数学归纳法课件（鲁立新）

1、数学归纳法复习课,浠水高考复读中心 鲁立新,有这样一个小故事：一个财主的儿子学写字，老师说：“一是一横。二是两横，三是三横，四呢”话没说完，财主的儿子插口道：“四是四横，五是五横。”听了这话老师生气的吼道“那你写个“万”给我看下！”财主的儿子搔了搔脑袋楞着说：“老师，那我要先去叫我爸买本子。” 财主的儿子错了，他事实上用到了我们经常探究事情的一种方法不完全归纳法；这种方法虽然能发现事情的规律，但是经常容易管中窥豹，要想不犯类似财主儿子的错误，我们就要掌握另一种更科学的方法数学归纳法。,情景设置,四是四横，五是五横。,一是一横，二是两横，三是三横，四是,下面请同学们回看课本和资料，整理数学归纳法

2、的有关知识思考下面几个问题；并完成下面几道练习题： 1、什么是数学归纳法？其原理是什么？ 2、数学归纳法有哪几步？各步有何作用？ 3、使用数学归纳法要注意哪些问题？,可能出错,热身练习,C,C,B,没有用到归纳假设,与n=k的条件相同,1.定义: 2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： 3.用数学归纳法证题要注意下面几点：,对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法,（递推基础不可少）,（归纳假设要用到）,（结论写明才完整）

3、,明确首取值并验明真假。找准n=k与n=k+1的关系 在证明n=k+1时，n=k是条件，一定要用到,知识概要,(2)假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确, 证明当n=k+1时,结论也正确.,(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；,(3)由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n 都成立。,注意到这些细节，我们就可以用它来解决很多与有关正整数的命题 ，其一般会应用在以下几个方面：,（1）恒等式,（2）不等式,（3）三角方面,（4）整除性,（5）几何方面,（6）计算、猜想、证明,典例选讲,注意两者联系,例1、用数学归纳法证明 (a1+a2+an)2a12+a22+2(a1a2+

4、a1a3+an-1an),证明（1）当n时，左边(a1+a2)2 a12+2a1a2+a22右边，所以等式成立,(a1+a2+ak)2a12+a22+ak2+2(a1a2+a1a3+ak-1ak),则nk+1时，左边(a1+a2+ak)+ak+12,(a1+a2+ak)2+2(a1+a2+ak)ak+1+ak+12,a12+a22+ak2+2(a1a2+a1a3+ak-1ak+2(a1+a2+ +ak)ak+1+ak+12,a12+a22+ak2+ak+12+2(a1a2+a1a3+ak-1ak+a1ak+1+a1ak+2+akak+1）,右边a12+a22+ak2+ak+12+2(a1a2+

5、a1a3+akak+1),左边右边，所以等式成立,综合（1）（2）得原命题成立,假设当nk时，命题成立，即:,例2、当n0，nN时，多项式Xn+2+(x+1)2n+1能被多项式x2+x+1整除,证明：当n=0时，xn+2+(x+1)+1=x0+2+(x+1)20+1=x2+x+1 故其能被x2+x+1,假设当n=k时，命题成立。即： Xk+2+(x+1)2k+1能被x2+x+1,则当n=k+1时，xn+2+(x+1)2n+1=xk+1+1+(x+1)2(k+1)+1,=xxk+2+(x+1)2k+1(x+1)2,=(x+1)2xk+2+(x+1)2k+1 (x+1)2xk+2+xxk+2,=(x+1)2xk+2+(x+1)2k+1 xk+2(x2+x+1),即n=k+1时，命题成立,综合（）（）的原命题成立,凑n=k的条件,恒等 变形,充分利用归纳假设,方法：发现2k+3(k+1)+(k+2),可利用均值不等式,方法：比较两者大小，排除根号障碍可以着差,小结：,两个步骤，一个结论。（递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明才完整）,分析n=k+1时的命题是，并找出与“n=k”时的差别，弄清左端应增减的项，明确