《3.2 数学证明》课件.ppt

1、3.2 数学证明课件,1.理解演绎推理的含义. 2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它进行一些简单的推理. 3.了解合情推理与演绎推理的联系与区别.,1.本课重点是演绎推理的含义，并能利用“三段论”进行简单的推理. 2.本课难点是利用“三段论”证明问题.,1.证明 证明命题的根据：_，已知的定义、公理、定理. 证明的方法：利用_的法则将命题推导出来. 2演绎推理的形式 主要形式：_推理.,命题的条件,演绎推理,三段论,3三段论 大前提：提供了一个_. 小前提：研究对象的_. 结论：根据_作出的判断.,一般性道理,特殊情况,大前提、小前提,4合情推理与演绎推理,归纳推理,不确定,三段论,类比推理

2、,1.演绎推理的结论是否一定正确？ 提示：演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就必然正确. 2.演绎推理的作用是什么？ 提示：演绎推理可以对由合情推理得到的结论进行严格的证明.,3.推理“矩形是平行四边形；三角形不是平行四边形； 所以三角形不是矩形”中的小前提是_. 【解析】在以上推理中是大前提,是小前提,是由大前提和小前提作出的判断. 答案：,1.对三段论原理的三点认识 (1)三段论中的大前提提供了一个一般性原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命题结论. (2)若集合M的所

3、有元素都具有性质P，S是M中的一个子集，那么S中的元素也具有性质P；若M中的元素都不具有性质P，则S中的元素也不具有性质P. (3)从以上两点可以看出：三段论推理的结论正确与否，取决于两个前提是否正确，推理形式(即S与M的包含关系)是否正确.,2.合情推理与演绎推理的区别与联系 (1)合情推理的特点是从特殊到一般或从特殊到特殊，结论不一定正确；演绎推理的特点是从一般到特殊，只要前提和形式正确，结论一定正确. (2)在认识世界的过程中，合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的，二者相辅相成，紧密联系.,将演绎推理写成三段论 【技法点拨】 1.三段论的结构及形式,

4、2.将演绎推理写成三段论的方法 (1)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提. (2)用三段论写推理过程中，有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略. (3)在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.,【典例训练】 1.用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20”，你认为这个推理( ) (A)大前提错误 (B)小前提错误 (C)推理形式错误 (D)大、小前提都错误,2.将下列演绎推理写成三段论的形式： (1)三角函数都是周期函数，y=sinx是三角函数，因此y=sinx为周期函数； (2)等腰三角形的两底角相等，A,B是等腰三角形的底角，A=

5、B； (3)菱形的对角线互相平分. 【解析】1.选A.任何实数的平方应大于或等于0，故大前提错误.,2.(1)大前提：三角函数都是周期函数; 小前提：y=sinx是三角函数; 结论：y=sinx是周期函数. (2)大前提：等腰三角形的两底角相等; 小前提：A,B是等腰三角形的底角; 结论：A=B. (3)大前提：平行四边形的对角线互相平分; 小前提：菱形是平行四边形; 结论：菱形的对角线互相平分.,【想一想】解答本题2(3)时的关键点及易忽视的问题是什么？ 提示：(1)本题大小前提均已省略，解题时明确该推理的大小前提是关键. (2)解题时对大小前提搞不清而导致错误.,【变式训练】把下列演绎推理

6、写成三段论的形式： (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ，所以在一个标准大气压下把水加热到100 时，水会沸腾； (2)两条直线平行，同旁内角互补.如果A与B是两条平行直线的同旁内角，那么A+B=180； (3)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以，正方形的对角线相等.,【解析】(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100 ; 小前提：在一个标准大气压下把水加热到100 ; 结论：水会沸腾. (2)大前提：两条直线平行，同旁内角互补; 小前提：A与B是两条平行直线的同旁内角; 结论：A+B=180. (3)大前提：矩形的对角线相等; 小前提：正方形是矩形; 结论：正方形的对角线相

7、等.,用三段论证明几何问题 【技法点拨】 三段论在几何问题中的应用 (1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提.,(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论. (3)命题的推理证明为多个三段论，称为复合三段论.事实上，每一次三段论的大前提可不写出，某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论，也可不再写出，即过程可简写.,【典例训练】 1.梯形的两腰和一底如果相等，则它的对 角线必平分另一底上的两个角. 已知

8、：在如图所示的梯形ABCD中，ADBC， AD=DC=AB，AC和BD是它的对角线. 求证：AC平分BCD，BD平分CBA.,2.如图，已知空间四边形ABCD中，点E,F分别 是AB,AD的中点. 求证：EF平面BCD.,【证明】1.大前提：等腰三角形的两底角相等; 小前提：ADC是等腰三角形，DA,DC是两腰; 结论：1=2. 大前提：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等; 小前提：1和3是平行线AD,BC被AC截得的内错角; 结论：1=3. 大前提：等于同一个量的两个量相等； 小前提：2和3都等于1； 结论：23，即AC平分BCD. 同理可证BD平分ABC.,2.大前提：三角形的中位线平

9、行于第三边; 小前提：EF为ABD的中位线; 结论：EFBD. 大前提：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行; 小前提：EF平面BCD,BD平面BCD,EFBD; 结论：EF平面BCD.,【思考】(1)利用三段论证明几何问题的基本思路是什么？ (2)在证明本题2时应注意什么问题？ 提示：(1)证明几何问题时先明确题意，利用三段论的 形式逐步得到结论，最后得到证明结果. (2)证明本题2时要强调“EF 平面BCD,BD 平面BCD”, 否则结果不严谨.,【变式训练】三棱锥PABC中，平面PBC 平面ABC,ACB=90，求证：ACPB. 【证明】ACB=90，ACBC.

10、又平面PBC平面ABC,且交线为BC, AC平面PBC. PB平面PBC,ACPB.,用三段论证明代数问题 【技法点拨】 代数问题中的三段论 代数问题中常见的利用三段论进行证明的命题主要体现在下面一些知识： (1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等.,(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等. (3)三角函数的图像与性质. (4)数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质. (5)不等式的证明等.,【典例训练】 1.已知函数f(x)= +bx(a0,b0,x0)，确定f(x)的单调区 间，并证明在每个单调区间上的增减性.,

11、2.已知正数数列an的前n项和 (nN+). (1)求证：数列an是等差数列； (2)定理：若函数f(x)在区间D上是凹函数，且f(x)存在，则 当x1x2(x1,x2D)时，总有 f(x1).请根据上 述定理，且已知函数y=xn+1(nN+)是(0,+)上的凹函数，求 证：bnbn+1.,【解析】1.任取x1,x2，且00,0b， f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2)， f(x)在(0, 上是减函数. 当x2x1 时，x2-x10,x1x2 , b, f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), f(x)在 ,+)上是增函数. 2.(1) 当n=1时，a1= . a10，a

12、1=1. 当n2时，an=Sn-Sn-1= (an+an-1)(an-an-1-1)=0. an0,an=an-1+1. an为等差数列,an=n.,(2)由(1)知bn= . 由函数y=xn+1，得y=(n+1)xn. y=xn+1在(0,+)上是凹函数, 当x1x20时, 有,即 令 得(n+1)x2-nx1=1, 即 bnbn+1.,【规范解答】函数中的演绎推理 【典例】(12分)已知定义域为0,1的函数f(x)同时满足以下三个条件: 对任意的x0,1，总有f(x)0; f(1)=1; 若x10,x20且x1+x21，有f(x1+x2)f(x1)+f(x2)成立，则称f(x)为“友谊函数

13、”.,(1)若已知f(x)为“友谊函数”，求f(0)的值; (2)函数g(x)=2x-1在区间0,1上是否为“友谊函数”？并给出理由； (3)已知f(x)为“友谊函数”，且0 x1x21，求证：f(x1)f(x2).,【解题指导】,【规范解答】(1)取x1=x2=0,得f(0)f(0)+f(0)，又由f(0)0，得f(0)=0. 3分 (2)显然g(x)=2x-1在0,1上满足g(x)0； g(1)=1;5分 若x10，x20，且x1+x21,有 g(x1+x2)-g(x1)+g(x2)= ( -1)+( -1)=( -1)( -1)0, 故g(x)=2x-1满足条件， 所以g(x)=2x-1

14、为“友谊函数”. 8分,(3)因为0 x1x21，则0 x2-x11, 所以 f(x2)=f(x2-x1+x1)f(x2-x1)+f(x1)f(x1).12分,【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的见规范解答过程),【规范训练】(12分)设g(x)= ，图像上任一点 P(x,y)处切线的斜率为f(x)，且方程f(x)=0的两根为, (a,bR). 若=+1，且Z，求证：f(-a)= (a2-1). 【解题设问】(1)本题需要求导数吗？_. (2)本题需要用到根与系数的关系吗？_.,需要,需要,【规范答题】(1)由题知f(x)=x2+ax+b，2分 由

15、题意知 6分 由，得 代入整理，得a2-4b=1，且满足, 10分 从而f(-a)=(-a)2+a(-a)+b=b= 12分,1.已知ABC中，A=30,B=60,求证：ab. 证明：A=30,B=60,AB. ab.其中，画线部分是演绎推理的( ) (A)大前提 (B) 小前提 (C)结论 (D)三段论 【解析】选B.由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提.,2.“因为对数函数y=logax是增函数(大前提),而 是对 数函数(小前提),所以 是增函数(结论)”.上面推理 的错误是( ) (A)大前提错导致结论错 (B)小前提错导致结论错 (C)推理形式错导致结论错 (D)大前提和小前提都错导致结论错 【解析】选A.y=logax是增函数这个大前提是错误的，从而导 致结论错误.,3.用演绎推理证明y=x2，x(-,0)是减函数时，大前提是_. 【解析】大前提：减函数的定义,即 在定义域D内，若x1x2,f(x1)f(x2),则f(x)在D上是减函数; 小前提:y=x2,x(-,0)时，对x1x2, 有f(x1)f(x2); 结论:y=x2,x(-,0)是减函数. 答案：减函数的定义,4.2100+1是奇数,所以2100+1不能被2整除,为使上述推理正确,请补充大前提为_. 【解析】利用“三段论”推理 大前