第2章2-Z域分析讲解.ppt

1、1,李建勋- ,第二章时域离散信号和系统的频域分析,Z域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域分析。 傅立叶变换，拉谱拉斯变换,2.离散时间信号与系统： Z变换，傅立叶变换。,引入Z变换的意义,2,李建勋- ,1. Z变换的定义 一个离散序列x(n)的Z变换定义为,1.1 序列的 Z 变 换,z是一个复变量，它所在的复平面称为Z平面。,单边Z变换的定义：,本书中均用双边变换对信号进行分析和变换。,例：,级数形式对应不同序列,在工程中，人们对右序列感兴趣,3,李建勋- ,只有当的幂级数收敛时，Z变换才有意义。,2. Z变换的收敛域与零极点,一般收敛域用环状域表示，即 Rx

2、-|z|Rx+,收敛域：对任意x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集合。,常用的Z变换是一个有理函数：,X(z)的零点：P(z)的根， X(z)的极点：Q(z)的根。,收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。,4,李建勋- ,Z平面上收敛域的位置和序列有着密切的关系： （1）有限长序列,有时将开域(0, )称为“有限Z平面”。,其Z变换为,其收敛情况,5,李建勋- ,（2）右边序列：右边序列是指x(n)只在nn1时有值。,则右边序列Z变换的收敛域为Rx-|z|,因果序列,Z变换收敛域包括|z|=是因果序列的特征。,6,李建勋- ,（3） 左边序列: 左边序列是指在nn2时x(n)有值,

3、如果n20，收敛域应包括z=0，即 |z|Rx+。,7,李建勋- ,（4） 双边序列： 一个双边序列可看作一个右边序列和一个左边序列之和,如果Rx-Rx+，则存在公共收敛区域：Rx-|z|Rx+,收敛域为|z|Rx-;,收敛域为|z|RX+,8,李建勋- ,矩形序列x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域:,这是一个有限项几何级数之和。因此,9,李建勋- ,例 x(n)=anu(n), 求其Z变换及收敛域。 ,收敛域：|z|a|,无穷项等比级数求和,解 这是一个因果序列，其Z变换为,结论：右边序列的Z变换如果有N个有限极点z1,z2,zN， 那么收敛域一定在模最大的极点所在的圆外,另外，由于X(

4、z)只在z=a处有一极点， 整个收敛域应该在极点所在的圆内。,10,李建勋- ,例 x(n)=-anu(-n-1), 求其Z变换及收敛域。,此等比级数在|a-1z|1，即|z|a|收敛。,另外，由于函数 只在z=a处有一极点，整个收敛域应该在极点所在的圆内。,解 这是一个左边序列。其Z变换为,11,李建勋- ,对于左边序列，如果序列Z变换有N个有限极点z1, z2, , zN，那么收敛域一定在模最小的极点所在的圆内,结论：一个左边序列与一个右边序列的变换表达式是完全一样的。所以，只给出Z变换的闭合表达式不能正确得到原序列，需要已知收敛域。,12,李建勋- ,13,李建勋- ,例 x(n)=a|

5、n|, a为实数，求其Z变换及收敛域。 ,解 这是一个双边序列，其Z变换为,若|a|1，则存在公共收敛域,若|a|1，则无公共收敛域,序列两端都发散,14,李建勋- ,表 几种序列的Z变换,15,李建勋- ,表 几种序列的Z变换,16,李建勋- ,1.2 Z变换的性质,1. 线性 Z变换是一种线性变换，它满足叠加原理，即若有:,Zx(n)=X(z) Rx-|z|R x+ Zy(n)=Y(z) Ry-|z|Ry+ Zax(n)+by(n)=aX(z)+bY(z) -|z|R+,2. 序列卷积（卷积定理）,17,李建勋- ,3. 序列的移位,位移m可以为正（右移）也可以为负（左移）。,18,李建勋

6、- ,例 设x(n)=anu(n), h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1) 求y(n)=x(n) * h(n)。,解,所以,19,李建勋- ,4. 初值定理 对于因果序列x(n)，有,5. 终值定理 设x(n)为因果序列，且X(z)=Zx(n)的极点，除有一个一阶极点可以在z=1上，其余都在单位圆内，则,20,李建勋- ,6. 乘以指数序列（Z域尺度变换）,7. X(z)的微分,8. 复序列的共轭,21,李建勋- ,10. 序列乘积（复卷积定理）,若,9. 翻褶序列,22,李建勋- ,Z变换的主要性质,23,李建勋- ,1.3 Z反变换 已知函数X(z)及其收敛域，求序列的变换称为Z

7、反变换， x(n)=Z-1X(z),则,若,常用方法有三种：留数法,部分分式展开法和幂级数展开法。,24,李建勋- ,1. 围线积分法（留数法） 根据留数定理，若函数F(z)=X(z)zn-1在围线c以内有K个极点zk，则有,ResX(z)zn-1, zk表示函数F(z)=X(z)zn-1在极点z=zk上的留数。,或在c以外有M个极点zm，且分母阶次比分子高两阶以上：,25,李建勋- ,设zr是X(z)zn-1的单一（一阶）极点，则有,如果zr是X(z)zn-1的多重极点，如l阶极点，则有,对多阶极点不作要求,26,李建勋- ,例 已知,求Z反变换。,解,围线c以内包含单阶极点a。当n0时，在

8、z=0处有一个n阶极点。而在围线c外无极点；,27,李建勋- ,同一个X(z)， 若收敛域不同，则对应的序列就完全不同。,28,李建勋- ,例 设,求Z反变换,解 X(z)有两个极点，d1=2 和d2=0.5，极点全部是一阶的,求得系数为:,2. 部分分式展开法,29,李建勋- ,2. 部分分式展开法 在实际应用中，一般X(z) 可表示成X(z)=P(z)/Q(z),如果MN， 且所有极点都是一阶的,利用留数定理求得,Matlab求解,30,李建勋- ,部分分式法的Matlab求解,MATLAB中的极点留数计算函数residuez，基本调用格式为： r, p, C=residuez(b, a)

9、 其中，b和a为分子和分母的系数向量， p为分母的根向量，也就是X(z)的极点向量； r为对应于根向量中各个根的留数向量 C当NM是有用,31,李建勋- ,计算下式的反变换,r,p,C=residuez(b,a),先用函数poly求出分母多项式的系数,b=1; a=poly(0.9,0.9,-0.7);,r = 0.2461; 0.5625; 0.1914 p = 0.9000; 0.9000; -0.7000 C = ,32,李建勋- ,3. 幂级数展开法（长除法）,当X(z)是exp，log, sin等函数时，有已知的幂级数； 当X(z)是一个有理分式， 分子分母都是z的多项式时，用分子多

10、项式除以分母多项式得到幂级数展开式。,只要在给定的收敛域内，把X(z)展成幂级数,例 若,X(z) 收敛域在极点所在圆以外，序列应该是因果序列，把X(z)展成z的负幂级数，分子分母按 的降幂排列，然后长除,求Z反变换。,33,李建勋- ,所以,则,2007-9,34,李建勋- ,若 X(z)为,序列是左边序列，分子分母按 的升幂排列，然后长除有：,35,李建勋- ,长除法既可展成升幂级数也可展成降幂级数，这完全取决于收敛域。所以在进行长除以前，一定要先根据收敛域确定是左边序列还是右边序列。 如果收敛域是|z|Rx+，则x(n)必然是左边序列，应将X(z)展开成z的正幂级数，反之展成Z的负幂级数

11、,用MATLAB实现长除法： 多项式除法是乘法的逆运算，其调用方法为： q,r =deconv(b,a) 其中b为分子系数向量，a为分母系数向量，q为商的系数向量，r为余数的系数向量 长除的目的是求q,商q的长度为M-N+1.,36,李建勋- ,1.4.1 序列的傅氏变换与Z变换,单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换,1.4 拉氏变换、傅氏变换与Z变换,37,李建勋- ,1.4.2 拉氏变换与Z变换,采样序列x(n)=xa(nT)的Z变换为,当z=esT时，采样序列的Z变换就等于其理想采样信号的拉氏变换,38,李建勋- ,rej=e(+j)T=eTejT 因此: r=eT =T,显然，z的模

12、r对应于s的实部，z的相角对应于s的虚部。,将S平面用直角坐标表示为 s=+j 而Z平面用极坐标表示 z=re j,下面来讨论这一映射关系,39,李建勋- ,S平面与Z平面多值映射关系,r=eT =T,40,李建勋- ,1.5 离散时间系统的频域分析（Z域）,在单位圆上(z=ej)的系统函数就是系统的频率响应H(ej)。,系统函数：,频响函数：,41,李建勋- ,1.5.1 因果系统 单位脉冲响应h(n)为因果序列的系统称为因果系统， 因果系统的系统函数H(z)具有包括z=点的收敛域，即,42,李建勋- ,1.5.2 稳定系统 一个线性时不变系统稳定的充分必要条件,稳定系统的系统函数H(z)必

13、须在单位圆上收敛，即收敛域包括单位圆|z|=1，H(ej)存在。,它的系统函数H(z)必须在从单位圆到的整个Z域内收敛，,也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。,而Z变换的收敛域由满足,因果稳定系统,43,李建勋- ,1.5.3 系统函数和差分方程的关系(求解差分方程) N阶常系数线性差分方程的一般形式为,若系统起始状态为零，直接对上式两端取Z变换， 利用Z变换的线性特性和移位特性可得,系统函数,不能惟一地确定一个线性系统,稳定系统,44,李建勋- ,将其分别进行因式分解，可得,零点z=ck，极点z=dk都由差分方程的系数ak和bk决定。除了比例常数b0/a0以外，系统函数完全由它的全部

14、零点、极点来确定。,45,李建勋- ,例 设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定,设系统因果，求输入x(n)=ejn的零状态响应。,系统函数：,系统是因果的，故H(z)的收敛域必须包含，所以收敛域为|z|1/2。 该收敛域又包括单位圆， 所以系统也是稳定的。,46,李建勋- ,系统的频率响应为,对单频输入信号，可得输出响应为,47,李建勋- ,关于求差分方程的暂态解,设x(n)是因果序列，求输入,要用单边Z变换,因此,暂态解,y(-1)=2,移位序列的单边z变换：,48,李建勋- ,一个N阶的系统函数H(z)完全可以用它在Z平面上的零、极点确定。由于H(z)在单位圆上的Z变换即是系统的频率响应，因此系统的频率响应也完全可以由H(z)的零、极点确定。频率响应的几何确定法实际上就是利用H(z)在Z平面上的零、极点，采用几何方法直观、定性地求出系统的频率响应,1.5.4 频率响应的几何确定法,49,李建勋- ,系统的频率响应为,在Z平面上，ej-ck可以用一根由零点ck指向单位圆上ej点的向量Ck来表示 Ck=ej-ck 同样，ej-dk可以由极点dk指向单位圆上ej的向量Dk来表示 Dk=ej-dk,50,李建勋- ,51,李建勋- ,52,李建勋- ,几点说明 (1)零点位置影响凹谷点的位置与