高中必修5：基本不等式整理.ppt

1、3.4 基本不等式,结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立,此不等式称为重要不等式,问题1：当 a,b为任意实数时， 成 立吗？,思考：在不等式a2b22ab两边同加上a2b2可得什么结论？所得不等式有什么特色？,它反映了两个实数的平方和与它们的和的平方的不等关系，称为平方平均不等式，其数学意义是：两个实数的平方的算术平均数不小于它们的算术平均数的平方.,类 比 联 想 推 理 论 证,（特别的）如果 也可写成,a0 ,b0 ,a0 ,b0 ,概念：,一般地，对于任意实数a，b，我们有,当且仅当a=b时等号成立,证明：,0,（ a0，b0）,基本不等式,分析法证明

2、基本不等式,要证,只要证,要证，只要证,要证 ，只要证,显然， 是成立的，当且仅当a=b时， 中的等号成立,运用基本不等式证明：,思考:将不等式 两边同乘以 ，可变通出一些什么结论？,重要变形：,（由小到大）,应用基本不等式求最值的条件：,a与b为正实数,若等号成立，a与b必须能够相等,一正,二定,三相等,积定和最小 和定积最大,（ a0，b0）,注意,1、两个不等式的适用范围不同; 2、一般情况下若“=”存在时，要注明等号成立的条件； 3、运用重要不等式时，要把一端化为常数（定值）。,一正 、二定 、三相等,（1）如果a，b0，且abP（定值），那么 a+b有最_值_(当且仅当_时取“=”）

3、. （2）如果a，b0，且abS （定值），那么 ab有最_值_(当且仅当_时取“=”）.,小,大,利用基本不等式求最值的条件：,一正、二定、三相等。,知识要点,a=b,a=b,一、利用基本不等式求函数的最值,下面几道题的解答可能有错，如果错了，那么错在哪里？,已知函数 ，求函数的最小值和此时x的取值,运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件,已知函数， 求函数的最小值,用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件,用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.,例题：,练习：,例3求函数 的最大值，及此时x的值。,解： ，因为x0，,所以,得

4、,因此f(x),当且仅当 ，即 时，式中等号成立。,由于x0，所以 ，式中等号成立，,因此 ，此时 。,错解:,即 的最小值为,过程中两次运用了 均值不等式中取“=” 号过渡，而这两次取 “=”号的条件是不同的， 故结果错。,错因：,解:,当且仅当,即:,时取“=”号,即此时,正确解答是:,二利用基本不等式证明不等式,时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？,练习：已知三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小？ 最小值是多少？,解：,设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则,xy=100,篱笆的长为2（x+y）m,由,可得,2（x+y）40,当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=1

5、0,这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m,设三角形的两条直角边为x、y,解：,则s=,xy=100,当且仅当x=y=10时取等号,当这个直角三角形的直角边都时10的时候，两条直角边的和最小为20,例题4,（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？面积最大值是多少？,练习：用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？,解：,设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则,2(x+y)=36,即 X+y=18,=81,当且仅当x=y=9时取等号, 当这个矩形的长、宽都是9m的时候面积最大，为81,解：,设矩形的长为xm，宽为ym，

6、则,2(x+y)=20,即 x+y=10,=25,当且仅当x=y=5时取等号, 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，为25,x,x,y,y,（3）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，问这个矩形 的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？,解：,设菜园的长和宽分别为xm，ym,则 x+2y=30,x,y,菜园的面积为s=xy=,x*2y,=,当且仅当,x=2y时取等号,此时x=15，y=,解：,x+4y=40,x（4y）,=400,xy100,当且仅当x=4y时等号成立,此时，x=20,y=5,当x=20,y=5时，xy的最大值为100,分析：,水池呈长方

7、形，它的高时3m，底面的长与宽没有确定。如果地面的长和宽 确定了，水池的总造价也就确定了。因此，应当考察底面的长与宽取什么值 时水池的总造价最低。,解：,设底面的长为xm，宽为ym，水池的总造价为z元，,根据题意，有,x,y,3,Z=150,+,=240 000+720(x+y),容积为4800,3xy=4800,即xy=1600,由基本不等式与不等式的性质，可得,z,z297 600,当x=y，即x=y=40时，等号成立,所以，将水池的底面设计成长40m的正方形时总造价最低， 最低总造价为297 600元.,练习：,做一个体积为32,，高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么,值时用纸最少？

8、,解：,根据题意，有,Z=2,+4x+4y,体积为32,2xy=32,即xy=16,由基本不等式与不等式的性质，可得,z32+48=64,x,y,2,设底面的长为xm，宽为ym，需用纸z,=32+4(x+y),=8,当且仅当x=y时，取等号，此时x=y=4,当x=y=4时，用纸最少为64,设计一副宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为a(a1)，画面的上下各留出8cm的空白，左右各留5cm的空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？,设宣传画的宽为xcm，面积为S,某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的平均费用最少？),设使用x年报废最合算,拓展提高,D,高考欣赏,B,1. 两个不等式 （1） （2） 当且仅当a=b时，等号成立 注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成