1.1数列的概念

1、专题 2,3,高考中的数列问题,西电中学 顾江红,一、等差数列 1.等差数列的通项公式是什么?如何表示等差数列中任意两项的关系?,an=a1+(n-1)d;an=am+(n-m)d.,2.等差数列的前n项和公式是什么?它具有什么特点?,Sn= ( 1 + ) 2 =na1+ (1) 2 d. 等差数列的前n项和为关于n的二次函数,且没有常数项.,二、等比数列 1.等比数列的通项公式是什么?如何表示等比数列中任意两项的关系?,an=a1qn-1;an=amqn-m.,2.等比数列的前n项和公式是什么?具有什么特点?易忽略点是什么?,Sn= 1 ,q=1, 1 (1 ) 1 = 1 q 1 ,q1

2、. 当q1时,Sn= 1 1 - 1 1 qn,qn的系数与常数项互为相反数. 应用等比数列前n项和公式时,应先讨论公式中的公比q是否等于1.,三、数列求和 列举数列求和的方法,各自的注意点是什么? (1)公式法求和:,要熟练掌握一些常见数列的前n项和公式.,(2)分组求和法:,分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题的方法,其中an与bn是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.,(3)裂项相消法:,解析,1.(2018全国卷文T17改编)记Sn为等差数列an的前n项和,已知 a1=-7,a1+a2+a3=-15. (1)求an,Sn; (2)求数列|an|的前n项

3、和Tn.,解析(1)设数列an的公差为d,由题意得 3 1 +3d=15, 1 =7, 解得d=2, 所以an=2n-9,Sn=n2-8n.,(2)当1n4(nN*)时,an0, 所以Tn=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|an| =-(a1+a2+a3+a4)+(a5+an)=-S4+(Sn-S4)=Sn-2S4=n2-8n+32. 综上所述,Tn= 8 2 (1n4), 2 8n+32(n5).,-32,答案,解析,2.(2018全国卷T14改编)记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则a6=.,解析当n2时,Sn-1=2an-1+1,所以Sn-Sn-1=2(a

4、n-an-1),即an=2an-1. 又a1=S1=2a1+1,所以a1=-10, 所以数列an是以-1为首项,2为公比的等比数列, 所以an=-2n-1,a6=-26-1=-32.,解析,3.(2018全国卷理、文T17改编)在正项等比数列an中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通项公式; (2)记Sn为an的前n项和,证明:an= 1+ 2 .,解析(1)设数列an的公比为q(q0),由题设得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2(舍去)或q=2. 故an=2n-1. (2)因为an=2n-1,所以Sn= 1 2 12 =2n-1, 所以 1+ 2 =

5、 1+( 2 1) 2 =2n-1=an.,解析,4.已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且Sn= ( +1) 2 ,nN*. (1)求证:数列an是等差数列. (2)设bn= 1 2 ,Tn=b1+b2+bn,求Tn.,解析(1)Sn= ( +1) 2 ,nN*, 当n=1时,a1=S1= 1 ( 1 +1) 2 (a10), 解得a1=1; 当n2时,由 2 = 2 + , 2 1 = 1 2 + 1 ,得2an= 2 +an- 1 2 -an-1,即(an+an-1)(an-an-1-1)=0, an+an-10, an-an-1=1(n2). 数列an是首项为1,公差为1的等差

6、数列. (2)由(1)可得an=n,Sn= (+1) 2 , bn= 1 2 = 1 (+1) = 1 - 1 +1 . Tn=b1+b2+b3+bn =1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 - 1 +1 =1- 1 +1 = +1 .,例：,解析(1)由6Sn=1-2an,得6Sn-1=1-2an-1(n2). 两式相减得6an=2an-1-2an,即an= 1 4 an-1(n2). 由6S1=6a1=1-2a1,得a1= 1 8 . 数列an是等比数列,公比q= 1 4 , an= 1 8 1 4 1 = 1 2 2+1 .,(2)an= 1 2 2+1 ,bn=2n+1, 从而

7、 1 2 1 = 1 4(+1) = 1 4 1 1 +1 . Tn= 1 4 1 1 2 + 1 2 1 3 + 1 1 +1 = 1 4 1 1 +1 = 4(+1) .,变式训练,解析,若bn为等比数列,数列an满足:对任意的nN*,有a1b1+a2b2+anbn=(n-1)2n+1+2.已知a1=1,a2=2. (1)求数列an与bn的通项公式; (2)求数列 1 +1 的前n项和Sn.,解析(1)由题意可得 1 1 =2, 1 1 + 2 2 =10, 解得 1 =2, 2 =4, bn=2n. 又由题意得, 当n2时,anbn=(a1b1+a2b2+anbn)-(a1b1+a2b2+an-1bn-1)=n2n, an=n