《谢奇之-工程力学》内力分析和内力图

1、工程力学内力分析和内力图,授课教师：谢奇之 电话邮箱：,第四章 内力分析和内力图,41 内力方程 42 拉伸与压缩内力 43 扭转内力 44 弯曲内力 45 平面钢架和平面曲杆的内力 46 平面桁架的内力,引言,内力分析：计算横截面上内力，作内力图，判断危险横截面。,例：F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;,内力图：反映内力随截面位置变化规律的曲线。,危险截面,4-1 内力方程,例4-3、列出图示结构水平段的内力方程。,解：取最右端为坐标原点，假设任一截面到坐标原点的距离为x,内力方程：表示内力沿截面变化规律的函数。,4-2 拉伸与压缩内

2、力,直列发动机原理图,受力特点：,作用在杆件上的外力或外力合力的作用线与杆件轴线重合,变形特点：,拉伸,压缩,杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短、横向缩小或变粗,拉（压）杆的受力简图,1、截面法求内力,(1)假想沿m-m横截面将 杆切开,(2)取左半段或右半段,(3)将弃去部分对留下部分 的作用用内力代替,(4)对留下部分写平衡方程 求出内力即轴力的值,轴向拉伸或压缩时横截面上的内力,2、轴力：截面上的内力,由于外力的作用线与杆件的轴线重合，内力的作用线也与杆件的轴线重合。所以称为轴力。,3、轴力正负号,拉为正（轴力背离截面）、压为负（轴力指向截面）,4、轴力图：轴力沿杆件轴线的变化,集中外力多

3、于两个时，分段用截面法求轴力，作轴力图。,轴力图的横坐标表示横截面位置，纵坐标表示轴力大小。,轴力只与外力有关，与横截面的形状和大小无关。,任一横截面上的轴力=截面一侧所有外力的代数和。,已知F1=10kN；F2=20kN； F3=35kN；F4=25kN;试画出图示杆件的轴力图。,例题2.1,解：1、计算各段的轴力。,AB段,BC段,CD段,2、绘制轴力图。,讨论题,以下关于轴力的说法中，那一个是错误的（ ）。,（A）拉压杆的内力只有轴力；,（B）轴力的作用线与杆轴重合；,（C）轴力是沿杆轴作用的外力；,（D）轴力与杆的横截面和材料无关。,C,4-3 扭转内力,汽车传动轴,汽车方向盘,一、扭

4、转的概念和实例,扭转试验机,扭转变形,铸铁扭转破坏,受力特点：,变形特点：,作用在杆件上的载荷均为力偶，且力偶矢方向与轴线一致,杆件的各个横截面绕杆轴发生相对转动,扭转变形是指杆件受到若干个与轴线方向一致的力偶矢作用，使杆件的横截面绕轴线产生转动。,受扭转变形杆件称为轴，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。,1、直接计算,外力偶矩的计算,2、按输入功率和转速计算,电机每秒输入功：,外力偶作功完成：,已知：轴转速n 转/分钟输出功率P 千瓦。求：力偶矩Me,用截面法研究横截面上的内力,二、扭矩和扭矩图,得：,取左段研究:,取右段研究:,得：,扭矩正负规定,右手螺旋法则,右手四指沿扭矩

5、的转向环绕，拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-),扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。,目 的,例题4-1、一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮A输入的功率为PA = 36kW，若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为PB =11kW、PC =11kW 及 PD=14kW，试做扭矩图。,解:,计算外力偶矩,计算 CA 段内任横一截面 2-2 截面上的扭矩，假设 T 2为正值,结果为负号，说明T 2 应是负值扭矩,由平衡方程,集中力偶作用点为分段点,同理，在 BC 段内,在 AD 段内,注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符

6、号相同。,作出扭矩图,从图可见，最大扭矩在 CA段内。,某一截面的扭矩等于截面一侧所有外力偶矩引起的扭矩的代数和；每一个外力偶矩引起的扭矩大小等于该外力偶矩，符号按以下规定确定：,计算截面扭矩的简便方法：,外力偶矩的方向背离截面，引起的扭矩为正；反之为负。,例46、试作轴的扭矩图。,解：根据载荷分布情况，应分三段研究。,AB段：,BC段：,CD段：,分布载荷的起点及终点也为分段点,思考题：,受扭圆轴，其截面m-m上的扭矩T =,D,4-4 弯曲内力,起重机大梁,一、弯曲的概念和实例,车削工件,火车轮轴,外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线。,受力特征：,变形特征：,变形前为直线的轴线，变形后成

7、为曲线。,以弯曲变形为主的杆件通常称为梁,平面弯曲,具有纵向对称面,外力都作用在纵向对称面内,垂直于轴线,弯曲变形后轴线变成对称面内的一条平面曲线,载荷,集中载荷,分布载荷,集中力偶,支座的类型,固定铰支座,滚动支座,固定端,二、梁的简化,静定梁的基本形式,简支梁,外伸梁,悬臂梁,火车轮轴简化,简化的实例,梁的简化：用梁的轴线代替杆件本身。,车床主轴的简化,吊车大梁简化,均匀分布载荷简称均布载荷,梁横截面上的内力,截面法,C,FS剪力，平行于横截面的内力的合力。,M弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩。,剪力和弯矩合称为梁横截面上的内力。,无,三、弯曲变形的内力,剪力和弯矩的符号规定,1、剪力

8、,不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩,而向下的外力则引起负值的弯矩.,2、弯矩,左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩,逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩,右侧梁段 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩,顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩,例47、求下图1-1、2-2、3-3、4-4、5-5的FS、M值。,解：,1、外力分析,2、内力分析,1-1截面,某一截面的内力（剪力或弯矩）等于截面一侧所有外力引起内力的代数和,2-2截面,3-3截面,4-4 截面,5-5 截面,例48、下图悬臂梁1-1、2-2截面上的FS、M值。,解：,1、外力分析,2、内力分析,1-1截面,2-2截面,课堂

9、练习：,计算梁中1-1与2-2截面内力。,计算梁中1-1与2-2截面内力。,解：,1-1截面,2-2截面,1、剪力方程,2、弯矩方程,FS = FS (x),M = M(x),表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律的函数，分别称作剪力方程和弯矩方程。,1、剪力方程和弯矩方程,四、剪力和弯矩方程 剪力图和弯矩图,弯矩为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧,2、剪力图和弯矩图,剪力为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧,以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩。这种图线分别称为剪力图和弯矩图,例43、如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作

10、此梁的剪力图和弯矩图。,解：,(1) 将坐标原点取在梁的左端， 列出梁的剪力方程和弯矩方程,梁的两端点，集中力、集中力偶作用点，支座点，分布载荷的起点或终点为分段点,对应于无均布载荷作用的梁，剪力图为平直线，弯矩图为斜直线,列剪力方程和弯矩方程，并利用剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图的步骤；,1、求支反力；,悬臂梁一般不必求支反力,2、找出分段点将梁分段；,梁的两端点，集中力、集中力偶作用点，支座点，分布载荷的起点和终点为分段点。,3、取好坐标原点，写出每一段的剪力方程及弯矩方程；,写某一段的剪力方程及弯矩方程，只需在这一段任取一截面，假设该截面到坐标原点的距离为x，写出这个截面的剪力和弯矩

11、就是这一段的剪力方程及弯矩方程。,4、根据剪力方程及弯矩方程画剪力图和弯矩图。,例题44、图示的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。,解 ：,(1) 求支反力,(2) 列剪力方程和弯矩方程,剪力图为一倾斜直线,绘出剪力图.,x=0 处，,x= l 处 ，,弯矩图为一条二次抛物线。由,令,得驻点,弯矩的极值,绘出弯矩图,由图可见，对应于作用有均布载荷的梁，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线,剪力等于零的截面，弯矩取最大值,例45、图示的简支梁在C点处受集中荷载F作用。试作此梁的剪力图和弯矩图。,解 ：,求梁的支反力,集中力作用点C为分段点，必须分段写剪力方程和弯矩方程

12、。,将坐标原点取在梁的左端,AC段,CB段,由(1),(3)两式可知,AC,CB 两段梁的剪力图各是一条平行于 x 轴的直线,由(2),(4)式可知, AC, CB 两段梁的弯矩图各是一条斜直线。,在集中力作用处的左，右两侧截面上剪力有突变，突变量等于集中力引起的剪力。,弯矩图形成尖角，该处弯矩取极值。,例46、图示的简支梁在 C点处受矩为m的集中力偶作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图.,解 ：,求梁的支反力,将坐标原点取在梁的左端,因为梁上没有横向外力，所以 全梁只有一个剪力方程,可见，梁的剪力图是一条平行于 x 轴的直线。,绘出剪力图,AC 段和 BC 段的弯矩方程不同,AC段,CB段,两梁

13、段的弯矩图各是一条倾斜直线。,AC段,CB段,梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩有突变，其突变值等于集中力偶矩引起的弯矩。,此处剪力图没有变化。,例413、 一简支梁受移动荷载 F 的作用如图所示，试求梁的最大弯矩为极大时荷载 F 的位置。,解 :,先设 F 在距左支座 A 为 x 的任意位置C。,令,当移动荷载 F 在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大。,最大弯矩值,以下各梁应分几段列弯矩方程及剪力方程,E,F,C,D,G,H,若仅列剪力方程，应分几段,列剪力方程时，集中力偶作用点不是分段点,2、以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处，及支 座截面处为界点将梁分段.分段写出剪

14、力方程和弯矩方程，然后 绘出剪力图和弯矩图.,1、取梁的左端点为座标原点，x 轴向右为正;剪力图向上为 正；弯矩图向上为正.,5、最大弯矩发生在集中载荷作用处，或剪力为零的截面处.,小 结,3、梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力（图）有突变，其突变值等于集中力的数值.在此处弯矩图则形成一个尖角.,4、梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图）也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值.但在此处剪力图没有变化.,q(x),略去二阶微量后得：,五、剪力和弯矩图的简便画法,几何意义,（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处载荷集度的大小。,（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的

15、大小。,载荷集度、剪力和弯矩微分关系：,M(x)图为一向上凸的二次抛物线.,FS(x)图为一向右下方倾斜的直线.,q(x)、Fs(x)图、 M（x）图三者间的关系,1、梁上有向下的均布荷载，即 q(x) 0,2、梁上无荷载区段，即 q(x) = 0,剪力图为一条水平直线.,弯矩图为一斜直线.,当 F S(x) 0 时，向右上方倾斜.,当 F S(x) 0 时，向右下方倾斜.,3、梁上最大弯矩 Mmax可能发生在FS(x) = 0 的截面上; 或发生在集中力所在的截面上；或集中力偶作用处； 最大剪力可能发生在集中力所在的截面上；或分布载荷发生变化的区段上.,4、在集中力作用处剪力图有突变，其突变

16、值等于集中力的值.弯矩图有转折.,5、在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化.,集中力,F,C,集中力偶,m,C,向下倾斜的直线,上凸的二次抛物线,在C处有转折,一段梁上的外力情况,剪力图 的特征,弯矩图 的特征,表 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征,向下的均布荷载,在C处有突变,在C处有突变,在C处无变化,无荷载,水平直线,一般斜直线,或,三图形状口诀：0平斜；平斜抛,载荷、剪力和弯矩之间关系绘制剪力图与弯矩图的方法,1、外力分析（求约束反力）；,约束反力的方向为实际方向,2、建立FS一 x和M一 x坐标系；,3、找出分段点将梁分段；对应每一段，根据载

17、荷集度、剪力及弯矩之间的微分关系（ 0平斜，平斜抛），确定剪力图及弯矩图的形状；,4、对应每一段，确定相应控制面的剪力值或弯矩值，并在坐标系中描点；,分段点左右两侧面均为控制面,5、根据剪力图及弯矩图的形状连线画出剪力图及弯矩图。,控制面上的剪力或弯矩可根据集中载荷与剪力和弯矩之间的关系，截面法或积分关系求得,解：1确定约束力,FAy0.89 kN FFy1.11 kN,2确定控制面为A、C、D、B两侧截面。,3从A截面左测开始画剪力图。,例题4-6 简支梁受力的大小和方向如图示,试画出其剪力图和弯矩图。,4从A截面左测开始画弯矩图。,从A左到A右,从C左到C右,从D左到D右,从A右到C左,从

18、C右到D左,从D右到B左,从B左到B右,解：1确定约束力,2确定控制面，即A、B、D两侧截面。,3从A截面左测开始画剪力图。,例题4-7 试画出梁的剪力图和弯矩图。,4求出剪力为零的点 到A的距离。,B点的弯矩为 -1/27qa/47a/4 +81qa2/32=qa2,AB段为上凸抛物线。且有 极大值。该点的弯矩为 1/29qa/49a/4 =81qa2/32,5从A截面左测开始画弯 矩图,例题4-8 试画出图示有中间 铰梁的剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,从铰处将梁截开,1、平面刚架,某些机器的机身由几根直杆组成，而各杆在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节点的框架称为刚架

19、。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为平面刚架。平面刚架的内力一般有轴力、剪力和弯矩。,4-5 平面刚架和曲杆的内力,试画出刚架的内力图。,例题4-19、已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l。,解：,2、写出各段的内力方程,q,l,l,A,B,C,1、确定约束力,AB段,BC段,竖杆AB：,3、根据各段的内力方程画内力图,横杆CB：,M图画在受压一侧；FS图与FN图可画在任一侧，但应注明正负号；,2、平面曲杆的内力,平面曲杆,轴线为平面曲线的构件称为平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。,引起拉伸变形的轴力为正；使轴线曲率增加的弯矩为正；剪力对所取的一段曲杆内任一点取矩，若力矩为顺时针方向，则剪力为正。,内力正负号规定,例4-15 已知：如图所示，F及R 。试绘制FS、M、FN图。,解：建立极坐标,O为极点,OB极轴，q表示截面mm的位置。,武汉长江大桥。全长1679米。于1957年建成。跨度128米。,英国福斯湾桥。钢悬 臂桁架双线铁路桥。 跨度521米。1890年 建成。,北京首都国际机场 航空港内钢结构飞 机库。,桁架的简化计算模型,桁架的优点：轻，能充分发挥材料性能。,力学中的桁架模型 ( 基本三角形)：三角形有稳定性,2、杆件与杆件间均