ruiyong2011年高考数学一轮精品复习课件：第2章《函数与导数》——定积分与微积分基本定理.ppt

1、 定积分与微积分基本定理,第14节定积分与微积分基本定理,考纲点击,某个常数,被积函数,积分变量,被积式,积分下限,积分上限,知识梳理,2、,第15讲 知识梳理,F(b)F(a),原函数,3、,6常见求定积分的公式,返回目录,考点一 利用微积分定理求定积分,计算下列定积分: (1) x(x+1)dx; (2) (e2x+ )dx; (3) sin2xdx.,题型分析,【分析】求出被积函数的原函数,用微积分基本定理进行求解,计算 f(x)dx的关键是找到满足F(x)=f(x)的函数F(x).其中F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到.,返回目录,【解析】 (1)x(x+1)=x2+x且(

2、 x3)=x2,( x2)=x, x(x+1)dx= (x2+x)dx = x2dx+ xdx= =( 23-0)+( 22-0)= .,返回目录,(2)(lnx)= ,(e2x)=e2x(2x)=2e2x, 得e2x=( e2x), 所以 (e2x+ )dx= e2xdx+ dx = e2x +lnx = e4- e2+ln2-ln1= e4- e2+ln2.,(3)由(sin2x)=cos2x(2x)=2cos2x,得cos2x=( sin2x), 所以 sin2xdx= ( - cos2x)dx = dx- cos2xdx = x - ( sin2x) = ( -0) - ( sin2-

3、 sin0)= .,返回目录,返回目录,【评析】计算一些简单的定积分，解题的步骤是：（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用微积分基本定理求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值.,返回目录,对应演练,返回目录,考点二 分段函数的定积分,计算下列定积分: ;,【分析】对于第(1)小题,应对在区间0,2上 的正、负进行分情况计算；而对于第（2）小题，在0 x2的条件下，对x2-1的正、负情况进行讨论.,dx,|x-1|dx,(2),分段函数的定积

4、分 (1)分段函数在区间a，b上的定积分可分成几段定积分的和的形式 (2)分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细,【解析】 (1)(-cosx)=sinx, |sinx|dx= |sinx|dx+ |sinx|dx = sinxdx- sinxdx =-cosx +cosx =-(cos-cos0)+(cos2-cos) =4.,返回目录,(2)0 x2, x2-1 (1x2) 1-x2 (0 x1), |x2-1|dx= (1-x2)dx+ (x2-1)dx =(x- x3) + ( x3-x) =(1- )+( 23 -2)-( -1)=2.,

5、【评析】 (1)含绝对值的函数实际上就是分段函数. (2)分段函数在区间a,b上的定积分可分成几段定积分和的形式,分段的标准就是分段函数的标准.,返回目录,|x2-1|=,返回目录,考点三 利用定积分几何意义求定积分,求定积分 .,【分析】当利用微积分基本定理不能奏效时，需考虑用定积分的几何意义来进行解决.,【解析】设 , 则x2+y2=1（y0）, 表示由曲线 在0,1上的一段与坐标轴所围成的面积，即在第一象限部分的圆的面积， .,1.求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤 (1)画出图形； (2)确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出 积分的上、下限； (3)确定被积函数，特别

6、要注意分清被积函数的上、下位置； (4)写出平面图形面积的定积分的表达式； (5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.,【评析】用定积分的几何意义求定积分，不仅简捷可行，而且充分体现了初等数学与高等数学间的关系.因而充分把握定积分的几何意义，也是学好本学案内容的关键.,返回目录,返回目录,对应演练,求定积分 .,令y= ，则(x-3)2+y2=25(y0), 表示由曲线y= 在-2,3上的一段与x轴和直线x=3所围成的面积， = 52= .,返回目录,考点四 定积分的应用,求抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积.,【分析】先求出抛物线y2=2x与直线y=4-x的交

7、点,将积分区间确定,再求定积分.,y2=2x y=4-x 解出抛物线和直线的交点为(2,2) 及(8,-4). 解法一:选x作为积分变量, 由图可看出S=A1+A2,【解析】由方程组,在A1部分:由于抛物线的上半支方程为y= , 下半支方程为y=- ，所以 = = , = = 于是：S= =18.,返回目录,返回目录,解法二：选y作积分变量， 将曲线方程写为x= 及x=4-y. S= =30-12=18.,【评析】对于求平面图形的面积问题,应首先画出平面图形的大概图形,然后根据图形的特点,选择相应的积分变量以确定积分区间,写出图形面积的积分表达式,再进行求解.,对应演练,如图所示,直线y=kx

8、分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.,抛物线y=x-x2与x轴两交点的 横坐标x1=0,x2=1,所以抛物线 与x轴所围图形的面积,返回目录,抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标 所以 又知S= , 所以(1-k)3= , 于是k= .,返回目录,考点五 定积分在物理中的应用,一辆汽车的速度时间曲线如图所示,求此汽车在这1 min内所行驶的路程.,【分析】由题意知,在t0,10) 和t40,60)物体做匀变速直线 运动,t10,40)做匀速运动,v(t) 应为分段函数,应三段求积分.,返回目录,【解析】由速度时间曲线易知, 3t, t0,10) 30, t10

9、,40) -1.5t+90, t40,60, 由变速直线运动的路程公式可得 答:此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m.,v(t)=,返回目录,【评析】用定积分解决变速运动的位置与路程问题时,将物理问题转化为数学问题是关键.变速直线运动的速度函数往往是分段函数,故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分,然后求出积分的和,即可得到答案,由于函数是分段函数,所以运算过程可能稍微复杂些,因此在运算过程中一定要细心,不要出现计算上的错误.,返回目录,对应演练,A,B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点速度达24m/

10、s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为(24-1.3t)m/s.在B点恰好停车,试求: (1)A,C间的距离; (2)B,D间的距离; (3)电车从A站到B站所需的时间.,返回目录,（1）设A到C经过t1s,由1.2t1=24得t1=20(s)，所以AC= =240(m). （2）设从DB经过t2s，由24-1.2t2=0得t2=20(s),所以DB= =240(m). （3）CD=7 200-2240=6 720(m). 从C到D的时间为t3= =280(s). 于是所求时间为20+280+20=320(s).,返回目录,1.被积函数若含有绝对值号应去绝对值号,再分段积分. 2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是被积变量. 3.求曲边多边形的面积,其步骤为: (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象. (2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和. (4)计算定积分.,高考专家助教,返回目录,4.用定积分解决变速运动的位置与路程问题时,将物