8.1+-+8.3+Euler格式和Runge-Kutta格式.ppt

1、则初值问题(*)的连续可微解y(x)存在,且唯一.,第八章 常微分方程初值问题的数值解法,讨论常微分方程（ordinary differential equation）的定解问题，这类问题的最简单型是如下一阶方程的初值问题：,满足Lipschitz (李普希兹)条件，即存在正数L，使得对所有的 和任何 均有,定理 设函数f(x,y)在区域,上连续,且在区域D内关于y,由于数值解是找精确解 的近似值，因此，总假设方程的解 存在且唯一，并具有充分的光滑性！,(*),求常微分方程数值解的必要性,1、方程本身很复杂，不能给出解析解，或难以求出解析解；,2、即使可以获得解析解，计算量太大或者计算过程太复

2、杂而不实用；例如：高阶常系数线性常微分方程.,3、在实际应用中，只需求得解在某些特殊点上的近似值。,数值解是指：在解的存在区间上取一系列离散节点,逐个给出精确解 的近似值,定义：,相邻两个节点的间距 称为步长.,如何求出？,考虑等距节点：,从初始条件 出发，按照节点的排序，依次逐个计算 的 值，称为步进法. 一般有两种类型：单步法、多步法.,注：,为了考察数值解是否具有使用价值，必须解决的基本问题：,解析解不能用初等函数及其积分表示！,当步长h取得充分小时，所得的近似解yn能否以足够的精度逼近初值 问题的精确解y(xn).这就是收敛问题。即当h 0时, yn y(xn) ?,在数值求解的过程中

3、，会产生若干类型的误差，具体分类如下： （1）局部截断误差 （2）局部舍入误差 （3）整体截断误差 （4）整体舍入误差 （5）总误差（=整体截断误差+整体舍入误差） 因此，必须估计精确解与近似解之间的误差。这就是误差估计问题。,由于初始值y0和右端项f(x,y)常常是通过测量得到的，所以必须考虑 它们的微小扰动，引起数值解的变化问题。即最初产生的误差在以 后各步的计算中是否会无限制扩大的问题，这就是稳定性问题。 在计算过程中无舍入误差，只有当问题的数值解对初始值具有某种连续 依赖性时，方法才实用！,可证明：若不考虑初始值误差，整体截断误差的阶由局部截断误差的阶决定！,本章着重讨论一阶ODE初值

4、问题的数值解.对于高阶方程（组）的数值解，其基本思想是完全一样的.,计算一步所产生的误差。是算法中所固有的，与舍入误差无关,初值问题的解析解表示过点 的一条（光滑）曲线.,解析解与其数值解的几何意义：,初值问题的数值解表示一组离散点列 （或一组数据点）,积分曲线,近似曲线,本章给出的几种方法,一、欧拉(Euler)方法及其改进形式,二、龙格-库塔(Runge-Kutta)方法,三、线性多步法-Adams（埃德姆斯）方法,得到数值解有两个基本途径：, 把近似解表示成有限个独立函数之和，例如：截断的幂（Taylor）级数或正交函数展开式中的前几项. 涉及到计算高阶导，尽管可用“数值微分”技术，但得

5、到的公式太长、太复杂！通常比较适用于手算., 离散化方法（也称为差分方法），它提供了用当前节点上的或前几个节点上的近似值来计算下一个节点上的近似值的规则.数值解所满足的离散方程统称为差分格式. 它是本章中要研究的一种方法.,微分方程,区域剖分,递推计算或解线性代数方程组,微分方程离散,初始和边界条件处理,数值求解微分方程过程示意,解的存在性、唯一性,解的收敛性和收敛速度,解的稳定性,得到数值解,离散系统的性态研究,现实问题,数学模型,离散格式,模型误差,舍入误差,观测误差,截断误差,数值解,求解过程中产生的误差,数学模型,离散化,计算,第2节 欧拉（Euler）方法 最简单的一种方法，精度差，

6、不推荐使用！,欧拉格式的构造,解决问题的关键：如何处理方程中的导数项？,在各节点 处,有,求 的近似值,方法：将上述初值问题化成节点离散方程，在节点上采用离散化方法（也叫做差分方法,通常用数值积分、微分、泰勒公式等），可逼近节点离散方程，由此产生可计算格式，并用计算解 作为解析解 的近似值.,在节点离散方程中直接用向前差商代替微商，得到,节点离散方程,称为欧拉格式.当初值 已知时，,可递推求出,该切线与直线 的交点 的纵坐标,现在从 出发,作解曲线的切线，,切线方程为：,切线斜率为,欧拉方法的几何解释,再从 出发，以 为斜率作直线,该直线与直线 的交点的纵坐标,依次类推， 的近似值 的计算公式

7、：,即是欧拉公式.又称,用一条折线近似代替积分曲线,折线法.,欧拉方法的缺陷：误差比较大！,令,令,方法可看做是Taylor级数前两项的近似！,y(x1),y(x2),y2,y(x3),y3,y1,x1,x2,x3,xn,.,x0,y(x0),Euler格式的整体截断误差与局部截断误差，示意图,整体截断误差,局部截断误差,在节点离散方程中直接用向后差商代替微商，得到,称为隐式欧拉格式.,在节点离散方程中用中心差商代替微商，得到,称为欧拉两步格式.,于是,关于 的非线性方程，可用迭代法求解！,欧拉格式的局部截断误差,假设 ，即第n步的结果 是准确的， 称为局部截断误差.,定义2.1. 如果一种方

8、法的局部截断误差为 ，则称该数值方法的精度 是 阶的，或简称该方法是 阶的., 显式Euler格式,计算一步所产生的误差,一阶方法,局部截断误差的主项, 隐式Euler格式,一阶方法, Euler两步格式,二阶方法,在区间 上对微分方程 积分得,欧拉格式的积分学解释,即,为了给出迭代格式，只要对积分项提供一种算法！而选择不同的算法，就会得到不同的迭代格式., 利用左矩形公式，有,略去高阶项，便得（显式）欧拉公式., 利用右矩形公式，有,略去高阶项，便得（隐式）欧拉公式.,略去高阶项，然后用 代替 ，得,利用梯形公式，有,单步隐格式,称为梯形格式.,二阶方法,关于 的非线性方程，可用简单迭代法求

9、解！,例如： 可构造不动点迭代格式,其中迭代函数为,为了保证迭代法收敛，我们分析,于是，对任意正整数p，有,0,这表明：序列 是Cauchy列！, 将显式欧拉公式和梯形公式联合使用,即先用欧拉格式预估一个粗糙的近似值，然后用梯形公式对其进行校正. 这种预估-校正格式称为改进的Euler格式.它可表为如下等价形式：,单步显格式,是 的斜率值.,是 的斜率值，它是利用已知信息 通过Euler格式得到的.,Euler格式的微分学解释,依据微分中值定理，有,是 两点的斜率值 的算术平均作为平均斜率 的近似值.,局部截断误差为O(h3),二阶方法,一般地，我们考虑：如果设法在 内多预报几个点的斜率值，然

10、后将它们加权平均作为平均斜率 的近似值，则有可能构造出更高精度的计算格式 这就是Runge-Kutta方法的基本思想.,第3节 Runge-Kutta方法 - 一种提高截断误差阶的方法, 二阶Runge-Kutta格式,问题：适当选取待定参数，使得格式具有二阶精度.,工具：用Taylor公式，分析格式的局部截断误差,为此，考虑格式的局部截断误差.,比较系数可知，若要格式具有二阶精度，只需,特别，若取 有 格式就是改进的Euler格式.,若取 有 格式称为变形的Euler格式（也称为中点格式）.其形式为, 三阶Runge-Kutta格式,问题：适当选取7个待定参数，使得格式具有三阶精度.,类似地，利用Taylor公式分析格式的局部截断误差.比较系数可知，若要格式具有三阶精度，只需,常用的取, 四阶Runge-Kutta格式,称为经典的四阶Runge-Kutta格式,取,更一般地，取 m 个点的斜率构造如下形式的公式,该公式称为m级龙格库塔(R