河北省石家庄市2020学年高二数学下学期期末考试试题 文（含解析）（通用）

1、石家庄市2020学年第二学期期末教学质量检测高二数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】先对复数进行化简，然后再求解其共轭复数.【详解】,所以共轭复数为.故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，共轭复数的求解一般是先化简复数，然后根据实部相同，虚部相反的原则求解.2.在建立两个变量与的回归模型时，分别选择了4个不同的模型，这四个模型的相关系数分别为0.25、0.50、0.98、0.80，则其中拟合效果最好的模型是（ ）A. 模型1B.

2、 模型2C. 模型3D. 模型4【答案】C【解析】【分析】相关系数的绝对值越靠近1，拟合效果越好，据此得到答案.【详解】四个模型的相关系数分别为0.25、0.50、0.98、0.80相关系数的绝对值越靠近1，拟合效果越好故答案选C【点睛】本题考查了相关系数，相关系数的绝对值越靠近1，拟合效果越好.3.研究表明女大学生的体重与身高具有相关关系，根据所采集的数据得到线性回归方程，则下列说法错误的是（ ）A. 身高的女大学生，求得体重是，所以这名女大学生的体重一定是；B. 斜率的估计值等于0.849，说明身高每增加一个单位，体重就增加0.849个单位；C. 体重与身高的正负相关性与斜率的估计值有关；

3、D. 体重与身高成正相关关系.【答案】A【解析】【分析】根据回归直线方程的意义求解.【详解】对于选项A，回归方程求出的结果是估计值，不是确切值，所以A不正确；对于选项B，回归方程的斜率表示增加一个单位时，的变化量；对于选项C，体重与身高正负相关性与斜率的正负有关；对于选项D，由于斜率为正，所以体重与身高成正相关关系.【点睛】本题主要考查回归方程的意义，明确方程中每个字母的含义是求解的关键.4.矩形的对角线互相垂直，正方形的对角线互相垂直，所以正方形是矩形.以上三段论的推理中（ ）A. 推理形式错误B. 小前提错误C. 大前提错误D. 结论错误【答案】C【解析】【分析】利用几何知识可知矩形的对角

4、线不是垂直的，所以是大前提出现了错误.【详解】矩形的对角线不是垂直的, 正方形的对角线是垂直的，正方形是矩形，所以可知大前提出现了错误.【点睛】本题主要考查逻辑推理的结构，分清三段论推理中的大前提，小前提，结论是求解关键.5.当时，复数表示的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】试题分析：因为，所以所以该复数对应的点位于第四象限.考点：本小题主要考查复数与复平面上的点的对应关系.点评：复数与复平面上的点是一一对应的，其中需要注意的是0在实轴上，而不在虚轴上.6.观察下列各式：，则的末四位数字为（ ）A. 3125B. 5625C. 0625D. 8

5、125【答案】D【解析】【分析】先求，寻找周期性规律，结合周期可求.【详解】可以看出后四位呈周期出现，且周期为4，所以的末四位数字为8125，故选D.【点睛】本题主要考查归纳推理，一般是利用所给项的特点推测目标项的特点,注意规律的总结.7.在直角坐标系中，点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系（），则点的极坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据极坐标与直角坐标的转化公式求解.【详解】因为，所以；因为且在第三象限，所以，故选C.【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的转化，熟记转化公式是求解关键，一般直角坐标化为极坐标利用公式可得，利用公式及点的位置可得；极坐

6、标化为直角坐标时一般利用来实现.8.有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：1、2、6号选手中的一位获得第一名；观众乙猜测：4、5、6号选手都不可能获得第一名；观众丙猜测：4号或5号选手得第一名；观众丁猜测：3号选手不可能得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙、丁猜对比赛结果，逐一判断得到答案.【详解】假设甲猜对比赛：则观众丁猜测也正确，矛盾假设乙猜对比赛：3号得第一名，正确假设丙猜对比赛：则观众丁猜测也正确，矛盾假设丁猜对比赛：则观众甲和丙中有一人正确，矛盾故答案选B【点睛

7、】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.9.下列推理不属于合情推理的是（ ）A. 由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电；B. 半径为的圆面积，则单位圆面积为；C. 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质；D. 猜想数列2，4，8，的通项公式为，.【答案】B【解析】【分析】利用合情推理的定义逐一判断每一个选项的真假得解.【详解】对于选项A, 由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电.是归纳推理，所以属于合情推理，所以该选项是合情推理；对于选项B, 半径为的圆面积，则单位圆面积为.属于演绎推理，不是合情推理；对于选项C, 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的

8、性质,属于类比推理，所以是合情推理；对于选项D, 猜想数列2，4，8，的通项公式为. ,是归纳推理，所以是合情推理.故选：B【点睛】本题主要考查合情推理和演绎推理的概念和分类，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则（ ）A. B. 3C. 6D. 【答案】A【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的

9、式子，令，则两边平方得，得，即，解得舍去，故选A.11.“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】构造函数利用单调性判断.【详解】设，所以为增函数，由于，所以，所以；反之成立，则有，所以.所以是充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查充要条件的判定，明确两者之间的推出关系是判定的关键.12.已知在正三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体中，若三角形的重心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则等于（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分

10、析】利用类比推理把平面几何的结论推广到空间中.【详解】因为到四面体各面的距离都相等，所以为四面体内切球的球心，设四面体的内切球半径为，则，其中表示四面体的体积，表示一个面的面积；所以,即，所以.故选B.【点睛】本题主要考查类比推理，平面性质类比到空间时注意度量关系的变化.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知是虚数单位，且，则_【答案】【解析】由题意可得： .14.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，将极坐标方程化为直角坐标方程是_【答案】【解析】【分析】利用极坐标化为直角坐标的转化公式求解.【详解】因为，所以由于，所以可得.【点睛】本题主要考查极坐标与直角

11、坐标的转化，熟记转化公式是求解关键，一般直角坐标化为极坐标利用公式可得，利用公式及点的位置可得；极坐标化为直角坐标时一般利用来实现.15.某单位为了了解用电量（度）与气温（）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.由下表中数据得回归直线方程中，据此预测当气温为时，用电量的度数约为_气温（）141286用电量（度）22263438【答案】40【解析】【分析】先求解，代入方程求得，然后可得气温为时用电量的度数.【详解】所以，所以当时，.【点睛】本题主要考查回归直线方程的求解，回归直线一定经过点，根据条件求出，结合所给条件可以确定回归直线方程，然后根据所给值，可以求出预测值.16.形如的函数

12、，其图像对称中心为，记函数的导函数为，的导函数为，则有.若函数，则_【答案】-4039【解析】【分析】先确定的对称中心，结合对称性求解.【详解】,令得，由于；所以函数的图象的对称中心为即有所以.【点睛】本题主要考查导数应用，根据所给情景，理解函数对称中心的求解方法，求出对称中心，结合对称性得出等式，根据目标式的特点进行分组求解.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.复平面内表示复数的点为.（1）当实数取何值时，复数表示纯虚数，并写出的虚部；（2）当点位于二、四象限时，求实数的取

13、值范围；（3）当点位于直线上时，求实数的值.【答案】（1）时，复数是纯虚数，虚部为（2）（3）或【解析】【分析】（1）根据纯虚数定义求解，然后可求虚部；（2）根据点位于二、四象限，列出限制条件，得到的取值范围；（3）根据点位于直线上，可得，从而可求.【详解】（1）当且，即时，复数是纯虚数，虚部为-4；（2）或解得;所以当时，点位于二、四象限；（3）当 即或时，位于直线上.【点睛】本题主要考查复数的相关概念.复数为纯虚数的充要条件是且；复数在复平面内对应点的位置可以有的符号来确定；复数在复平面内对应点在某条直线时，则点适合直线的方程.18.甲乙两班级进行数学测试，每班45人，统计学生成绩，乙班优

14、秀率为，甲班优秀人数比乙班多三人.（1）根据所给数据完成下列列联表；优秀不优秀总计甲班乙班总计（2）能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为成绩与班级有关系？参考公式：，其中；临界值表供参考：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）见解析（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认为“成绩与班级有关系”，详见解析【解析】【分析】（1）先根据乙班优秀率求出乙班优秀人数，进而可得甲班优秀人数，从而可得列联表；（2）先根据数据求出卡方，结合临界值可得结论.【详解】（1）根

15、据所给数据完成下列列联表； 优 秀 不 优 秀 总 计 甲 班123345 乙 班93645 总 计216990（2）假设“成绩与班级无关”，据列联表计算，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认为“成绩与班级有关系”【点睛】本题主要考查独立性检验及列联表的完善，独立性检验结论的获得主要依赖卡方公式计算的结果.19.在复平面内，向量所对的复数，向量所对的复数，点所对应的复数，点与点关于虚轴对称.（1）求点、的坐标；（2）判断、四点是否共圆，并证明你的结论.【答案】（1），（2），四点共圆，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据可得的坐标，根据可得的坐标，点与点关于虚轴对称可求的坐标；（2）

16、求解它们的模长可知模长相等，从而可得四点共圆.【详解】（1）因为向量所对的复数，所以；因为向量所对的复数，所以,所以；因为点所对应的复数，所以；由于点与点关于虚轴对称，所以.（2），四点共圆 设，点所对的复数分别为， ， 所以，都在以原点为圆心，为半径的圆上.【点睛】本题主要考查复数的几何意义，明确复平面内点与复数之间的对应关系是求解的关键.20.已知正三角形的边长是，若是内任意一点，那么到三角形三边的距离之和是定值.这是平面几何中一个命题，其证明常采用“面积法”.如图，设到三边的距离分别是、，则,为正三角形的高，即.运用类比法猜想，对于空间正四面体，存在什么类似结论，并用“体积法”证明.【答

17、案】正四面体中任意一点到四个面的距离之和为定值，证明见解析【解析】【分析】利用等体积法求解，把正四面体分割成四个小三棱锥，根据体积相等建立等量关系.【详解】设正四面体的边长为，则正四面体中任意一点到四个面的距离之和为定值，（即正面体的高.）证明：设为正四面体内任意一点，到四个面的距离分别为，正四面体高为，各面面积为，则有， 所以，正四面体的边长为，所以高， 即到各面的距离之和为定值.【点睛】本题主要考查类比推理，把平面几何结论类比到空间，要抓住类比的核心要点.21.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份20202020202020202

18、020年份代号12345储蓄存款（千亿元）578911参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为：，.（1）由散点图看出：可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（精确到0.01）（2）建立与的回归方程；（3）如果，则认为所得到回归方程是可靠的，现知2020年、2020年该地区城乡居民人民币储蓄存款分别为15千亿元、17千亿元，选取这两组数据检验，试问（2）中所得的回归方程是否可靠？【答案】（1）见解析（2）（3）所得到的线性回归方程是可靠的，详见解析【解析】【分析】（1）根据相关系数公式及所给数据求出相关系数，然后进行说明；（2）根据公式分别求得可得方程；（3）先根据回归方程求出2020年、2020年预测值，然后进行验证.【详解】（1）由所给数据求得， ，所以，因为与的相关系数近似为0.99，说明与的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系