立体几何大题

1、2016年7月9日数学周测试卷 一、解答题（共25小题；共325分）1. 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2（1） 在图中找出平面 ABCD，平面 ADD1A1，平面 BDD1B1 的一个法向量；（2） 以点 D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出（1）中三个法向量的坐标 2. 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求 BD 与平面 A1C1D 所成角的余弦值 3. 设 a，b 分别是两条异面直线 l1，l2 的方向向量，且 cosa,b=12，求异面直线 ll 和 l2 所成的角 4. 如图，直三棱柱 ABCABC，BAC=90，AB=AC=2，AA=1，点 M 、

2、 N 分别为 AB 和 BC 的中点（锥体体积公式 V=13Sh，其中 S 为底面面积，h 为高）（1） 证明：MN平面AACC；（2） 求三棱锥 AMNC 的体积 5. 三棱锥 PABC 中，侧面 PAC 与底面 ABC 垂直，PA=PB=PC=3（1） 求证：ABBC；（2） 设 AB=BC=23，求 AC 与平面 PBC 所成角的大小 6. 如图，ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，且 AB=BC=BD=2，ABC=DBC=120，E，F 分别为 AC，DC 的中点（1） 求证：EFBC；（2） 求二面角 EBFC 的正弦值 7. 如图，四边形 ABCD 为正方形，QA 平面 ABCD

3、，PDQA，QA=AB=12PD（1） 证明：PQ 平面 DCQ；（2） 求棱锥 QABCD 的体积与棱锥 PDCQ 的体积比值 8. 如图，在 ABC 中，B=90，AC=152，D，E 两点分别在 AB，AC 上，使 ADDB=AEEC=2，DE=3现将 ABC 沿 DE 折成直二面角，求：（1） 异面直线 AD 与 BC 的距离；（2） 二面角 AECB 的大小（用反三角函数表示） 9. 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB1 的中点（1） 证明：BC1平面A1CD；（2） 设 AA1=AC=CB=2，AB=22，求三棱锥 EA1CD 的体积 10. 如图，

4、正四棱锥 SABCD 的所有棱长均为 2，E，F，G 分别为棱 AB，AD，SB 的中点（1） 求证：BD平面EFG，并求出直线 BD 到平面 EFG 的距离；（2） 求点 C 到平面 EFG 的距离 11. 已知过球面上三点 A，B，C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 AC=BC=6，AB=4计算球的表面积与体积 12. 如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上，ACB=90，BC=1，AC=CC1=2（1） 证明：AC1A1B；（2） 设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 3，求二面角 A1ABC 的大小 13. 如图，四

5、棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，BA=BD=2，AD=2，PA=PD=5，E,F 分别是棱 AD,PC 的中点（1） 证明：EF 平面 PAB；（2） 若二面角 PADB 为 60， 证明：平面 PBC 平面 ABCD； 求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值 14. 如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，侧棱 A1A底面ABCD，ABAC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=5用向量法解决下列问题：（1） 若 AC 的中点为 E，求 A1C 与 DE 所成的角；（2） 求二面角 B1ACD1 （锐角）的余弦值 15. 已知在四棱锥 PABCD 中，底面 A

6、BCD 是矩形，且 AD=2，AB=1，PA 平面 ABCD，E，F 分别是线段 AB，BC 的中点（1） 证明：PFFD；（2） 在线段 PA 上是否存在点 G，使得 EG平面PFD ?若存在，确定点 G 的位置；若不存在，说明理由（3） 若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45，求二面角 APDF 的余弦值 16. 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC=BC，AA1=AB，D 为 BB1 的中点，E 为 AB1 上的一点，AE=3EB1（1） 证明：DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线；（2） 设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45，求二面角 A1AC1B1 的大

7、小 17. 已知在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ADCD，PA=PD=AD=2BC=2CD，E，F 分别为 AD，PC 的中点（1） 求证：AD平面PBE；（2） 求证：PA平面BEF；（3） 若 PB=AD，求二面角 FBEC 的大小 18. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB=4，AC=BC=3，D 为 AB 的中点（1） 求异面直线 CC1 和 AB 的距离；（2） 若 AB1A1C，求二面角 A1CDB1 的平面角的余弦值 19. 如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，BCAD，BC=12AD=2 A=60，E 为 AD 中点，点 O，F 分别为 BE，DE 的中点，将

8、ABE 沿 BE 折起到 A1BE 的位置，使得平面 A1BE 平面 BCDE（如图 2）（1） 求证：A1OCE （2） 求直线 A1B 与平面 A1CE 所成角的正弦值（3） 侧棱 A1C 上是否存在点 P，使得 BP 平面 A1OF，若存在，求处 A1PA1C 的值，若不存在，说明理由 20. 在正三角形 ABC 中，E，F，P 分别是 AB，AC，BC 边上的点，满足 AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2（如图1）将 AEF 沿 EF 折起到 A1EF 的位置，使二面角 A1EFB 成直二面角，连接 A1B，A1P（如图2）（1） 求证：A1E平面BEP；（2） 求直线 A1E

9、与平面 A1BP 所成角的大小；（3） 求二面角 BA1PF 的余弦值 21. 如图，四面体 ABCD 中，O 是 BD 的中点，ABD 和 BCD 均为等边三角形，AB=2，AC=6（1） 求证：AO平面BCD；（2） 求二面角 ABCD 的余弦值；（3） 求 O 点到平面 ACD 的距离 22. 如图，已知 AB平面BEC，ABCD，AB=BC=4，CD=2，BEC 为等边三角形（1） 求证：平面ABE平面ADE（2） 求 二面角ADEB 的平面角的余弦值 23. 如图，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，ABC=4，OA底面ABCD，OA=2，M 为 OA 的

10、中点，N 为 BC 的中点，以 A 为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：（1） 证明：直线 MN平面OCD；（2） 求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；（3） 求点 B 到平面 OCD 的距离 24. 如图，已知边长为 4 的菱形 ABCD 中，ACBD=O，ABC=60将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起得到三棱锥 DABC，设二面角 DACB 的大小为 （1） 当 =90 时，求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值；（2） 当 =60 时，求直线 BC 与平面 DAB 所成角的正弦值 25. 如图，在四棱锥 ABCDE 中，底面 BCDE 为平行四边形，平面

11、ABE平面BCDE，AB=AE，DB=DE，BAE=BDE=90（1） 求异面直线 AB 与 DE 所成角的大小；（2） 求二面角 BAEC 的余弦值答案第一部分1. （1） 由正方体可得 DD1平面ABCD，AB平面ADD1A1，平面 ABCD 的一个法向量为 DD1，平面 ADD1A1 的一个法向量为 AB；连接 AC，ACBD，ACBB1，得 AC平面BB1D1D，平面 BDD1B1 的一个法向量为 AC （2） 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz，可得 D10,0,2，A2,0,0，B2,2,0，C0,2,0 DD1=0,0,2，AB=0,2,0，AC=2,2,02. 以 AB，AD，

12、AA1 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 A10,0,1，C11,1,1，D0,1,0，设平面 A1C1D 的法向量为 n=x,y,z，则 nA1C1=0，nA1D=0，解得 n=1,1,1，BD=1,1,0，所以 BD 与平面 A1C1D 所成角 cos=223=63 所以 BD 与平面 A1C1D 所成角的余弦值是 333. 因为 cosa,b=12，a,b0,，所以 a,b=23所以 l1 和 l2 所成的角为 34. （1） 证法一：连接 AB，AC，由已知 BAC=90，AB=AC，三棱柱 ABCABC 为直三棱柱，所以 M 为 AB 中点又因为

13、 N 为 BC 的中点，所以 MNAC又 MN平面AACC，AC平面AACC，因此 MN平面AACC证法二：取 AB 中点 P，连接 MP，NP因为 M，N 分别为 AB 与 BC 的中点，所以 MPAA，PNAC，所以 MP平面AACC，PN平面AACC，又 MPNP=P，因此平面 MPN平面AACC，而 MN平面MPN因此 MN平面AACC （2） 解法一：连接 BN，如图，由题意得 ANBC，ANBB，所以 AN平面NBC又 AN=12BC=1，故VAMNC=VNAMC=12VNABC=12VANBC=16.解法二：VAMNC=VANBCVMNBC=12VANBC=16.5. （1） 如

14、图，取 AC 中点 O，连接 PO,BO PA=PC，POAC又 侧面 PAC 底面 ABC， PO 底面 ABC又 PA=PB=PC， AO=BO=CO ABC 为直角三角形 ABBC （2） 如图，取 BC 的中点 M，连接 OM,PM，则有OM=12AB=3,AO=12232+232=6,PO=PA2AO2=3,由（1）有 PO 平面 ABC，OMBC，再结合 PB=PC，可知PMBC. 平面 POM 平面 PBC，又 PO=OM=3 POM 是等腰直角三角形，取 PM 的中点 N，连接 ON,NC，则ONPM,又 平面 POM 平面 PBC，且交线是 PM， ON 平面 PBC OCN

15、 即为 AC 与平面 PBC 所成的角ON=12PM=123232=62,OC=6, sinOCN=ONOC=12， OCN=6，故 AC 与平面 PBC 所成的角为 66. （1） 法一：如图，过 E 作 EOBC，垂足为 O，连 OF，由 ABCDBC 可证出 EOCFOC，所以 EOC=FOC=2，即 FOBC又 EOBC，因此 BC 面 EFO，又 EF 面 EFO，所以 EFBC法二：由题意，以 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 x 轴，BC 所在直线为 y 轴，在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系易得

16、B0,0,0,A0,1,3,D3,1,0,C0,2,0,因而E0,12,32,F32,12,0,所以EF=32,0,32,BC=0,2,0,因此 EFBC=0，从而 EFBC，所以 EFBC （2） 法一：在图中，过 O 作 OGBF，垂足为 G，连 EG，由平面 ABC 平面 BDC，从而 EO 平面 BDC，所以 EOBF又 OGBF，所以 BF 平面 EOG，从而 EGBF. 因此 EGO 为二面角 EBFC 的平面角；在 EOC 中，可得EO=12EC=12BCcos30=32,由 BGOBFC 知OG=BOBCFC=34,因此tanEGO=EOOG=2,从而sinEGO=255,即二

17、面角 EBFC 的正弦值为 255法二：在图中，平面 BFC 的一个法向量为 n1=0,0,1，设平面 BEF 的法向量 n2=x,y,z，又BF=32,12,0,BE=0,12,32,由 n2BF=0,n2BE=0, 得其中一个n2=1,3,1,设二面角 EBFC 的大小为 ，且由题意知 为锐角，则cos=cosn1,n2=n1n2n1n2=15,因sin=25=255,即二面角 EBFC 的正弦值为 2557. （1） 由条件知 PDAQ 为直角梯形 QA 平面 ABCD， 平面 PDAQ 平面 ABCD，交线为 AD又四边形 ABCD 为正方形，DCAD， DC 平面 PDAQ，可得 P

18、QDC在直角梯形 PDAQ 中可得DQ=PQ=22PD,则 PQQD所以 PQ 平面 DCQ （2） 设 AB=a由题设知 AQ 为棱锥 QABCD 的高，所以棱锥 QABCD 的体积V1=13a3.由（1）知 PQ 为棱锥 PDCQ 的高，而 PQ=2a，DCQ 的面积为 22a2，所以棱锥 PDCQ 的体积V2=13a3.故棱锥 QABCD 的体积与棱锥 PDCQ 的体积比值为 18. （1） 如图1中，因为 ADDB=AECE，所以 BEBC又因为 B=90，从而 ADDE在图2中，因 ADEB 是直二面角，ADDE，故 AD底面DBCE，从而 ADDB而 DBBC，故 DB 为异面直线

19、 AD 与 BC 的公垂线下面求 DB 之长在图 1 中，由ADDB=AEEC=2,得DEBC=ADAB=23.又已知 DE=3，从而BC=32DE=92,AB=AC2BC2=1522922=6.因 DBAB=13，故DB=2.即异面直线 AD 与 BC 的距离为 2 （2） 方法一：在图2中，过 D 作 DFCE，交 CE 的延长线于 F，连接 AF由（1）知，AD底面DBCE，由三垂线定理知 AFFC，故 AFD 为二面角 AECB 的平面角在底面 DBCE 中，DEF=BCE，所以DB=2,EC=13152=52,因此sinBCE=DBEC=45.从而在 RtDFE 中，DE=3,DF=

20、DEsinDEF=DEsinBCE=125.在 RtAFD，中AD=4,tanAFD=ADDF=53.因此所求二面角 AECB 的大小为 arctan53方法二：如图3，由（1）知，以 D 点为坐标原点，DB,DE,DA 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则D0,0,0,A0,0,4,C2,92,0,E0,3,0.所以CE=2,32,0,AD=0,0,4,过 D 作 DFCE，交 CE 的延长线于 F，连接 AF设 Fx0,y0,0，从而DF=x0,y0,0,EF=x0,y03,0,由 DFCE，有DFCE=0,即2x0+32y0=0,又由 CEEF，得x02=y0332,联

21、立、，解得x0=3625,y0=4825,即F3625,4825,0,得AF=3625,4825,4,因为AFCE=36252+482532=0,故 AFCE，又因 DFCE，所以 DFA 为所求的二面角 AECB 的平面角因 DF=3625,4825,0，有DF=36252+48252=125,AD=4,所以tanAFD=ADDF=53.因此所求二面角 AECB 的大小为 arctan539. （1） 连接 AC1 交 A1C 于 O，可得 ODBC1，又 OD面A1CD，BC1面A1CD，所以 BC1平面A1CD （2） 直棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1面ABC，所以 AA1CD，又

22、 ABCD，AA1AB=A，所以 CD面A1DE，所以三棱锥 EA1CD 可以把面 A1DE 作为底面，高就是 CD=2，底面 A1DE 的面积为 422222=322，所以三棱锥 EA1CD 的体积为 322213=110. （1） 因为 E，F 分别为棱 AB，AD 的中点，所以 EFBD又 EF平面EFG，BD平面EFG，所以 BD平面EFG如图建立空间直角坐标系，则 A2,0,0，B0,2,0，D0,2,0，S0,0,2，E22,22,0，F22,22,0，G0,22,22设平面 EFG 的法向量为 m=x,y,z， EF=0,2,0，EG=22,0,22，可得 m=1,0,1，所以点

23、 B 到平面 EFG 的距离为 d=EBmm=12即直线 BD 到平面 EFG 的距离为 12 （2） 因为 EC=322,22,0，所以点 C 到平面 EFG 的距离为 d=ECmm=3211. 如图，设球面的半径为 r，O 是 ABC 的外心，外接圆半径为 R，则 OO面ABC在 RtACD 中，cosA=26=13，则 sinA=223，在 ABC 中，由正弦定理得 6sinA=2R，R=924，即 OC=924在 RtOCO 中，由题意得 r214r2=81216，得 r=362球的表面积 S=4r2=4964=54球的体积为 433623=27612. （1） A1D 平面 ABC，

24、A1D 平面 AA1C1C，故平面 AA1C1C 平面 ABC又 BCAC，所以 BC 平面 AA1C1C如图，连接 A1C，因为侧面 AA1C1C 为菱形，故 AC1A1C，由 BC 平面 AA1C1C 知 AC1BC，而 A1CBC=C，故可得 AC1面A1CB，所以 AC1A1B （2） BC 平面 AA1C1C，BC 平面 BCC1B1，故平面 AA1C1C 平面 BCC1B1作 A1ECC1，E 为垂足，则 A1E 平面 BCC1B1又直线 AA1 平面 BCC1B1，因而 A1E 为直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离，A1E=3因为 A1C 为 ACC1 的角平分线，故 A

25、1D=A1E=3作 DFAB，F 为垂足，连接 A1F，由题可知 A1D面ACB，所以 A1DAB因此，可知 AB面A1DF，因此 A1FAB，故 A1FD 为二面角 A1ABC 的平面角由AD=AA12A1D2=1,得 D 为 AC 的中点，DF=12ACBCAB=55,所以tanA1FD=A1DDF=15,所以二面角 A1ABC 的大小为 arctan1513. （1） 如图，取 PB 中点 M，连接 FM，因为 F 为 PC 中点，所以 FM 为 PBC 中位线，所以 FMBCAE 且 FM=12BC=AE，所以四边形 EFMA 为平行四边形，EFAM因为 EF 平面 PAB，AM 平面

26、 PAB，所以 EF 平面 PAB （2） 连接 PE,BE因为 PA=PD，BA=BD，而 E 为 AD 中点，故 PEAD，BEAD，所以 PEB 为二面角 PADB 的平面角在 PAD 中，由AD=2,PA=PD=5,可解得PE=2. ABD 中，由BA=BD=2,可解得BE=1.在三角形 PEB 中，PE=2，BE=1，PEB=60，由余弦定理，可解得PB=3,从而 PBE=90，即 BEPB，又 BCAD，BEAD，从而 BEBC，因此 BE 平面 PBC又 BE 平面 ABCD，所以平面 PBC 平面 ABCD；连接 BF，由 知 BE 平面 PBC所以 EFB 为直线 EF 与平

27、面 PBC 所成的角，由PB=3,PA=5,AB=2,得 ABP 为直角，而MB=12PB=32,可得 AM=112，故 EF=112又 BE=1，故在 RtEBF 中，可得sinEFB=BEEF=21111.所以，直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 2111114. （1） 由 AD=CD，AC 的中点为 E，所以 DEAC如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 A0,0,0，B1,0,0，A10,0,2，C0,2,0，D2,1,0，B11,0,2，D12,1,2，E0,1,0 A1C=0,2,2，DE=2,0,0，因为 A1CDE=0,2,22,0,0=0+0+0=0

28、，所以 A1CDE，即 A1C 与 DE 所成的角为 2 （2） 设平面 B1AC 与平面 D1AC 所成的角为 ，平面 B1AC 的法向量为 m=x1,y1,1，平面 D1AC 的法向量为 n=x2,y2,1 B1A=1,0,2，D1A=2,1,2，AC=0,2,0由 mB1A=0,mAC=0, 得 x12=0,2y1=0, 解得 x1=2,y1=0, 所以 m=2,0,1，同理可得 n=1,0,1，设的夹角为 ，则 cos=mnmn=2+152=1010，由图知 cos=cos=1010，所以二面角 B1ACD1 （锐角）的余弦值为 101015. （1） PA平面ABCD，BAD=90，

29、AB=1，AD=2，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A0,0,0，B1,0,0，F1,1,0，D0,2,0不妨令 P0,0,t， PF=1,1,t，DF=1,1,0， PFDF=11+11+t0=0，即 PFFD （2） 如图所示，设平面 PFD 的法向量为 n=x,y,z，由 nPF=0,nDF=0, 得 x+ytz=0,xy=0. 令 z=1，得 x=y=t2，所以 n=t2,t2,1设 G 点坐标为 0,0,m 0mt，E12,0,0，则 EG=12,0,m要使 EG平面PFD，只需 EGn=0，即 12t2+0t2+1m=mt4=0，得m=14t,从而满足 AG=14AP

30、的点 G 即为所求 （3） AB平面PAD， AB 是平面 PAD 的法向量，易得 AB=1,0,0，又 PA平面ABCD， PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角，得 PBA=45，PA=1，平面 PFD 的法向量为 n=12,12,1，所以cosAB,n=ABnABn=1214+14+1=66,因为所求二面角为锐角，故所求二面角 APDF 的余弦值为 6616. （1） 法一：如图，连接 A1B，记 A1B 与 AB1 的交点为 F因为面 AA1B1B 为正方形，故 A1BAB1，且 AF=FB1又 AE=3EB1，所以 FE=EB1，又 D 为 BB1 的中点，故 DEBF，DEA

31、B1作 CGAB，G 为垂足，由 AC=BC 知，G 为 AB 中点又由底面 ABC面AA1B1B，得 CG面AA1B1B连接 DG，则 DGAB1，故 DEDG，易得 DECD所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线法二：以 B 为坐标原点，射线 BA 为 x 轴正半轴，射线 BB1 为 y 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz 设 AB=2，则A2,0,0,B10,2,0,D0,1,0,E12,32,0.又设 C1,0,c，则DE=12,12,0,B1A=2,2,0,DC=1,1,c.于是 DEB1A=0，DEDC=0，故 DEB1A，DEDC所以 DE 为异面直线

32、AB1 与 CD 的公垂线 （2） 解法一：因为 DGAB1，故 CDG 为异面直线 AB1 与 CD 的夹角，CDG=45设 AB=2，则AB1=22,DG=2,CG=2,AC=3.如图，作 B1HA1C1，H 为垂足因为底面 A1B1C1面AA1C1C，故 B1H面AA1C1C，又作 HKAC1，K 为垂足，连接 B1K，易得 B1KAC1，因此 B1KH 为二面角 A1AC1B1 的平面角又 B1H=A1B1A1C1212A1B12A1C1=223,HC1=B1C12B1H2=33,AC1=22+32=7,HK=AA1HC1AC1=2337, 所以 tanB1KH=B1HHK=14，所以

33、二面角 A1AC1B1 的大小为 arctan14解法二：因为 B1A,DC 等于异面直线 AB1 与 CD 的夹角，故B1ADC=B1ADCcos45,即22c2+222=4,解得 c=2，故 AC=1,0,2又 AA1=BB1=0,2,0，所以AC1=AC+AA1=1,2,2.设平面 AA1C1 的法向量为 m=x,y,z，则mAC1=0,mAA1=0,即x+2y+2z=0,2y=0.令 x=2，则 z=1,y=0，故 m=2,0,1设平面 AB1C1 的法向量为 n=p,q,r，则nAC1=0,nB1A=0,即p+2q+2r=0,2p2q=0.令 p=2，则 q=2,r=1，故 n=2,

34、2,1所以cosm,n=mnmn=115.由于 m,n 等于二面角 A1AC1B1 的平面角，所以二面角 A1AC1B1 的大小为 arccos151517. （1） 因为 PA=PD=AD，E 为 AD 中点，所以 ADPE，又 ADBC，ADCD，得 ADBE，因为 PE，BE 都在平面 PBE 内，且 PEBE=E，所以 AD平面PBE （2） 连接 AC 交 BE 于点 G，连接 FG，因为 BC 平行且等于 AE，所以 G 为 BE 中点，又 F 为 PC 中点，所以 PAFG，因为 PA平面BEF，FG平面BEF，所以 PA平面BEF； （3） 取 CD 中点 H，连接 GH，FH

35、，若 PB=AD，设 PB=AD=2x，则 EB=CD=x，PE=3x，所以 EB2+PE2=PB2，所以 EBPE又 EBAD，PEAD=E，所以 EB面PAD，所以 BEPA又 PAFG，所以 FGBE又 GHBE，所以 FGH 即为所求二面角的平面角因为 GHED，GFAP，而 PAD=60，所以 FGH=PAD=6018. （1） 因为 AC=BC，D 为 AB 的中点，故 CDAB又在直三棱柱中，CC1 平面 ABC，故 CC1CD，所以异面直线 CC1 和 AB 的距离为 CD=BC2BD2=5 （2） 由 CDAB，CDBB1，ABBB1=B，故 CD 平面 A1ABB1，从而

36、CDDA1，CDDB1，故 A1DB1 为所求的二面角 A1CDB1 的平面角因为 A1D 是 A1C 在平面 A1ABB1 上的射影，又已知 AB1A1C，由三垂线定理的逆定理得 AB1A1D，从而 A1AB1，A1DA 都与 B1AB 互余，因此A1AB1=A1DA,所以 RtA1ADRtB1A1A因此AA1AD=A1B1AA1,得AA12=ADA1B1=8,从而A1D=AA12+AD2=23,B1D=A1D=23,所以在 A1DB1 中，由余弦定理得cosA1DB1=A1D2+B1D2A1B122A1DB1D=13.19. （1） 如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，由 BCAD，BC=

37、12AD=2，A=60，E 为 AD 中点，所以 ABE 为等边三角形，如图 2，因为 O 为 BE 的中点，所以 A1OBE，又因为平面 A1BE 平面 BCDE，且平面 A1BE 平面 BCDE=BE，所以 A1O 平面 BCDE，所以 A1OCE （2） 连接 OC，由已知得 CB=CE，又 O 为 BE 的中点，所以 OCBE，由 1 知 A1O 平面 BCDE，所以 A1OBE，A1OOC 所以 OA1，OB，OC 两两垂直，以 O 为原点，OB，OC，OA1 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系（如图）因为 BC=2，易知 OA1=OC=3，所以 A10,0,3，B1,0,0，

38、C0,3,0，E1,0,0，所以 A1B=1,0,3，A1C=0,3,3，A1E=1,0,3，设平面 A1CE 的一个法向量为 n=x,y,z，由 nA1C=0,nA1E=0, 得 3y3z=0,x3z=0, 即 yz=0,x+3z=0, 取 z=1，得 n=3,1,1 ， 设直线 A1B 与平面 A1CE 所成角为 ，则sin=cosA1B,n=3325=35=155,所以直线 A1B 与平面 A1CE 所成角的正弦值为 155 （3） 假设在侧棱 A1C 上存在点 P，使得 BP 平面 A1OF ，设 A1P=A1C，0,1 ，因为 BP=BA1+A1P=BA1+A1C，所以 BP=1,0

39、,3+0,3,3=1,3,33，易证四边形 BCDE 为菱形，且 CEBD，又由问题 1 可知，A1OCE，所以 CE 平面 A1OF，所以 CE=1,3,0 为平面 A1OF 的一个法向量，由 BPCE=1,3,331,3,0=13=0，得 =130,1 所以侧棱 A1C 上存在点 P，使得 BP 平面 A1OF，且 A1PA1C=1320. （1） 在图 1 中，取 BE 的中点 D，连接 DF因为 AE:EB=CF:FA=1:2，所以 AF=AD=2，而 A=60，所以 ADF 是正三角形，又 AE=DE=1，所以 EFAD，在图2中，A1EEF，BEEF，所以 A1EB 为二面角 A1

40、EFB 的平面角由题设条件知此二面角为直二面角，所以 A1EBE又 BEEF=E，所以 A1E平面BEF，即 A1E平面BEP （2） 建立分别以 ED，EF，EA1 为 x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，则 E0,0,0，A10,0,1，B2,0,0，F0,3,0，P1,3,0，则 A1E=0,0,1，A1B=2,0,1，BP=1,3,0设平面 A1BP 的法向量 n1=x1,y1,z1，由 n1平面ABP 知，n1AB，n1BP，即 2x1z1=0,x1+3y1=0, 令 x1=3，得 y1=1，z1=23，n1=3,1,23cosAE,n1=AEn1AEn1=30+10+2313+

41、1+120+0+1=32,所以直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角为 60 （3） AF=0,3,1，PF=1,0,0，设平面 AFP 的法向量为 n2=x2,y2,z2由 n2平面AFP 知，n2AF，n2PF，即 2x2=0,3y2z2=0, 令 y2=1，得 x2=0，z2=3，n2=0,1,3cosn1,n2=n1n2n1n2=30+11+2333+1+120+1+3=78,所以二面角 BA1PF 的余弦值是 7821. （1） 连接 OC，因为 ABD 为等边三角形，O 为 BD 的中点，所以 AOBD，因为 ABD 和 CBD 为等边三角形，O 为 BD 的中点，AB=2，AC

42、=6，所以 AO=CO=3在 AOC 中，因为 AO2+CO2=AC2，所以 AOC=90，即 AOOC，因为 BDOC=O，AO面BCD （2） 解法一：过 O 作 OEBC 于 E，连接 AE，因为 AO平面BCD，所以 AE 在平面 BCD 上的射影为 OE，所以 AEBC，所以 AEO 为二面角 ABCD 的平面角在 RtAEO 中，AO=3，OE=32，tanAEO=AOOE=2，cosAEO=55，所以二面角 ABCD 的余弦值为 55解法二：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 O0,0,0，A0,0,3，B0,1,0，C3,0,0，D0,1,0，因为 AO平面BCD，所以

43、平面 BCD 的法向量 AO=0,0,3 设平面 ABC 的法向量 n=x,y,z，AB=0,1,3，BC=3,1,0由 nAB=0,nBC=0,y3z=0,3xy=0,n=1,3,1. 设 n 与 AO 夹角为 ，则cos=nAOnAO=55,所以二面角 ABCD 的余弦值为 55 （3） 解法一：设点 O 到平面 ACD 的距离为 h，因为 VOACD=VAOCD，所以 13SACDh=13SOCDAO在 ACD 中，AD=CD=2，AC=6，所以 SACD=12622622=152而 AO=3,SOCD=32，所以 h=SOCDSACDAO=155，所以点 O 到平面 ACD 的距离为

44、155，解法二：设平面 ACD 的法向量为 m=x,y,z，又 DA=0,1,3，DC=3,1,0， mDA=0,mDC,y+3z=0,3x+y=0,m=1,3,1. 设 OA 与 m 夹角为 ，则cos=mOAaOA=55,设 O 到平面 ACD 的距离为 h，因为 hOA=55h=155，所以 O 到平面 ACD 的距离为 15522. （1） 证法1：如图，取 BE 的中点 F，AE 的中点 G，连接 FG，GD，CF，所以 GF=12AB，GFAB因为 DC=12AB，CDAB所以 CDGF，CD=GF所以四边形 CFGD 是平行四边形，所以 CFGD因为 AB平面BEC，所以 ABC

45、F因为 CFBE，ABBE=B，所以 CF平面ABE因为 CFDG，所以 DG平面ABE因为 DG面ADE，所以 平面ABE平面ADE证法2：如图，可证得 BGD 是 二面角BAED 的平面角在 BGD 中，计算可得： BG=22，DG=23，BD=25，满足 BD2=BG2+DG2，故 BGD=2，所以 平面ABE平面ADE （2） 方法1：如图，过点 G 作 GHFD 于点 H，过点 H 作 HMDE 于点 M，由 BEGF，BEFC，可得 BE平面GFCD，平面BED平面GFCD从而 GH平面BED，由此可得 DE平面GHM，即 GMH 就是 二面角ADEB 的平面角因为 GH=3，GM

46、=2305，MH=355，所以 cosGMH=MHMG=64，即 二面角ADEB 的平面角的余弦值为 64方法2：如图，过 AE 中点 G 作 GMDE 于点 M，连接 BM，可证得 GMB 就是 二面角ADEB 的平面角在 GMB 中，计算可得：BG=22， GM=2305，BM=855故 cosGMH=MHMG=64，即 二面角ADEB 的平面角的余弦值为 64方法3：如图，作 EOBC 于点 O， AB平面BEC，ABEO， ABBC=B，EO平面ABCD以 OE，BC 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴， O 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 A0,2,4，B0,2,0，D0,2,2，E23,0,0于是 ED=23,2,2，EA=23,2,4，EB=23,2,0设平面 EAD 的法向量为 n1=x1,y1,z1，则 3x1y1+2z1=0,3x1+y1+z1=0. 取 z1=2，则 n1=3,1,2，设平面 BDE 的法向为 n2=x2,y2,z2，则 3x2+y2=0,3x2+y2+z2=0. 取 x2=1，则 n2=1,3,23 cosn1n2=33+43816=64，即二面角 ADEB 的平面角的余弦值为 6423. （1） 作 APCD 于点 P，如图，分别以 AB，AP，AO 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系则 A0,0,0，B1,0,0，P0,