第三章数据拟合法.ppt

1、第三章 数据拟合法,3.1 问题的提出及最小二乘原理,1、问题的提出：插值法与数据拟合法的比较,2、一个例子：P62例1,由图可想到用一直线表示，如下：,y=a+bx,带入各点得方程组：,若使用其中两点，则：,a=-0.4,b=0.85,3、上述方法问题：选取不同的点得到不同的a,b,4、解决办法：,若a,b已经确定，则可由x计算出y，记为：,误差记为：,由此可见误差仅仅依赖于a,b的选取，参数确定方法很多，常用的是最小二乘原理，即要求：,为最小，由此把前边例子代入则推出：,对a，b求偏微商得：,解上述方程组得，a=0.15，b=0.859，推出直线方程：,由此得本问题计算步骤：,5、最小二乘

2、法计算步骤：,3.2 多变量的数据拟合,1、问题：若影响变量y的因素不止一个，如下例：,如果选近似方程为：,利用最小二乘原理：,分别对a0,a1,ak求微商得：,化简后a0,a1,ak必须满足的正规方程为：,其中,解方程组可得ak（i=1,2,k）,在代入前面式子中计算a0：,例2：P69,3.3 非线性曲线的数据拟合,1、问题及解决：,把拟合曲线 y=a+bx中的自变量x和应变量y看成是其他变量的函数：,令x=g(x),y=f(y)，则经过变换得：,y=a+bx,2、例3：P70,如下表，右图：,从右图可选用双曲线：,现令：,则原方程可改写为：,利用所给数据，计算过程如下表：可直接写出正规方

3、程组：,解方程组得a=0.008966，b=0.0008302，于是,即：,3、例4：P72,形如y=aebx的函数，确定a,b使它与所给数据相拟合,先对此经验公式的两边取常用对数,log y = log a + bxlog e,令u=log y,A=log a,B=blog e，则有,u=A+Bx,由所给数据计算过程如下表：可直接写出正规方程组,解方程组得，A=1.0583,B=0.1265，再计算出,a=11.44,b=0.2913，,于是得经验公式：,y=11.44e0.2913x,4、其它替换：并不是所有曲线都可以轻易替换成直线关系，如：,但它可以通过多变量替换，变成多变量拟合问题，我

4、们令x1=z,x2=z2, xm=zm，则上面方程变为：,3.4 正交多项式拟合,1、问题：多项式次数较大时病态方程组问题,2、解决：考虑用如下形式,病态方程组：如果方程组Ax=b中系数矩阵A或常数b有微小的变化，就引起解的巨大变化，则称此方程组为病态方程组，系数矩阵A称为病态矩阵。,考虑非等精度原因，对每个误差i的平方分别有权函数i0，于是选择适当的系数ak使,达到最小。并对ak分别求微商并令其等于零，得：,若令,则推出,若能找到多项式Pk(x)满足下面关系,则问题变为,cjjaj=cj，即aj=cj/cjj,3、正交多项式族：,（1）、正交函数族：满足下述条件,（2）、正交多项式系：满足下

5、面条件的多项式序列,若进一步有：,则称之为规格化正交多项式系,3、常用的正交多项式：,（1）、勒让德（Legendre）多项式,具体为,性质：,、Pn(x)是区间-1，1上关于权函数(x)1的正交函数系, 、Pn(x)满足递推关系：, 、Pn(x)可以变换为其他区间,（2）、拉盖尔（Laguerre）多项式,具体为：,性质：,、Ln(x)是区间0，+ ）上关于权函数w(x)e-x的正交多项式系, 、Ln(x)满足递推关系：,（3）、等距节点正交多项式系,设有一组n+1个等距节点，它们的步长为h，令权函数wi=1,引进变换：,具体为：,则各点变为x=0,1,2,n的n+1个整数点，幂函数xk用阶乘积x(k)代替有：,例5：P80,设5次多项式为：,x=t/5,x0=0,x1=1,x10=10,由前面公式得：,计算,然后用公式,计算出正交多项式在各点的值，然后计算cj的值，得到：,例：已知一组观测数据如表所示，试用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据。,