选修4-5-不等式选讲.ppt

1、选择4-5不等式，根据教学标准，本主题介绍一些重要不等式及其证明、数学归纳法及其简单应用。 本主题的内容在初中阶段掌握不等式的基本概念，学习一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，许多学生在学习高中必修课的五个模块的基础上展开，作为一个选修主题，教科书在内容的表现上保持相对完整性，本主题强调不等式及其证明的几何意义和背景提高学生的逻辑思维能力，分析解决问题的能力往往从数个修正算法的角度引出问题，降低难度限制范围，另一方面，教学目标应根据课程标准，通过本主题的教学，实现以下教学目标： 1回顾复习不等式的基本性质和基本不等式。 2理解绝对值的几何意义，可以利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

2、 (1)利用1)abab (2)abaccb (3)绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： axbc axbc； 数码宝贝。 识别3柯西不等式的几种不同形式。 我理解那些的几何意义。 证明(1)柯西不等式的向量形式|证明： (a2 b2)(c2 d2)(ac bd)2。 (3)证明：二维形式的三角形不等式。 用4残奥元配置法研究柯西不等式的一般情况.用5矢量递归法研究排序不等式。 6了解数学归纳法的原理及其使用范围，用数学归纳法证明简单问题。 用数学归纳法证明7贝努利不等式： (1x)n 1nx(x-1，n为正整数)。 可知n为实数时贝努利不等式也成立。 8用上述不等式证明了一些简单的问题。

3、可用平均值不等式、柯西不等式求特定函数的极值。 9了解通过几个简单问题证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。 本主题内容分为四部分，结构如下：二、内容安排，本主题教学约需18小时，具体分配如下。 第一回不等式和绝对值不等式5画面1、不等式(约画面) 2、绝对值不等式(约画面)证明第二回不等式的基本方法41、比较法(约1画面) 2、综合法和分析法(约2画面) 3、反证法和收缩法(约1画面)第一般形式的柯西不等式(约1画面) 3、序列不等式(约2画面) 数学归纳法(约2个格)二、数学归纳法证明不等式(约2个格)学习总结报告(约1个格)，第一次作为“不等式和绝对值不等式”先讨

4、论不等式的基本性质，这是关于不等式在运算方面的最基本规律接下来讨论基本不等式，介绍基本不等式之一的几何解释， 介绍了“直角三角形斜边上的中线在斜边上的高度以上”，将基本不等式推广为三个正数的算术几何平均不等式，简单介绍了一般形式的平均不等式，在不加证明的基础上，介绍了它们解决实际问题中的一些案例：强调如何提出不等式的基本性质P2-3轴，从与0相比(基准)数的修正角度几何角度出发，“不等式性质”教学中的问题是，等式“在等式的两侧加上(减去)一个数，等式还成立”“在等式的两侧同乘(乘法)的不等式的基本性质的导出过程你认为如何提出关于绝对值不等式性质的猜测第二部分是绝对值不等式的性质和绝对值不等式的

5、解法绝对值是关于实数的基本且重要的概念，讨论关于绝对值不等式有重要的意义，绝对值三角不等式得到了作为基本结论的绝对值三角不等式的几何解释， 最后用代数方法证明，数形结合，使学生多角度地认识这个不等式，利用逐渐加深其理解的绝对值三角不等式可以解决特殊形式的函数极值问题，教科书安排了这样的实际问题。 为了解包含绝对值的不等式，教科书不是系统地讨论这个问题，而是只讨论了两种特殊不等式的解法。 学生可以根据这两种包含绝对值的不等式，基本学习求解包含绝对值的不等式的一般思想和方法。 案例： P16 axbc； axbc； xcxba，第二，对于“证明不等式的基本方法”不等式的深入讨论，首先必须掌握基本方

6、法，也是本主题的基础内容。 本文通过比较简单的问题，介绍了证明不等式的一些常用和基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法和放大法，本论的教学内容中，只有用放大法证明不等式是新的课程标准才引入中学数学教学的内容，必须控制难度。 第三，“柯西不等式和序列不等式”本说明介绍了两个基本不等式：柯西不等式和序列不等式，以及它们的简单应用，柯西不等式基本上是重要的不等式，是检验其他许多不等式的基础，广泛的应用教科书首先介绍二维形式的柯西不等式， 然后从向量角度认识柯西不等式，引入和介绍向量形式的柯西不等式，排序不等式也是基本重要的不等式，一些重要不等式可以视为排序不等式的特殊情况，一些重要不等式可以用排序

7、不等式简单证明。 教科书在讨论序列不等式时展示了“探究推测证明应用”的研究过程，旨在通过学生自己的数学活动，初步认识序列不等式的数学意义、证明方法和简单应用。 柯西不等式、三角不等式、排序不等式也将数学课程标准正式引入高中数学教学。 第四讲是数学归纳法证明不等式本说介绍数学归纳法及其在证明不等式中的应用，对于某些不等式，必须用数学归纳法来证明，因此必须在不等式选择的主题上配置这一内容。 教科书首先结合具体例子，提出以有限的步骤寻找处理无限多个对象的方法的问题，然后类似多米诺博弈，引入用数学归纳法证明命题的方法，分析数学归纳法的基本结构及其证明命题时需要注意的问题(两个步骤不可或缺)，其次对数学

8、归纳法的证明不等式的应用案例： P46，本主题的教学难点：三个正数的算术几何平均不等式及其应用、绝对值不等式解法反证法、用放大法证明不等式的柯西不等式和排序不等式来证明不等式三、编纂中考虑的一些问题按课程标准，本主题强调不等式及其证明的几何意义和背景， 应该加深学生对这些不等式数学本质的理解，提高学生的逻辑思考能力和问题解决能力，努力在教科书编纂中实现课程标准的思想。 总之，教科书的特点是： (1)重视表现不等式的几何背景，以使学生直观理解重要的不等式为目标，数量关系和空间形式是数学研究的两个重要方面，不等式从数量关系的角度描绘出现实世界。 我们一般用代数方法来证明不等式。 代数证明必须经过一

9、系列的变形，人们往往不能直接看到其数量关系。 根据几何方法，如果将不等式中的关联量用图形中的几何量恰当表示，就可以很好地指定不均匀关系，使学生从几何背景的角度直观地理解不等式。 本主题中的重要不等式有明显的几何背景，教科书注意呈现不等式的几何背景，有助于理解不等式的几何本质。 根据面积关系弄清了几个重要的不等式，绝对值三角不等式根据向量和三角形中边的长度关系，柯西不等式根据向量运算，排序不等式根据三角形的面积。 这样，在面对数学问题时，就引导学生从几何学的角度思考问题，找到解决问题的方法。 (二)重视数学思想方法的教育，数学思想是对数学知识(数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理、方法等)

10、的理性、本质、高度抽象、概括的认识，具有普遍的指导意义，运用数学方法进行分析，其中包含的数学方法研究或解决数学问题数学思想方法教学是初中数学教学中的重要组成部分，有助于学生加深具体数学知识的理解和把握。 本主题的内容包括丰富的数学思想方法。 例如，应用重要不等式解决实际问题中出现的优化思想，重要不等式表达过程中的数形结合思想，解不等式中出现的转换思想，函数思想，证明不等式的比较法，综合法和分析法，收缩法，反证法，数学归纳法，证明柯西不等式中的分配方法等(3) 重视引导学习方式和教学方式的改进，目前初中数学教学实践中还存在一些问题，对于学生的学习来说，比较突出的是被动接受式学习，教师偏向植入式教

11、学，启发式教学原则还不够完善。 学生的问题意识不强，找不到新情况的新方案的新问题，不能很好地解决问题。 对于这种情况，教科书重视对学生提出问题，教科书设置了很多研究栏，鼓励学生积极研究，指导学生左右比较问题，专注于数学结论，普及。 例如，在陈述了基本不等式后，教科书提出了“对于3个正数，什么样的不等式成立”的思考问题。 在证明了三个正数的平均不等式后，直接给出了一般的平均不等式，证明了二维和三维的柯西不等式后，“通过比较二维形式和三维形式的柯西不等式，能推断出一般形式的柯西不等式吗？ ”； “一般形式的三角不等式应该怎么办？ 如何应用和证明一般形式的柯西不等式？ 让同学自己探索。”等，这样的探

12、究性问题在教科书的任何地方都能看到。 (4)注意数学应用意识的发展，重要不等式可以在许多实际问题中应用，在实际工作中起到节省能源、降低成本、提高效率、加快速度等作用。 在本主题中，教科书注意数学在实际工作中的广泛应用，写了一些体现数学应用的例子、练习题。 例如，经典的等周问题、箱体积问题、施工队临时生活区的选择问题、面积和体积的最大值问题。 通过这些简单的应用问题，让学生体验在数学实践中的作用。 四、对教学的一些建议，(一)掌握教学要求无论是不等式还是数学归纳法，都发展成内容非常丰富的初等数学分支，出版了一些专业论坛，老师们对这些内容一般有丰富的教学经验，简单地展开和补充这些内容。 因此，在这

13、个主题的教育中，特别要注意把握教育要求，不要随意提高教育要求，而应该按照数学课程标准的要求控制教育的深度。 课程标准对本主题的一些教学内容有明确的教学要求。 例如，求解包含绝对值的不等式，只求解几个特殊类型的不等式，而不要求学生会求解包含绝对值的不等式。 关于数学归纳法对不等式证明的要求，也只要求证明一些简单的问题。 只要知道用简单的问题来证明不等式的基本方法，就可以用学过的不等式来证明简单的不等式。 另外，在不等式和数学归纳法的许多问题中，经常需要一些技巧上比较强的恒等变形，在本主题的教学中控制这方面的教学要求，不使教学过于形式化而陷入复杂的恒等变形技巧中，在教学中补充代数恒等变形过于复杂或技巧化的问题和练习问题，对于基本思想方法不引入过于专业形式化、抽象化的数学符号语言，对于数学归纳法的理解，不需要将学生对方法的理解水平提高到专业数学家所需的数学理论的高度，而是需要通过一些学生容易理解的数学题加深对方法的理解和把握