的数组乘/除及乘方 数组除的运算规则： 当参与除运算的两个矩阵同维时，运算为矩阵的相应元素相除，计算结果是与参与运算的矩阵同维的矩阵； 当参与运算的矩阵有一个是标量时，运算是标量和矩阵的每一个元素相除，计算结果是与参与运算的矩阵同维的矩阵； 右除与左除的关系为 A./B=B.A，其中 A 是被除数，B 是除数。, E=1,2,3;4,5,6;7,8,9 E

16、= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 F=1,4,7;2,5,8;3,6,9 F = 1 4 7 2 5 8 3 6 9 E.F ans = 1.0000 2.0000 2.3333 0.5000 1.0000 1.3333 0.4286 0.7500 1.0000 4.F ans = 0.2500 1.0000 1.7500 0.5000 1.2500 2.0000 0.7500 1.5000 2.2500, F./E ans = 1.0000 2.0000 2.3333 0.5000 1.0000 1.3333 0.4286 0.7500 1.0000 E*F ans = 14 32 5

17、0 32 77 122 50 122 194 E.*F ans = 1 8 21 8 25 48 21 48 81,数组乘方的运算规则： 矩阵的标量乘方 A.p（ 即 A 为矩阵，p 为标量），运算为矩阵每个元素的 p 次方，计算结果是与矩阵A 同维的矩阵； 标量的矩阵乘方 p.A，表示以 p 为底，分别以 A 的元素为指数求幂值，计算结果是与矩阵A 同维的矩阵。,b.向量的数组运算： 加/减法： x=1,2,3 y=4,5,6 c=x-y a=1+x 乘/除法： b=2*x b=2.*x z3=x.9 z4=x./9 z=x.*y z1=x./y z2=x.y,乘方： z7=2.x z5=x

18、.3 z6=x.y 点积、叉积： c1=dot(a,b) c1= sum(a.*b) c2=cross(a,b),3、数组函数,常用的数学函数,常用三角函数和超越函数, A=3,3,5;2,4,6;7,8,9 A = 3 3 5 2 4 6 7 8 9 log(A) ans = 1.0986 1.0986 1.6094 0.6931 1.3863 1.7918 1.9459 2.0794 2.1972 sqrt(A) ans = 1.7321 1.7321 2.2361 1.4142 2.0000 2.4495 2.6458 2.8284 3.0000, cos(A) ans = -0.990

19、0 -0.9900 0.2837 -0.4161 -0.6536 0.9602 0.7539 -0.1455 -0.9111 pow2(A) ans = 8 8 32 4 16 64 128 256 512 2.A ans = 8 8 32 4 16 64 128 256 512,3.3 矩阵分析,3.3.1 对角阵 只有对角线上有非0元素的矩阵称为对角矩阵 对角线上的元素都为1的对角矩阵称为单位矩阵,(1) 提取矩阵的对角线元素 diag(A) (2) 构造对角矩阵 diag(diag(A) 例：D =1 0 0;0 1 0;0 0 1; diag(D) %取D 阵的对角元 ans = 1

20、1 1 diag(diag(D) %内diag 取D 的对角元，外diag 利用一维数组生成对角阵 ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 1,例3-10 先建立55矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，第五行乘以5 A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;.11,18,25,2,19; D=diag(1:5); D*A %用D左乘A，对A的每行乘以一个指定常数,3.3.2 矩阵的转置与旋转 1矩阵的转置 转置运算符是单撇号()。 2矩阵的旋转 利用函数rot90(A,k)将矩阵A逆时针旋转90的k倍，当k为1时

21、可省略。,3矩阵的左右翻转对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，依次类推。MATLAB对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A)。4矩阵的上下翻转MATLAB对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。,A =-4 -1 2；-3 0 3；-2 1 4； A %转置 ans = -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 flipud(A) %上下对称交换 ans = -2 1 4 -3 0 3 -4 -1 2 fliplr(A) %左右对称交换 ans = 2 -1 -4 3 0 -3 4 1 -2 rot90(A) %逆时针旋转90 度 ans = 2 3