高等数学方明亮版数学课件8.2_二重积分的计算方法.ppt

1、2020年8月5日星期三,1,第二节 二重积分的计算方法,第八章,(Calculation of Double Integral),一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,三、小结与思考练习,2020年8月5日星期三,2,一、利用直角坐标计算二重积分,曲顶柱体的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,设曲顶柱体的顶为,X型区域,2020年8月5日星期三,3,同样, 若曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,Y型区域,2020年8月5日星期三,4,为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.,则有,(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y

2、-型域 ,则,说明: (1) 若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,2020年8月5日星期三,5,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .,由于,当被积函数,补充说明（课本没有）：,2020年8月5日星期三,6,2020年8月5日星期三,7,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,及直线,则,例3 计算,2020年8月5日星期三,8,例5 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,解: 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,2020年8月5日星期三,9,二、利用极坐标计算二重积分,对

3、应有,在极坐标系下, 用同心圆 r =常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线 =常数, 分划区域D 为,2020年8月5日星期三,10,即,则,设,2020年8月5日星期三,11,特别地, 对,若 f 1 则可求得D 的面积,2020年8月5日星期三,12,思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),2020年8月5日星期三,13,2020年8月5日星期三,14,其中,解: 在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,例7 计算,2020年8月5日星期三,15,利

4、用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上, 当D 为 R2 时,利用例6的结果, 得,故式成立 .,注:,2020年8月5日星期三,16,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,例8 求球体,2020年8月5日星期三,17,内容小结,直角坐标系情形 :,若积分区域为,则,若积分区域为,则,2020年8月5日星期三,18,则,极坐标系情形: 若积分区域为,2020年8月5日星期三,19,课外练习,习题82 1 （偶数题） ； 2 （奇数题） ；3；4 ；6； 7（1）（3）；8（1）（3)；9（2）（4）;10（2）； 11（2）（4）,思考与练习,1. 设,且,求,2020年8月5日星期三,20,1. 设,且,求,提示:,交换积分顺序后, x , y互换,2020年8月5日星期三,21,其中D 由,所围成.,解: 令,(如图所示),显然,2. 计算,2020年8月5日星期三,22,提示: 积分域如图,3. 交换积分顺序,2020年8月5日星期三,23,