1.1.1角的概念推广.ppt

1、第一章 基本初等函数（）,1.1.1 角的概念的推广,1.1任意角和弧度制,初中是如何定义角的？,定义1： 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.,问题引入,这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从 图形形状来定义角.,角的范围：,这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.,一.角的概念,问题引入,定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角。,A,B,顶点,始边,终边,生活中很多实例会不在范围00 ,3600 ),体操运动中有转体两周，在这个动作中,运动员转体多少度? 再比如,跳水运动员向内、向外转体三周,运动员转体多少度?,实例一,问题引入,假如你的手

2、表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确?,假如你的手表快了1.25小时,你又将怎样把它调整准确?,实例二,问题引入,这些例子所提到的角不仅不在范围00 ,3600 ） 中，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？,问题引入,新课内容,二.角的概念的推广,1.“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角 旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止的射线OB叫做角的终边，射线的端点O叫做角的顶点,新课内容,记法：角 或 ，可简记为,逆时针,顺时针,习惯上规定： 按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角 按照顺时针方向旋转

3、而成的角叫做负角 当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，零角,2.角的分类,新课内容,3.角的概念扩展的意义：,用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了, 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660. 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（3602=720） 3周（3603=1080） 还有零角, 一条射线，没有旋转.,新课内容,角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角 要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样,新课内容,注意：,1：角的正负由旋转方向决定,2：角可以任意大

4、小，绝对值大小由旋转次数及终边位置决定,新课内容,思考下面的角度如何表示？,（）你的手表慢了分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度？,（）假如你的手表快了2.5小时，想将它校准，分针应该旋转多少度？,-30,900,(3)已知 将射线OB绕O点顺时针旋转 到OC，则 逆时针呢？,30,90,角的运算,各角和的旋转量等于各角旋转量的和,C,新课内容,新课内容,练习:射线OA绕端点O顺时针旋转 到OB位置，接着逆时针旋转 到OC位置，然后再顺时针旋转 到OD位置，求 的大小,解：由题意知,x,y,o,1)置角的顶点于原点,终边落在第几象限就是第几象限角,2)始边重合于X轴的正半轴,三.象限角（研究角

5、的位置）,为了研究方便，我们可以在平面直角坐标系中讨论角：,新课内容,三“象限角”,为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）,要点,1)置角的顶点于原点,2)始边重合于X轴的非负半轴,终边落在第几象限就是第几象限角,坐标轴上的角：（轴线角）,如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限,例如：角的终边落在X轴或Y轴上。,1、锐角是第几象限的角？,2、第一象限的角是否都是锐角？举例说明,3、小于90的角都是锐角吗？

6、,答：锐角是第一象限的角。,答：第一象限的角并不都是锐角。,答：小于90的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角。,【练习】,问题： 一个角在直角坐标系中有唯一一条终边， 反之一条终边对应的角唯一吗？,练习试在同一坐标系中，画出下列大小的角 (1)3900 (2)300 (3)-3300 观察它们的终边位置及数量关系是怎样的?,新课内容,(2)3900 (1)300 (3)-3300,新课内容,(2)3900 (1)300 (3)-3300,新课内容,390 o,数量关系,750 o,四.终边相同的角,新课内容,3900,-3300,3900=300+3600,-3300=300-3600,=

7、300+1x3600,=300 -1x3600,300 =300+0 x3600,300+2x3600 , 3002x3600,300+3x3600 , 3003x3600, , ,与300终边相同的角的一般形式为300K3600，K Z,新课内容,注:（1） K Z,（4）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍,与 终边相同的角的一般形式为,K 3600，K Z,（2） 是任意角,（3）K360与 之间是“+”号，如K360-30 ，应看成K360 +（-30）,新课内容,例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它

8、是哪个象限的角？,（1）-120（2）640 （3） -950 12,解（1）-120=-360 +240 所以与-120 角终边相同的角是240 角，它是第三象限角。,新课内容,例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？,（1）-120（2）640 （3） -950 12,解（2）640=360+280 所以与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角。,新课内容,例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角？,（1）-120（2）640 （3） -950 12,解 （3）-95012 =- 3360+12948 所

9、以与-95012 角终边相同的角是12948 角，它是第二象限角。,新课内容,判断角的象限方法 1.写成K3600 （003600，Z）的形式 2.由的象限得出结论,在0到360度内找与已知角终边相同的角 方法是：用所给角除以3600。 所给角是正的：按通常的除法进行； 所给角是负的：角度除以3600，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以便使余数为正值。,新课内容,例2. 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在360720间的角写出来： (1) 60；(2) 21；(3) 36314.,解：(1) S=| =k360+60 (kZ) , S中在360720间的角是

10、 1360+60=280； 0360+60=60； 1360+60=420,(2) S=| =k36021 (kZ) S中在360720间的角是 036021=21； 136021=339； 236021=699,(3) | =k360+ 36314 (kZ) S中在360720间的角是 2360+36314=35646； 1360+36314=314； 0360+36314=36314,终边落在坐标轴上的情形,00,900,1800,2700,+K 3600,+K 3600,+K 3600,+K 3600,或3600K 3600,【巩固】,例3写出终边落在y轴上的角的集合,解：终边落在轴正半

11、轴上的角的集合为,S1=| =900+K3600,KZ,=| =900+2K1800,KZ,=| =900+1800 的偶数倍,终边落在轴负半轴上的角的集合为,S2=| =2700+K3600,KZ,=| =900+1800+2K1800,KZ,=| =900+（2K+1）1800 ，KZ,=| =900+1800 的奇数倍,例3写出终边落在y轴上的角的集合,S=S1S2,所以终边落在轴上的角的集合为,=| =900+1800 的偶数倍,| =900+1800 的奇数倍,=| =900+1800 的整数倍,=| =900+K1800 ，KZ,新课内容,写出终边落在 轴上的角的集合。,解：终边落

12、在 轴非负半轴上的角的集合为,S1=|= K360,KZ,=| = 2K180,KZ,=| = 180 的偶数倍,终边落在 轴负半轴上的角的集合为,S2=| =180+ K360,KZ,=| = 180+ 2K180,KZ,=| = （2K+1）180 ，KZ,=| = 180的奇数倍,S=S1S2,所以终边落在 x 轴上的角的集合为,=| =180 的整数倍,=| =K180 ，KZ,偶数奇数,整数,x,x,x,练习:,1.写出终边在直线 上的角的集合,与 终边相同的角的集合：,与 终边相同的角的集合：,终边在直线 上的角的集合：,综上可知,解：,小结：,（1）角的分类：正角、负角、零角 （2）旋转角的计算公式 （3）终边相同或在同一直线上的角 的 集合表示 （4）判断一个角所在的象限（坐标轴 上的角的集合表示）,【小结】,1.任意角 的概念,正角：射线按逆时针方向旋转形成的角,负角：射线按顺时针方向旋转形成的角,零角：射线不作旋转形成的角,1)置角的顶点于原点,2)始边重合于X轴的非负半轴,2.象限角,终边落在第几象限就是第几象限角,3 . 终边与 角相同的角,K3600，KZ,4：在0到360