1-4函数的连续性.ppt

1、1、了解函数连续性的概念，会判断分段函数在分段点处的连续性，会求函数的间断点(判断间断点的类型）和连续区间； 2、会利用函数的连续性求函数的极限； 3、知道连续函数的运算法则，知道初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质.,教学目标及要求,1. 4 函数的连续性,1. 4 函数的连续性,1.函数在一点处连续,一、函数的连续性,观察： x=1处，下列函数的图形：,定义1 设函数 y=f(x) 在点x0的某个邻域内有定义若,就称函数 y=f(x) 在点x0处连续,满足如下条件:（1） 在 处有定义;,（2）存在;,（3）,设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义 当自变量x在该邻域内从x0变

2、到x0+Dx时 对应的函数 y 的增量为 Dy= f(x0+Dx)- f(x0),函数的增量,问题 变量的增量一定大于零吗？,若变量u从初值u1变到终值u2 则u2-u1就叫做变量u的增量 记作Du 即Du =u2-u1,.变量的增量,等价关系,设x=x0+Dx 则当xx0 时,x0 因此,设函数 y=f(x) 在点x0的某个邻域内有定义若,定义2,称函数 y=f(x) 在点x0处连续,例1 讨论函数 在 处的连续性.,解,故函数在x=0处不连续.,练习1,证,2.函数在区间的连续性,+,-,在某区间内连续的函数在该区间内的图形是一条连续的曲线.,2 函数 y=sin x 、 y=cos x在

3、区间(- +)内是连续的,因为函数y=sin x 、 y=cos x在(- +)内任意一点x0处有定义 并且,连续函数举例,在区间(- +)内是连续的,因为函数P(x)在(- +)内任意一点 x0处有定义 并且,1 多项式函数P(x),二、间断点及其分类,1、间断点的定义,若函数 f(x)在点x0不连续 则点x0称为函数 f(x)的不连续点或间断点,(3)虽然在x0有定义且 f(x)存在 但 f(x)f(x0).,根据函数 f(x)在点x0连续的定义可知点x0处函数 f(x)在下列三种情形下间断,(1)在x0没有定义,(2)虽然在x0有定义 但 f(x)不存在,解 函数在点x=-1处无定义，故

4、是函数的间断点,例2,讨论函数,的间断点.,2、间断点分类,通常把间断点分成两类 设 x0是函数f(x)的间断点 如果右极限 及左极限 都存在 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点,在第一类间断点中 左、右极限相等者称为可去间断点 不相等者称为跳跃间断点,第二类间断点包括无穷间断点和振荡间断点两种情形.若左右极限中至少有一个为 ，则称为无穷间断点,如果左、右极限至少一个不存在 那么x0称为函数f(x)的第二类间断点,所以x=1是函数f(x)的间断点,显然x1时左右极限相等，故是函数的可去间断点 如果改变函数f(x)在x=1处的定义 令f(1)=1 则函数在x=1成为连续.,解,2,函数f(x

5、)的图形在x=0处产生跳跃现象.,因为,解,函数f(x)在x=0处左右极限存在但不相等，故x=0为函数f(x)的跳跃间断点,故点 为函数的无穷间断点,解,当x0时 函数值在-1与+1之间变动无限多次,所以点x=0是函数的间断点,所以点x=0称为函数的振荡间断点,解,练习2,讨论函数,的间断点.,解,故x=1是第一类可去间断点.,练习3,讨论函数,的间断点.,解,故x=0是第二类无穷间断点.,三、初等函数的连续性,1连续函数的运算,法则1(连续函数的四则运算法则),及,例如 因为sin x和cos x都在区间(- +)内连续 所以根据法则 tan x和cot x在它们有定义的区间内连续 三角函数

6、 sin x、cos x、tan x、cot x 、sec x、csc x在其有定义的区间内都是连续的,法则2(复合函数的连续性) 设函数 y=f(u)在点u=u0连续，而函数u=j(x)在点 x0处连续且 j(x0)=u0 那么复合函数y=fj(x)在点x0也是连续的,由上说明 与,的次序可交换（只要 存在）.,即,例7,解原式=,解:,例8,练习4,=1.,2、初等函数的连续性,根据法则1、2易推出，一切初等函数在其定义区间内都是连续的,说明:所谓定义区间 就是包含在定义域内的区间,例9 求,利用连续性求极限举例,解,代入求值法（只要对应点处有定义）,例10,解:,可用等价无穷小替换法求极

7、限,练习5 求极限,解,例11 求,可用等价无穷小替换法求极限,则x=ln(1+t) x0时t0 于是,满足条件的复合函数：极限符号与函数符号可互换,书本P22面例1.4.7结论想考专转本同学请记住,例12 求,解原式,可用等价无穷小替换法求极限,法二,四、闭区间上连续函数的性质,1.最大值与最小值定理,最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值,应注意的问题 如果函数在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值,例如 函数f(x)=x在开区间(a b)内,y=x,既无最大值又无最小值,在闭区间0 2内,既无最大值又无最小值,

8、2.零点定理,零点 如果x0使f(x0)=0 则x0 称为函数f(x)的零点,零点定理 设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)与f(b)异号(即f(a)f(b)0) 那么在开区间(a b)内至少有函数 f(x)的一个零点 即至少有一点x (axb) 使f(x)=0,例12 证明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根 证明 设函数f(x)=x3-4x2+1，其在闭区间0 1上连续 又 f(0)=10 f(1)=-20 根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0 即 x 3-4x 2+1=0 这说明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根是x

9、 ,零点定理应用举例,例13（相遇问题） 小王早7点由甲地出发，晚5点到达乙地。小张早9点从乙地出发，沿同样路线，晚8点到甲地。试证明两人能相遇。,证 设x表示时刻， 规定为24小时制，y表 示两人在x时刻距甲地 的距离。两者之间函数 关系小王为y=f（x），小张为y=g（x）。设甲乙两地之间 距离为a。则有,y=f（x） y=g（x）,y=f（x）， y=g（x），,7x17，,f（7）=0，,f（17）=a，,9x20，g（9）=a，g（20）=0，,（分析：两人能相遇，即恰好在同一时刻经过同一地点。若两人能在同一时刻x0位于同一地点，则必有9x0 17。要证：存在一时刻x0，使f（x0）

10、=g（x0），即,存在一时刻x0，使f（x0）-g（x0） = 0，也即证函数,f（x）-g（x） 存在零点 。故利用零点定理。）,设F （x） =f（x）-g（x），由于y=f（x），y=g（x）在9,17上,连续，故F （x）= f（x）-g（x） 在9,17上连续，,F （9）= f（ 9 ）-g（ 9 ） = f（ 9 ）-a F （17）= f（ 17 ）-g（17） = a-g（ 17 ）,0 f（9）a, 0g（17）a, 0,故两人恰好能同一时刻经过同一地点，即能相遇。,介值定理 设函数 f(x)在闭区间a b上连续 那么对于介于最大值M与最小值m之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C (axb),练习5,证,由零点定理,小 结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件.,2.间断点的分类与判别:,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,3.初等函数的连续性:,定义区间与定义域的区别; 求极限的代入法，函数符号与极限符号互换.,4.三个定理:最值定理;零点定理;介值定理.,注意两个条件 （1）闭区间； （2）连续函数,解题思路,(1)直接法:直接利用零点定理;,(2)辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理.,。,