2011届高考数学二次函数复习.ppt

1、二次函数,高三备课组,一基础知识 1二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0) (2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。 (3)两根式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。,2二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线， 对称轴 ，顶点坐标,（1）a0时，抛物线开口向上，函数在 上单调递 减，在 上单调递增, 时， （2）a0时，抛物线开口向下，函数在 上单调递 增，在 上单调递减， 时，,3二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)当 时图

2、象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),4二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系,二重点、难点 1二次函数的图象与性质、二次函数、二次方程与二次不等式的关系是重点， 2二次函数最值问题、一元二次方程根的分布及二次函数的图象性质灵活应用是难点。,三题型剖析 1求二次函数的解析式 例1：已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。,练习：已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足下列条件： (1)图象过原点 (2)f(-x+2002)=f(x-2000) (3)方程f(x)=x有重根。,变式：书P21例2,2二次函数在区

3、间上的最值问题,练习:已知y=f(x)=x2-2x+3,当xt,t+1时，求函数的最大值和最小值。,例2.书P21例1,变式:已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0 x1时有最大值2，求a的值。,3一元二次方程根的分布及取值范围,练习:方程 在（- 1，1）上有实根，求k的取值范围。,变式:已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根，其中一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。 (2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。,例3.书P21例3,小结 1二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象形状、对称轴、开口方向等是处理

4、二次函数问题的重要依据。 2二次函数在闭区间上，必有最大值和最小值，当含有参数时，须对参数分区间讨论。 3二次方程根的分布问题，可借助二次函数图象列不等式组求解。 4三个二次问题（二次函数、二次方程、二次不等式）是中学数学中基础问题，以函数为核心，三者密切相连。,作业：优化设计,4利用二次函数解数学应用问题 备例4:某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租的车将会增加一辆，租出的车每辆需要维护费150元，未租的车每辆每月需要维护费50元， （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少

5、时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？,要点梳理 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f（x）= . (2)顶点式：f(x)= . (3)零点式：f(x)= . 求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所 给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式 中的一种来求.,2.5 二次函数,基础知识 自主学习,ax2+bx+c(a0),a(x-m)2+n(a0),a(x-x1)(x-x2) (a0),已知三个点的坐标时，宜用一般式. 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 （小）值有关时，常使用顶点式. 已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时， 选用零点式求f(x)更方便.,2.

6、二次函数的图象和性质,3.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),当=b2-4ac0时， 图象与x轴有两个交点M1(x1，0)、M2(x2，0)， 4.三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二 次不等式）. 在高考中三个二次不仅是各种问题转化的最后 的落脚点，而且单纯的三个二次问题间的相互 转化有时技巧性也会很强.,基础自测 1.函数y=x2+bx+c（x0，+）是单调函数的 充要条件是（ ） A.b0 B.b0 C.b0D.b0 解析 b0.故选A.,A,2.方程a2x2+ax-2=0 (|x|1)有解，则 （ ） A.|a|1 B.|a|2 C.|a|1 D.aR 解析 原方程可分解为

7、(ax+2)(ax-1)=0, ax=-2或ax=1,则有|a|2或|a|1.即|a|1.,A,3.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标 系中的图象大致是 （ ） 解析 选项A中,一次函数的斜率a0,而二次函数 开口向下，相互矛盾，排除A.同理排除D, y=ax2+bx+c的对称轴为 当a0,b0时， 排除B. 当a0,b0时， 故选C.,C,4.若函数f(x)=ax2+bx+c满足f(4)=f(1),那么（ ） A.f(2）f(3) B.f(3)f(2) C.f(3)=f(2) D.f(3)与f(2)的大小关系不能确定 解析 f(4)=f(1), 选C.,C,5.若二

8、次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1, 则f(x)的表达式为（ ） A.f(x)=-x2-x-1 B.f(x)=-x2+x-1 C.f(x)=x2-x-1 D.f(x)=x2-x+1 解析 方法一 由f(0)=1,可得f(x)=ax2+bx+1 (a0)，用排除法可选D.,方法二 由f(0)=1,可得f(x)=ax2+bx+1 (a0), 故f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+1. f(x+1)-f(x)=2ax+a+b, 由已知：f(x+1)-f(x)=2x,即2ax+a+b=2x.,答案 D,题型一 二次函数的解析式的求法 【例1】已知二次函数f(x)满足

9、f(2)=-1,f(-1)=-1, 且f(x)的最大值是8，求此二次函数的解析式. 确定二次函数采用待定系数法，有三 种形式，可根据条件灵活运用.,题型分类 深度剖析,思维启迪,解 方法一 设f(x)=ax2+bx+c (a0), 依题意有 所求二次函数为y=-4x2+4x+7. 方法二 设f(x)=a(x-m)2+n. f(2)=f(-1), 抛物线对称轴为 m=,又根据题意函数有最大值为n=8， y=f（x）= f（2）=-1， 解之，得a=-4. 方法三 依题意知：f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a

10、-1. 又函数有最大值ymax=8,即,解之，得a=-4或a=0(舍去）. 函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：f(x)=ax2+bx+c (a0) (2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k (a0) (3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0) 具体用哪种形式，可根据具体情况而定.,探究提高,知能迁移1 设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且 f（x）=0的两实数根平方和为10，图象过点(0,3), 求f（x）的解析式. 解 设f(x)=ax2+bx+c (a0). 由f(x+2)=f(2-x)知，该函数图象关

11、于直线x=2对称, 即b=-4a. 又图象过（0，3）点，c=3. ,b2-2ac=10a2. 由得a=1,b=-4,c=3. 故f（x）=x2-4x+3.,题型二 二次函数的图象与性质 【例2】 已知函数 在区间0,1 上的最大值是2，求实数a的值. 研究二次函数在给定区间上的最值问 题，要讨论对称轴与给定区间的关系. 解 对称轴为,思维启迪,(1)当0 1，即0a2时， 得a=3或a=-2,与0a2矛盾.不合要求； (2)当 1，即a2时，y在0，1上单调递增， 有ymax=f(1),f(1)=2 综上，得a=-6或a=,探究提高 (1)要注意抛物线的对称轴所在的位置对 函数最值的影响.

12、(2)解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二 次函数化为y=a(x-m)2+n的形式，得顶点（m，n）或 对称轴方程x=m，分三个类型： 顶点固定，区间固定； 顶点含参数，区间固定； 顶点固定，区间变动.,知能迁移2 已知函数f(x)=-x2+8x,求函数f(x)在区间 t,t+1上的最大值h(t). 解 f（x）=-x2+8x=-(x-4)2+16 当t+14时，f(x)在t,t+1上单调递减. 此时h(t)=f(t)=-t2+8t. 综上可知,题型三 二次函数的综合应用 【例3】 （14分）已知二次函数y=f(x)的图象与x轴 交于A，B两点，且 它在y轴上的截距 为4,又对任意的x都

13、有f(x+1)=f(1-x). （1）求二次函数的表达式； （2）若二次函数的图象都在直线l:y=x+c的下方， 求c的取值范围. 先根据性质特征：关于x=1对称，可设 为顶点式再待定系数.,思维启迪,解题示范 解 （1）方法一 f（x+1）=f（1-x）， y=f（x）的对称轴为x=1， 2分 又f(x)为二次函数， 可设f(x)=a(x-1)2+k (a0), 又当x=0时，y=4, a+k=4,得f(x)=a(x-1)2-a+4, 令f(x)=0,得a(x-1)2=a-4. 6分 即f(x)=-2(x-1)2+6=-2x2+4x+4. 8分,方法二 令二次函数y=f(x)的图象与x轴交于

14、 A（x1，0），B（x2，0），（x2x1）, f（x+1）=f（1-x）， x1+x2=2，x2-x1= ，得 3分 设二次函数 又f(0)=4,则a=-2. 即f(x)=-2(x-1)2+6=-2x2+4x+4. 8分 (2)由条件知-2x2+4x+40对xR恒成立. 12分 14分,探究提高 （1）求二次函数的解析式问题，一般都 采用待定系数法，就是根据条件先确定什么形式.如 一般式、顶点式、两点式等. （2）在研究二次函数图象在直线上方或下方，通常 是构造不等式，这也是数形结合的一个重要方面.,知能迁移3 已知二次函数f(x)=ax2+bx(a、b为常 数且a0)满足条件：f(-x+

15、5)=f(x-3),且方程 f(x)=x有等根. （1）求f(x)的解析式； （2）设g(x)=f(x)+tx(tR)，试求g(x)在区间 -1,1上的最小值； （3）是否存在实数m、n(mn)，使f(x)的定义域 和值域分别是m，n和3m,3n?如果存在， 求出m、n的值，若不存在，请说明理由.,解 （1）f(-x+5)=f(x-3), f(x)的对称轴 又f(x)=x有等根，ax2+(b-1)x=0有等根.,（2） 其对称轴为x=t+1,函数 图象是开口向下的抛物线，故求最小值只需讨论区 间两个端点-1与1离对称轴的距离.,当t+10，即t-1时， 为最小值； 当t+10，即t-1时， 为

16、最小值. （3）假设存在这样的m、n满足条件， 故二次函数f(x)在区间m,n上是增函数， mn,m=-4,n=0.,思想方法 感悟提高 方法与技巧 1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别 是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合 图形寻找思路. 2.含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是 分类讨论.比如讨论二次函数的对称轴与给定区 间的位置关系，又例如牵涉二次不等式需讨论 根的大小等. 3.求二次函数解析式的方法有：（1）一般式： y=ax2+bx+c（a0）;(2)顶点式：y=a(x-h)2+k; (3)两点式：y=a(x-x1)(x-x2).,4.关于二次函数y=f(x)对称轴

17、的判断方法： （1）对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有 f(x1)=f(x2),那么函数y=f(x)图象的对称轴方程为: (2)对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有 f(a+x)=f(a-x)成立，那么函数y=f(x)图象的对称 轴方程为：x=a(a为常数). （3）对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有 f(x+2a)=f(x)，那么函数y=f(x)图象的对称轴方程 为:x=a(a为常数).,注意：（2）（3）中，f（a+x）=f(a-x)与f(x+2a)=f(x)是等价的. （4）利用配方法求二次函数y=ax2+bx+c (a0)对称 轴方程为 (5)利用方程

18、根法求对称轴方程.若二次函数y=f(x） 对应方程为f(x)=0两根为x1、x2,那么函数y=f(x)图 象的对称轴方程为：,失误与防范 1.求二次函数的单调区间时要经过配方法，要熟 练准确利用配方法. 2.对于函数y=ax2+bx+c要认为它是二次函数，就必 须认定a0，当题目条件中未说明a0时，就要 讨论a=0和a0两种情况. 3.对于二次函数y=ax2+bx+c (a0)给定了定义域为 一个区间k1，k2时，利用配方法求函数的最值 是极其危险的，一般要讨论函数图象的 对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论下列四 种情况：,对于这种情况，也可以利用导数法求 函数在闭区间的最值方法求最值.这两

19、种方法运 算量相当. 4.注意判别式作用，正确利用判别式.,定时检测 一、选择题 1.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调 函数，则实数a的取值范围是 （ ） A.a2或a3B.2a3 C.a-3或a-2D.-3a-2 解析 本题考查二次函数图象及其性质，由于 二次函数的开口向上，对称轴为x=a，若使其在 区间（2，3）内是单调函数，则需所给区间在 对称轴的同一侧，即a2或a3.,A,2.已知2x2-3x0，那么函数f(x)=x2+x+1 （ ） A.有最小值 但无最大值 B.有最小值 有最大值1 C.有最小值1，有最大值 D.无最小值，也无最大值 解析 由2x2-3x0得

20、 故选C.,C,3.如果f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(t+2)=f(2-t)， 那么 （ ） A.f(2)f(1)f(4)B.f(1)f(2)f(4) C.f(2)f(4)f(1)D.f(4)f(2)f(1) 解析 由f(t+2)=f(2-t)知f(x)的对称轴为：x=2, f(x)在2,+）上单调递增， f(2)f(3)f(4), 又f(1)=f(22-1)=f(3), f(2)f(1)f(4).故选A.,A,4.函数f(x)=-x2+(2a-1)|x|+1的定义域被分成了四个 不同的单调区间，则实数a的取值范围是 （ ） A. B. C. D.,解析 f（x）=-x2+(2a

21、-1)|x|+1是由函数f(x)=-x2+ (2a-1)x+1变化得到，第一步保留y轴右侧的图象，再 作关于y轴对称的图象.因为定义域被分成四个单调区 间，所以f(x)=-x2+(2a-1)x+1的对称轴在y轴的右侧， 使y轴右侧有两个单调区间，对称后有四个单调区间. 所以,C,5.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间0,m上最大值 为3，最小值为2，则m的取值范围为 （ ） A.1，+）B.0，2 C.（-，-2D.1，2 解析 f（x）=（x-1）2+2，其对称轴为x=1, 当x=1时，f(x)min=2,故m1, 又f(0)=3,f(2)=3,m2.综上，1m2.,D,6.（2008

22、江西文，12）已知函数f(x)=2x2+(4-m)x +4-m,g(x)=mx，若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值 至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( ) A.-4，4B.（-4，4） C.（-，4）D.（-，-4） 解析 若m=0时，f(x)=2x2+4x+4,g(x)=0, f（x）=2(x2+2x+2)=2(x+1)2+20, m=0符合题意. 若m0；在x0时，g(x)0, 需要f(x)=2x2+(4-m)x+4-m0在0，+）上 恒成立.,m0，在x0时，g(x)0;在x0时，g(x)0, 需使f(x)=2x2+(4-m)x+4-m0在（-，0上恒 成立， 综上可知，m4

23、. 答案 C,二、填空题 7.方程x2-mx+1=0的两根为,且0,12,则 实数m的取值范围是 . 解析 方法一,方法二 设f(x)=x2-mx+1, =1且12, 01.由图可知， f（1）f(2)=(2-m)(5-2m)0, 答案,8.若函数y=x2+(a+2)x+3,xa,b的图象关于x=1 对称，则b= . 解析 函数y=x2+(a+2)x+3的图象的对称轴为,6,9.设二次函数 的定义域为n,n+1, nN*，则f(x)的值域中有 个整数. 解析 函数f(x)的对称轴为 函数f(x)在定义域n,n+1,nN*上单调递增， f(x)f(n),f(n+1),2n+2,三、解答题 10.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0,bR,cR). （1）若函数f(x)的最小值f(-1)=0,且c=1, （2）若a=1,c=0,且|f(x)|1在区间(0,1恒成 立，试求b的取值范围. 解 （1）由已知c=1,a-b+c=0,且 解得a=1,b=2.f(x)=(x+1)2.,F(2)+F(-2)=(2+1)2