《计算机组成原理》教程第2章数据的表示.ppt

1、计算机组成原理第2章 数据的表示,内容,.数据的表示方法和转换 .数的定点表示和浮点表示 .十进制数的表示 .数据传送方式和校验,数据的表示方法和转换,进位计数制（进制） 进位计数制之间的转换,进位计数制,进位计数制：用少量的数字符号（也称数码），按先后次序把它们排成数位，由低到高进行计数，计满进位，这样的方法称为进位计数制。 基数：进位制的基本特征数，即所用到的数字符号个数。 例如10进制 ：0-9 十个数码表示，基数为10 权：进位制中各位“1”所表示的值为该位的权。 常见的进位制：2，8，10，16进制。,十进制(Decimal),基数:10 符号: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,

2、9 计算规律:“逢十进一”或“借一当十” 并列表示法:N10=dn-1dn-2 d1d0d-1d-2 d-m 十进制数的多项式表示: N10=dn-1 10n-1 + dn-2 10n-2 + d1 101 + d0 100 + d-1 10-1 + d-2 10-2 + d-m 10-M m,n为正整数,其中n为整数位数；m为小数位数。di表示第i位的系数,10i称为该位的权，10为基值.,例如: 一个十进制数123.45的表示,123.45 =1102+ 2101+ 3 100 + 410-1+ 510-2 注：等式左边为并列表示法，等式右边为多项式表示法,二进制(Binary),基数:

3、2 符号: 0,1 计算规律:逢二进一或借一当二 二进制的多项式表示: N2=dn-1 2n-1 + dn-2 2n-2 + d1 21 + d0 20 + d-1 2-1 + d-2 2-2 + d-m 2-m 其中n为整数位数；m为小数位数。 di表示第i位的系数,2i称为该位的权，2为基值.,十六进制(Hexadecimal),基数: 16 符号: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F 计算规律:逢十六进一或借一当十六 十六进制的多项式表示: N16=dn-1 16n-1 + dn-2 16n-2 + d1 161 + d0 160 + d-1 16-1 + d

4、-2 16-2 + d-m 16-m 其中n为整数位数；m为小数位数。 di表示第i位的系数,16i称为该位的权.,例如十六进制数 (2C7.1F)16的表示 (2C7.1F)16=2 162+ 12 161+ 7 160+ 1 16-1+ 15 16-2,进位计数制之间的转换,R进制转换成十进制的方法 十进制转换成二进制方法 二进制和八进制之间的转换 二进制和十六进制之间的转换,R进制转换成十进制的方法,按权展开法: 先写成多项式,然后计算十进制结果. N= dn-1dn-2 d1d0d-1d-2 d-m =dn-1 Rn-1 + dn-2 Rn-2 + d1 R1 + d0 R0 + d-

5、1 R-1 + d-2 R-2 + d-m R-m,例,例如: 写出(1101.01)2,(237)8,(10D)16的十进制数 (1101.01)2=123+122+021+120+ 02-1+12-2 =8+4+1+0.25=13.25 (237)8=282+381+780 =128+24+7=159 (10D)16=1162+13160=256+13=269,十进制转换成二进制方法,一般分为两个步骤： 整数部分的转换 除2取余法（基数除法） 减权定位法 小数部分的转换 乘2取整法（基数乘法）,(1)除基取余法,2 327 余数,2 163 1,2 81 1,2 40 1,2 20 0,2

6、 10 0,2 5 0,2 2 1,2 1 0,2 0 1,(327)10 =(101000111) 2,除基取余法：把给定的数除以基数,取余数作为最低位的系数,然后继续将商部分除以基数,余数作为次低位系数,重复操作，直至商为0。例如：用基数除法将(327)10转换成二进制数,(2)减权定位法,将十进制数依次从二进制的最高位权值进行比较，若够减则对应位置1，减去该权值后再往下比较，若不够减则对应位为0，重复操作直至差数为0。 例如：将 (327)10 转换成二进制数 256327512 327-256=71 1 71128 0 71-64 =7 1 732 0 716 0 78 0 7-4 =

7、3 1 3-2=1 1 1-1=0 1,乘基取整法,例如:将(0.8125) 10 转换成二进制小数. 整数部分 2 0.8125=1.625 1 2 0.625=1.25 1 2 0.25=0.5 0 2 0.5=1 1 (0.8125) 10 =(0.1101) 2,乘基取整法：把给定的十进制小数乘以2,取其整数作为二进制小数的第一位,然后取小数部分继续乘以2,将所的整数部分作为第二位小数,重复操作，直至得到所需要的二进制小数。,小数部分的转换,例如: 将(0.2) 10 转换成二进制小数,整数部分 0.2 2 = 0.4 0 0.4 2 = 0.8 0 0.8 2 = 1.6 1 0.6

8、 2 = 1.2 1 0.2 2 = 0.4 0 0.4 2 = 0.8 0 0.8 2 = 1.6 1 0.6 2 = 1.2 1 (0.2) 10 = 0.001100110011. 2,十进制混合小数转换二进制数,由整数与小数组成的十进制数，转为二进制数的方法： 先将整数部分用除取余法转换为二进制数，再将小数部分用乘取整法转为二进制数的小数部分，再将得到的二进制整数部分与小数部分相加，得到的和即是相应的二进制数据. 如：(327.8125)10=101000111.1101 327= 101000111 0.8125= 0.1101,二进制与八进制、十六进制之间的转换,二 八 二 十六

9、000 0 0000 0 1000 8 001 1 0001 1 1001 9 010 2 0010 2 1010 A 011 3 0011 3 1011 B 100 4 0100 4 1100 C 101 5 0101 5 1101 D 110 6 0110 6 1110 E 111 7 0111 7 1111 F,二进制转换成八进制,例：(10110111 .01101) 2,(10110111.01101) 2 =(267.32)8,八进制: 2 6 7 . 3 2,二进制: 010 ,110 , 111 . 011 , 010,二进制: 10 ,110 , 111 . 011 , 01

10、,低位补零，凑足三位,高位补零，凑足三位,八进制转换二进制,方法：直接将一位八进制数用三位二进制数表示即可。 例如: (123.46 ) 8 =(001,010,011 .100,110 ) 2 =(1010011.10011)2,二进制转换成十六进制,例：(110110111 .01101) 2转换成16进制。,(10110111.01101) 2 =(1B7.68)16,十六进制: 1 B 7 . 6 8,二进制: 0001 ,1011 , 0111 . 0110 ,1000,二进制: 1 ,1011 , 0111 . 0110 ,1,低位补零，凑足四位,高位补零，凑足四位,十六进制转换成

11、二进制,方法：一位十六进制数用四位二进制数表示。 例如: (7AC.DE ) 16 =(0111,1010,1100.1101,1110 ) 2 =(11110101100 .1101111 )2,二进制的优点（见书）,运算规则简单，易于实现 数的状态简单 节省设备，判断方便,无符号数和有符号数（补充）,无符号数vs.有符号数,无符号数：不带符号位的数 在数据处理的过程中，如不需要设置符号位可用全部字长来表示数值大小。 如8位无符号数的取值范围是0255（2-）。 可用于计数、地址指针等 有符号数：带符号位的数 若有16位寄存器 无符号数：065535 一位符号位的有符号数：327683276

12、7,带符号数的编码,真值vs.机器数 真值：正、负号加某进制数绝对值的形式称为真值。 如二进制真值： X=+1011 y=-1011 机器数：符号数码化的数称为机器数如 ：X=01011 Y=11011,机器数的表示方法,一旦符号数字化以后，符号和数值就形成了一种新的编码。在运算过程中，符号位能否和数值部分一起参加运算？如果参与运算，符号位又需要做哪些处理？这些问题都与符号位和数值位所构成的编码有关。 机器数有四种表示方法即原码、补码、反码和移码。,1. 原码表示法,原码表示法用“0”表示正号，用“1”表示负号，数值位用真值的绝对值表示。 整数的符号位与数值位之间用逗号“,”隔开； 小数的符号

13、位与数值位之间用小数点“.”隔开。 约定： 在本章中，n表示字长的有效位（数值位），X表示真值。（注意：跟书中有点出入）,例：完成下列数的真值到原码的转换 X1 = + 1011011 X2 = - 1011011,X1 原 =0,1011011,X2 原 =1,1011011,整数原码的定义,0的原码有两种表示方式： +0原 =0,0000000; -0原 =1,0000000 原码整数的表示范围: 最大值 : 2n-1-1 最小值:-(2n-1-1) 表示数的个数: 2n - 1,8位: 127，-127，255 16位: 32767 , -32767 , 65535,原码整数的表示范围,

14、若二进制的位数分别是8、16，其原码表示的最大值、最小值及表示数的个数为： 注意：最高位为符号位，有效数值位分别为7、15。,原码整数的表示范围: 最大值 : 2n-1-1 最小值:-(2n-1-1) 表示数的个数: 2n- 1,X 1X0 X原 = 1-X 0X-1,例：完成下列数的真值到原码的转换 X1 = + 0.1011011 X2 = - 0.1011011 0的原码有两种表示方式： +0原 =0.0000000; -0原 =1-0.0000000=1.0000000,X1原=0.1011011,X2原=1.1011011,小数原码的定义,最大值 : 1-2-n 最小值:-(1-2-

15、n) 表示数的个数: 2n - 1,若二进制原码小数的位数分别是8、16位,求其该数表示的最大值、最小值及所能表示数的个数？,8位: 127/128，-127/128，255 16位: 32767/32768 , -32767/32768 , 65535,原码小数的表示范围,注意：最高位为符号位，有效数值位分别为7、15。,X 1X0 X原 = 1-X 0X-1,原码特点,表示简单，易于同真值之间进行转换，实现乘除运算规则简单。 进行加减运算十分麻烦，本来是加法运算却可能要用减法器实现。 当两个操作数符号不同且做加法运算时，先要判断两个数绝对值的大小，然后将绝对值大的数减去绝对值小的数，结果的

16、符号以绝对值大的数为准。 0的表示不惟一,2. 补码表示法,以钟表对时为例说明补码的概念 假设现在的标准时间是3点整，而有一只表已经6点了，为了校准时间，可以采用两种方法： （1）逆时针：将时钟退3格 （2）顺时针：将时钟向前拨9格 这两种方法都能对准到3点。由此可以看出，减3和加9是等价的。就是说9是（3）对12的补码，可以用数学公式表示为： -3=+9 (mod 12) （“”为取模相等） 这里12是模数。 上例中63和69之所以等价，是因为表指针超过12时，将12自动丢掉，最后得到(6+9)123。 重要启示：负数用补码表示时，可以把减法转化为加法。,补码的概念,模：计量器具的容量，或称

17、为模数。 N位字长整数的模值为2N 4位字长的机器表示的二进制整数为： 00001111 共16种状态，模为16=24 。 一位符号位的纯小数的模值为2 补码的定义：正数的补码就是正数的本身，负数的补码是原负数加上模。,例：完成下列数的真值到补码的转换 X1 = + 1011011 X2 = - 1011011,X1补=0,1011011,X2补=27+1+x=1,0100101,整数补码的定义,X 1X0 x补= 2+X 0X-1 (mod 2),例：完成下列数的真值到补码的转换 X1 = + 0.1011011 X2 = - 0.1011011,X1补=0.1011011,X2补=1.01

18、00101,小数补码的定义,例：0的补码 （补码中“零”只有一种表示形式） + 0.0000000=0.0000000 -0.0000000=2+(-0.0000000) (mod 2) =0.000000,-1的补码,不妨补码的有效数值位为n 根据定义，对于整数补码有：-1补2n+1-1=1,11111.1 (包括符号位一共n1个1） 根据定义，对于小数补码有：-1补2+(-1.00)=1.0.0 (n个0） 由此可见, “-1”既可以在整数范围内表示，也能在小数范围内表示，在计算机中有两种不同的补码表示。 再看负数-2n的补码表示 -2n补2n+12n2n-11,0.0（n个0） 因此，“

19、1”的补码小数表示与“2n”的补码表示结构相同，都是：符号位为1，数值部分为n个0。 “1”与“2n”分别是补码小数和补码整数中可以表示的最小负数。,补码的表示范围:,n位有效数值位，不包括符号位 n位整数: 2n -1 -2n n位小数: 1- 2-n - 1 均能表示 2n 个数,原码与补码之间的转换,正数的原码和补码一致。 对于负数：设n=4, x = x1x2x3x4 x补=2n+1+x=10,0000-x1x2x3x4 =11111+00001 -x1x2x3x4 符号位除外，每位取反，末位加1。 对小数原码也同样成立。反过来，由补码求原码也同样成立。,原码与补码之间的转换,原码-补

20、码 正数 X补=X原 负数 符号位除外，每位取反，末位加1 例：X= -1001001 X原=1,1001001， X补=1,0110110+1=1,0110111 X补= 27+1 +X=100000000-1001001= 1,0110111 10 0 0 0 0 0 0 0 - 1 0 0 1 0 0 1 1, 0 1 1 0 1 1 1,补码到真值的转换,公式见P32 例x补=10001 (这一位表示符号位） x=-10000+0*23+0*22+0*21+1*20 1111,由X补求-X补（求机器负数）,解：以小数补码为例。设y补y0y1y2yn 第一种情况， y补0.y1y2yn

21、所以y= 0.y1y2yn，故-y=- 0.y1y2yn 则 -y补= 第二种情况， y补1.y1y2yn 运算过程：连同符号一起将各位取反，末位再加1。 设字长N=8位 例：X= +100 1001 X补 = 01001001 -X补= 10110111,补码最大的优点就是将减法运算转换成加法运算,X补-Y补= X补+-Y补 例如 X=(11)10=(1011)2 Y=(5)10=(0101)2 已知字长n=5位 X补-Y补 =X补+-Y补 =0,1011+1,1011=10,0110=0,0110=(6)10 注：最高1位已经超过字长故应丢掉,变形补码,为了便于判断运算结构是否溢出，某些计

22、算机还采用了一种双符号位的补码表示方法，称为变形补码。 假定变形补码的有效数值部分位数为n，则负数变形补码的表示定义为： 负整数：X补=2n+2 - X 负小数： X补=4 + X 因为这种补码小数的模数为4，因此也称模4补码。 在双符号位中，左符是真正的符号位，右符用来判别“溢出”。,3. 反码表示法,反码的概念：正数的表示与原、补码相同，负数的反码符号位为1，数值位是将原码的数值按位取反，就得到该数的反码表示。 反码通常用来作为原码求补码或者由补码求原码的中间过渡。,整数反码,0,X 2n X 0 X反= (2n+1 -1)+X 0 X -2n （mod (2n+1 -1) 例： X1=+

23、1011011, X1 反 =0,1011011 X2= -1011011, X2 反 =1,0100100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 +0反=00000000; -0反 =11111111,X 1 X 0 X反= (2- 2-n)+X 0 X -1 (mod (2-2-n) X1=+0.1011011 , X1 反 =0.1011011 X2= -0.1011011 , X2 反 =1.0100100 1. 1 1 1 1 1 1 1 - 0. 1 0 1 1 0 1 1 1. 0 1 0 0 1 0 0,小数反码,4. 移码

24、（增码）表示法,移码定义：X移= 2n + X 2nX -2n 移码就是真值加上一个常数。,例： X1 = 101 0101 X1补=0,101 0101 X1移=1,101 0101 X2 = -101 0101 X2补=1,010 1011 X2移=0,010 1011,X=0时， +0移=27+0=1,0000000 -0移=27-0=1,0000000 移码表示中0的也是唯一的。 移码与补码符号位相反。,引入移码的原因：当真值用补码表示时，由于符号位和数值部分一起编码，难于从补码形式上直接判断其真值的大小。 例如：x=21，y=-21，X补=0,0010101， y补=1,110101

25、1。从二进制码看， 会得出11101011 00010101的结论。,码制表示法小结,X原、X反 、X补用“0”表示正号，用“1”表示负号； X移用“1”表示正号，用“0”表示负号。 如果X为正数，则X原=X反=X补。 如果X为0，则X补、X移有唯一编码， X原、X反有两种编码。 移码与补码的形式相同，只是符号位相反。,四种编码的表示,2.2 数的定点表示和浮点表示,定点表示 浮点表示,相关概念,数值范围：一种数据类型所能表示的最大值和最小值。 数据精度：实数所能表示的有效数字位数。 数值范围和数据精度均与使用多少位二进制位数以及编码方式有关。 计算机用数字表示正负，隐含规定小数点。采用“定点

26、”、“浮点”两种表示形式。,1. 数的定点表示方法,（1）定点整数小数点位置固定在数的最低位之后 若采用原码，则范围为： -(2n-1) 2n -1 （2）定点小数小数点位置固定在数的符号位之后、数值最高位之前。 若采用原码，则范围为：-(1-2-n) 1-2-n 其中n表示数值位的位数。,数符,数值部分,小数点位置,数符,数值部分,或,小数点位置,把字长分成阶码j和尾数S两部分。其根据就是： S为尾数，j为阶码，r为基数（或基值）。在计算机中，基数可取2、4、6、8或16等。 以基数r=2为例，数N可写成下列不同形式： 为了提高数据精度以及便于浮点数的比较，在计算机中规定浮点数的尾数用纯小数

27、的形式。 规格化数：尾数最高位为1的浮点数称作规格化数。浮点数表示成规格化形式后，其精度最高。,（1）浮点数的表示,2. 数的浮点表示方法,上溢：浮点数阶码大于最大阶码时，称为“上溢”，此时机器停止运算，进行中断溢出处理。 下溢：浮点数阶码小于最小阶码时，称为“下溢”，由于此时“溢出”的数绝对值很小，通常将尾数各位强制为零，按机器零处理，此时机器继续运行。,（2）浮点数的表示范围,数符,数值部分,小数点位置,阶符,阶码的数值部分,下溢,浮点数的规格化,目的：字长固定的情况下提高表示精度的措施： 增加尾数位数（但数值范围减小）。 采用浮点规格化形式。 将非规格化数转换成规格化数的过程叫规格化。,

28、规格化方法,当基数为2时，尾数最高位为1的数为规格化数。 1、向左规格化 出现0.0 xxx就不是规格化数 向左规格化规则：尾数左移1位，阶码减1。 2、向右规格化 尾数的绝对值大于1，向左破坏了规格化。 向右规格化规则：尾数右移1位，阶码加1。,规格化方法,当基数为4时，尾数最高两位不全为0的数为规格化数。 1、向左规格化 出现0.00 xxx就不是规格化数 向左规格化规则：尾数左移2位，阶码减1。 2、向右规格化 尾数的绝对值大于1，向左破坏了规格化。 向右规格化规则：尾数右移2位，阶码加1。 当基数为8时，尾数最高两位不全为0的数为规格化数。 1、向左规格化 出现0.000 xxx就不是

29、规格化数 向左规格化规则：尾数左移3位，阶码减1。 2、向右规格化 尾数的绝对值大于1，向左破坏了规格化。 向右规格化规则：尾数右移3位，阶码加1。 ?若基数为16时，怎样规格？,浮点数的表示范围和精度,一旦浮点数的位数确定以后，合理分配阶码和尾数的位数，直接影响浮点数的表示范围和精度。 基数对数的表示范围也有影响。 基数是隐含的，浮点机中一旦基数确定后就不再变了。 一般来说，基数r越大，可表示的浮点数范围越宽，而且所表示的数其个数也越多。但r越大，浮点数的精度反而下降。 例如：r=16的浮点数，引起规格化的尾数最高三位可能出现零，故与其尾数位数相同的r=2的浮点数相比，后者可能比前者多三位精度。,3. 定点数与浮点数的比较,数的表示范围：当浮点机和定点机中的数其位数相同时，浮点数的表示范围比定点数大得多。 数的精度：当浮点数为规格化数时，其精度远比定点数高。 浮点运算步骤比定点运算多，运算速度比定点低，运算线路比定点复杂。 溢出判断 定点数的溢出根据数值本身判断 浮点数的溢出根据规格化后的阶码判断 通用的大型机采用浮点数，或同时采用定、浮点数；小型、微型及某些专用机、控制机采用定点数。当需作浮点运算时，可通过软件实现，也可通过外加的浮点扩展硬件（如协处理器）来实现。,例题1,1. 求X=256.5 的第一种浮点表示格式 X=(256. 5)10 =+(1000