2024高考二模模拟训练卷01（解析版）

备战2024高考二模模拟训练卷（1）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.集合{xeN||2x-3|v3}的真子集个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解答】

解：因为{xwN|-3<2%-3<3}={1,2},所以该集合的真子集的个数2?-1=3.故选：B

-产

2.已知i为虚数单位.若系数2=土4、，则彳的虚部是（）

2-z

A.IB.-1C.iD.-i

【答案】B

【解答】

5")"+

解:

2-i2-i(2-/)(2+z)

z=2-i

所以虚部为T,

故选：B.

3.在AABC中，已知B=30：AC=3,点。在边A8上，且8D=3,/)A=0C,则44=()

c・泻D《畦

【答案】C

【解答】

解：设ZA=夕ZDCA=a/BDC=20,/BCD=—-20,

6

0<0<-

2

则=>6>e

—-26>>O

6

=_____:______nci)=______-______

MDC中'sin30.(5^A4℃中

sin------2020sin------20

I6JI6)

CD3「八3sinJ3

singsin(;r-29)sin262cos夕，

CD=——=-------卢----------ncosQ-sin[-201nsin|——0\=sin*20

故2c°s。2smM2。屋JUJ

I6

又4_2,6卜,手[,.•.]_0=野_20或四_0+2_20=不，则0=巳或工,

（2八122八6八6J262639

故选C

4.某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了

素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程.则以下说法与肯耍的是（）

A.内有可能没有选素描B.J有可能没有选素描

C.乙丁可能两门课都相同D.这四个人里恰有2个人选素描

【答案】C

【解答】

解：因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描.

那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；

若丙没选素描，则丁必定选择了素描.

综上，必定有且只有2人选择素描，选项A,B,。判断.正确

不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，

则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：

情形一：

甲乙丙T

素描XVX

摄影qXXq

情形-：

甲乙丙T

素描7XX

摄影7X7X

由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此。不正确.

故选：C.

5.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍

生，即太极生两仪原理，如图，图中•

表示太极，6

表示阳仪，,

表示阴仪.若数列的每一项都代表太极衍牛.过程中经历过的两仪数量总和，即4为天一对应的经历过的两

仪数量总和0,%为衍生到地二时经历过的两仪数量总和2,如为衍生到天三时经历过的两仪数量总和

4,…，按此规律，则为（）

太极

天一

阳仪。•阴仪地.

地四

天五

QQQ地六

天七QGQ又♦♦♦

QQQQ地八

天九aaaoeim

QQQQQ♦♦♦♦■地卜

A.以B.98C.112D.128

【答案】c

【解答】

---yn=2k-\,

解：由题意为=:（AcN，）,所以%=112.

二,n=2k,

2

6.将一个直角边长为2的等腰直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周所得圆锥的内切球的表面积为

（）

A.仅拉一2卜B.卜8-32加卜C,（24-1672）^-D.（108-72夜.

【答案】B

【解答】

解：依题意，作圆锥的轴截面可得到等腰直角三角形，此等腰直角三角形的内切圆即为该圆锥内切球截

面，如下图所示：

由题意可得，圆锥的底面半径为2,其母线长为2拒.

设圆锥的内切球半径为广，

则—x2\/2r+—x2\[2r+—x4xr=—x4x2,

2222

所以〃=2(&-1),

所以该圆锥内切球表面积为

S-4/r/-2-16(3-2五"-(48-32近)凡

故选：B.

7.己知〃是椭圆石:=1（。＞/?＞（））的左焦点，经过原点。的直线/与椭圆上交于P,。两点，若

|/^1=3|。f|,且NPFQ=120。，则椭圆E的离心率为（）

aSR1厂"「屈

A.——B.—C.——D.-------

6345

【答案】C

【解答】

设椭圆右焦点为尸，连接夕尸，QP,

根据椭圆对称性可知四边形尸灯42为平行四边形，贝/1=1限1,

因为/〃尸Q=120。，可得/口/'=60。，所以|PF|+|PU|=4|?尸|=%，

则\PF\=-a,

由余弦定理可得(2c)2=\PF|2+|PF|2-21PFIIPFIcos60°=(|PF|+|PF|)2-3|PF||户?|,

即4c?二^^一2/二工片，即£=[_

44a116

故椭圆离心率巨

4

8.设奇函数/(X)的定义域为(一jr刍7T:)，且/(X)的图象是连续不间断，VX£(_J《r,O),有

222

P»cosx+/(x)sinx<0,若/(Mv2/q)cos，〃，则机的取值范围是()

,冗乃、

A，(-于丁B.(0,9Q转)

【答案】。

【解答】

解：令g(x)=/％f'(x)cosx+/(x)sinx

，则g'(x)

COSXcos2x

JT

因为Vxc(——,0),有了'(x)cosx+/O)sinxv。,

2

所以当天£(一工,0)时，g'(x)〈0,

2

则式工)=&■在(-工,。)上单调递减，

cosx2

又f(x)是定义域在(—代TT,工7T)上的奇函数，

22

所以gD==_4^=_g。),

c"os丁(-x)cosx

则ga)=鬻也是(与,9上的奇函数并且单调递减'

8‘,〃等价于必＜理

又fOn)<

cosm71

cos—

3

即g(m)<

「九71

所以机＞工,又——<m<—,

322

LL」兀

所以一4＜相＜一.

32

故选：D.

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.在的展开式中，下列说法正确的是

A.常数项是84B.二项式系数之和为512

C.各项系数之和为256D.项的系数最大的项是第5项

【答案】BD

【解答】

解：由题意（、0斗）9的展开式的通项为加=c；x手（-1//=（T）'C；X苧，

令9一3r=0,得—3,所以常数项是（-1）七；=-84,故4错误；

由二项式系数的性质知，二项式系数之和为2'）=512，故B正确;

令尸1,则（1-1）9=。9=0,所以各项系数之和为0,故。错误；

由于展开式有10项，根据二项式系数性质第五项第六项二项式系数相等且最大，再根据通项，二项式系

数等于每一项系数的绝对值，且展开式中奇数项为正，偶数项为负，相间出现的，所以项的系数最大的项

是第5项，故。正确.

故选：BD.

10.若实数K,V满足工-丁=1,则下列结论中正确的是（）

2

A.|A|..A/2B.x2+y2..2C.-<-D.|x->/2y|„V?

x2

【答案】AB

【解答】

解：y2=——1,所以'—1..0»解得所以4正确;

22

x24-/=2+3/..2,所以8正确；

取X=2,y=l,满足上—y2=],此时2=_L,所以c错误；

2"x2

x=2,丁=一1满足三一9=1,但|2+夜|>夜，所以。错误.

2

故选AB.

".已知函数人切二丁-小一皿*口^/?）,则下列说法正确的是（）

A.若〃=一1,则/（X）是（0,；）上的减函数

I1）

B.若滕W1,则/（X）有两个零点

C.若a=l,则f(x)..O

D.若々>1,则曲线y=/(x)上存在相异两点M,N处的切线平行

【答案】AC

【蟀答】

解：函数/(工)=¥-a"lnx(aeR),

对于A,当"一一1,f(x)=x2+x-Inx(x>0),

f\x)=2x+1-』在(0,+8)上隼调递增，又/d)=0,

x2

故当xe(0,；)时，r(x)v。，

则f(x)是。,)上的减函数，故A正确；

2

对于B,若/(x)=。，则x2-ox-lnx=0,

故4=柒一色々工>0),令g(x)=x-@%>0),

xx

则"I一号二三1萼1,

xzxz

再令/?(1)=12+lnx-1(x>0),

显然，在(。,+8)上单调递增，又〃(1)=0,

所以，当XG(0,1)时，/7(%)<0,

即F(x)vO,则g(x)在(0,1)上单调递减,

当X£(l,+cc)时，h(x)>0,

即gr(x)>0,则g(x)在(1,4W)上单调递增，

故g(%)min=g(l)=l，

要使/(x)有2个零点，则。>1,故区错误；

对于C,当々=1时，f(X)=x2-x-\nx(x>0),

f'Cr)=2x-1一,在©y)上单调递增，又广⑴=0,

x

故当xw(0,1)时，r(x)<0,

则f(x)是在(0,1)上单调递减:

当.EW(l,+oO)时，f\x)>0,

则f(x)在(1,+8)上单调递增，

故/(x)../(l)=0,故C正确；

对千。，由于r(x)=2x—4—L：x>0),

X

若曲线y=/(x)上存在相异两点,/(5))，/V(x2,/(x2))处的切线平行，

则r(x)=r(x?)(司,电>。,且%。/)，

c1c1c1cl

即2%—ci---=2%,-a----,即2%----=2x>----,

x}~x2x1~x2

令《x)=2x-'(x>0),

x

则1。)在((),K)上单调递增，

显然，不存在不同的』，x2>0,旦天工占，使得2王-'=2%一」-,

X\X2

故。错误.

综上所述，4c正确，

故选：AC.

12.如图直角梯形A4CO,AB//CD,ABLBC,BC=CO=4A3=2.E为的中点，以。石为折痕

2

把,4。£折起，使点A到达点夕的位置，且尸。=26，则.()

A.平面PDE±平面EBCDB.PCLED

C.二面角P—DC—B的大小工D.PC与平面PEZ)所成角的正切值为拉

4

【答案】AC

【解答】解：人选项中,PD=AD=>JAE2+DE2=V22+22=272，

在八PDC中，PD2+CD2=PC2r:.PDYCD,

易知CDA.DE,且PDcDE=D,PD,OEu平面POE,

.•.CD_L平面PE。，「COu平面£4CO,.•.平面也)_L平面E3CQ,故A选项正确；

3选项中，先假设PC_LEZ),易知ED_LC£>,PCcCD=C,PC,CDu平面PQC,

JT

可得£DJ_平面POC，则也>_L£D,而NADE=/EDP=一,显然矛盾，故8选项错误；

4

C选项中，易知二面角P-DC-B的平面角为NPDE，

7T

根据折叠前后位于同一平面上的线线位置关系不变知/PDE=NADE=-,故C选项正确；

4

。选项中，由上面的分析知，NCP3为PC与平面PEO所成角，

在RLPCD中，tanZCPD=—=—,故。选项错误.

PD2

故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若直线爪一号+2=0被圆Cd+丁+2x=0截得线段的长为生叵，则实数小的值为.

5

【答案】±2

【解答】

解：圆C:r2+y2+7.r=O的圆心坐标为(-1.0),半径为I.

,|1X(-1)+(-/H)X9+2|1

圆心(-1,0)到直线//一〃9+2=0的距离d4-------------=~[=.

+(―"7)V1+〃广

由题意，得(/=^)2+(学)2=[2,解得，〃;及.

VI+m25

故答案为：±2

14.基函数/。)二/(。£或)满足：对任意XCK有/(-x)=/(x),fi/(-l)</(2)<2,请写出符合上述

条件的一个函数/(x)=.

【答案】j

【解答】

解：幕函数f(x)=£(aeK)满足：任意有/(—%)=f(x),可知函数为偶函数;

又f(-D=/⑴V/⑵v2,

所以符合条件的函数为/（幻=，（答案不唯一）.

15.古时候“五花”常指金菊花、木棉花、水仙花、火棘花、土牛花比喻的五种职业，“八门”则指巾、

皮、彩、挂、平、团、调、聊这八种职业，厦门中学生助手从这13种职业中任取两种职业，则这两种职

业中至少有一种职业是“五花”的概率是_________.

25

【答案】39

【解答】

解：从这13种职业中任取两种职业有C1=78种不同的选法.

这两种职业都是“八门”的=28,

?825

所以这两种职'也中至少有一种职业是“五花”的概率是P=1-灰=而，

25

故答案为：—.

39

16.如图，在二48c中，。是8C上的一点，满足|人。|・怜。=|48|.|8|、在AO上且|八加|=；|4。|,延长

iiii1\AC\\AH\

交AC于点儿|AQ|=|CQ|,ianNZMC=Q,则扁=，隔=.

◊

【解答】

解：=如|0。|=耨=瑞,

由角平分线的性质定理知AD是ZBAC的角平分线，・••/BAD=ZDACe（0,^

*|4D|=|CD|,ZC=ZDAC.

•/tanNDAC=-,可得sinZDAC=,cos/.DAC=~^=,

3M国

3

cosC=cosZDAC=.

屈

./£)C中，由余弦定理得：|AQ「=MC『+|af-2kq.|CD|cosC,

即凶=2|>扁=矗科

.|AC|_MW_63M

一雨一同-

13

在,A8C中，sinZC=sinZD/4C=-=,cosC=cosZDAC=-=.

x/10V10

A。是N84C的角平分线，

..133

sinZ.CAB-sin2C=2sinCcosC=2x—=x—==—

屈屈5

cosZ.CAB=1-2sin2C=1-2xj=［，

Q34113

.\sinZCBA=sin(ZG4B+ZC)=-x-=+-x-==—=.

75V105x/105回

由正弦定理得：附二忸q，

sinZ.CBAsinNCAA

•''lSCl=sinZCTO.MC==骞IAC|.而|8|=|皿=*|4C|.

5>/io

而

.|普二一」3

"\BC\yjw18'

13

取为基底，则由”,三点共线可得：AM=(\-A)AH+AAB®t

山G24三点共线可得：AD=(lju)AC^AB；

即AZ)-AC=〃(A8-4Cj,:.CDiCB,•=

5|3

即,4。=jC+，44②.

1818

-\AM\=^-\AD\t.\AD=3AM^

J

①式可化为：3AM=3(l—2)A〃+3/U3,即AO=3(1—/i)AH+32AB③.

设回=

设园则A”=/AC，代入③：AQ=3(l—/l)fAC+3/U6④.

32=­A=—

②④对照得：18，解得:\AH\5

即k

41

3(1-2)/=—t=—

I'71841

故答案为:鸣今

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题12分）

己知数列｝满足;4+；4+（%++34=£N）

Z4oZ

⑴求数列｛对｝的通项公式；

（2）设"=10%凡，数列一—的前〃项和为［，证明：Tn<\.

【答案】解：⑴由已知+W“3++/7。”=〃，①

当几.2时,+/7。”_|=〃一1，②

Z4oL

①-②n£%=1,an=2"（九.2）

而当〃=1时，—ai=1,4=2乜满足上式，二q=2"

⑵由⑴知力”=log,an=log2T=n

I_1_11

b也计1〃(〃+l)n〃+l

^11111,1

223〃〃+l〃+l

因为一^>0,所以(=1一——<1

n+1n+\

18.（本小题10分）

7T

已知函数f（x）=sin（s+8）3>0」0|v万）满足下列3个条件中的2个条件.

①函数/（幻的最小正周期为乃；

JT

②工=£是函数/（X）的图象的对称轴；

6

③“为冗=0且f(x)在区间g,g上单调.

4I6/J

⑴请指出这2个条件，并求出函数的解析式;

(2)若工£[0,。],求函数/(刈的苣域.

777

【答案】解：⑴由①得，由函数的周期为不，得。=二=2；

71

7TCO，4nrt,乃乃①，~

由②得,-----卜(P=K7TH---,B|J(p—K7V4------------,kGZ.

6226

由③得，—+*=ni7r,/7?eZ,

4

T71TC_TC

•••,

2263

乂丁=生，故竺..竺,解得0v德，3.

CDCD3

jrrr

若①②成立，则。=2,(p=一,/(x)=sin(2x+—)；

66

若①③成立，则。=〃LT一华,/KGZ.与|回〈工不合题意;

422

若②③成立，则Z/r+工—色=6万一型，即3=12(〃?—幻—6e(0,3],

264

19

得加-壮(于石]，与"keZ,与③矛盾，所以②③不成立.

所以只有①②成立，/(x)=sin(2x+二).

6

⑵xe[O,g]时.2丫+[(=咚,"].

3666

所以sin(2x+—)e[―,1],

62

所以函数/*)在X£[0,。]内的值域是[g』].

19.(本小题12分)

在梯形A8CQ中，AB//CD,ZD=90\AB=20，AD=DC=6，如图1.现将，4DC沿对角

线AC折成直二面角“一AC-6,如图2,点M在线段8〃匕

⑴求证：APA.CM；

⑵若点M到直线AC的距离为25,求丝必的值.

5BP

【答案】证明：⑴在直角梯形A8CD中，/。=90、AD=DC=&，所以AC=2,

在乙ABC中，NCAB=45°，AC=2,AB=242»

所以8c2=AC2+AB2-2ACABcosZCAB=4,

所以A82=AC2+“C2,即ACJLBC,

因为二面角P-AC-3是直二面角，平面A3Cc平面Q4C=AC,且BCu平面ACB,

所以3C_L平面PAC,

又AQu平面P4C，所以BCJ_AP,

因为AQJLPC,PCcBC=C,PC,8Cu平面〃BC,

所以平面PBC,

又因为CWu平面-AC,所以AP_LCM;

解：（2）如图，以C为坐标原点，CA,C3所在直线分别为x轴，），轴建立空间直角坐标系,

则C(0,0,0),伏0,2,0),4(2,0,0),

所以CA=(2,0,0),BP=(1,-2,1),8C=(0,-2,0),

因为点M在线段上.，

所以设暖狮1，

则CM=BM-BC=A(U-2J)-(0,-2,0)=(2,2-22,A),

因为点M到直线AC的距离为撞,

5

所以卜M^invCA,CM>一堂,

CACM

又coscCA，CM>=

ICA\-\CM\76A2-82+4，

55九2一8/1+4

所以sinvCA,CM>=

。6分一84+4，

即业方一证+4.管黄=竽,所以25万-4所6=。,

解得4=14,即B器M=14

20.（本小题12分）

在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为收到0的概率为

1-cr；发送1时，收到。的概率为仇。＜夕＜1）,收到1的概率为1一夕考虑两种传输方案：单次传输和

三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每人信号重复发送3次.收到的信号需要译

码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译

码（例如，若依次收到I,0,1,则译码为I）.

⑴当o=4=;时,

⑴采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,求依次收到1,0,1的概率;

5）采用三次传输方案，若发送1,求译码为1的概率;

（2）若发送0,采用三次传输方案译码为。的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率，求。的取值范

围.

【答案】解：（D（i）记“采用单次传输方案，依次发送1,0,1,依次收到1,0,1”为事件A,

则尸（A）=TTT2

9

（小记“采用三次传输方案，发送1,译码为1”为事件B,

3

120

则P（3）+x-=—

4T327

（2）记“发送0,采用三次传输方案译码为0”为事件C,

记”发送0,采用单次传输方案译码为0”为事件D,

则P(C)=(l-6z)'+C；(l-a<)2«=(l-^)2(l+2«),

P（7））=l-a,所以（l-a）2（l+za）>l-a,

因为Ovovl,整理得2a2-a<0，

解得0<a〈L.

2

21.（本小题12分）

已知函数f（x）=\nx-（txI1有两个零点玉，/，且N>2*?，

⑴求。的取值范围；

22

⑵证明：e•（三十五）>4夜.

N4

【答案】解：⑴/（x）=lnx-奴+1的定义域为（0,+8）,/（第=_1一〃=匕竺，

XX

当必,0时，

r（x）>0恒成立，所以/（X）在（0，中刃）上单调递增，故/。）不可能有两个零点，故舍去;

当〃>0时，

令r(x)>0,解得Ovx<‘；令/'(x)v。，解得x>,，

aa

所以fW在(0,-)上单调递增，在(！,十8)上单调递减，

aa

所以/(x)3=/H)=lnL

aa

要使/(x)有两个零点，则/(x)nttX=/(-)=ln->0,

aa

解得0<avl.

111a44424

又f(—)=In—a-l-1=—<0,/(—)=In----1-1=21n-----1-1,

'eeeeaa'aaa

令〃Z=2>2,则y=21n〃?-2〃i+l,y=—-2=<0»

ainm

所以函数y=2In〃?-2〃?+1在(2,+8)上单调递减，

(4、

所以)，=21n〃?-2〃?+l<21n2-3<0,即/r<0,

W

1114

所以当0<。<1时，/(外在(一,一)和(二二)上各有一个零点x,,外,且内>2々，所以

eaaa~

In%-or,+1=()

由/（x）单调性知，当xw（s，K）时，>0,当XW（X1,+8）时,/（x）<0,

lnx2-av2+1=0

因为&v2.qv.q,所以/'(2々)>0,即ln(2q)-〃-2丫2+1>Inq-〃q+1,

所以陋<ln2,

2

而ax2+lnx2-ar,+I<ln2,所以0<%<一，

e

Inx,+1

又&=—=—

x2

令力(x)Jn"l,xe(0,-),则"(x)=1-lnx-l_-Inx

2>0,

xe

2

所以屈x)在(0,一)上单调递增，

2In2eln2

所以"”=,所以aw(0,迫工).

22

2

⑵由于e(上■+―)>e>2，Y[X,