yz第二章_开放式光腔和高斯光束 (3).ppt

1、第一章回顾,r1,r2,medium,energy source,激光特性 : 1、方向性/空间相干性 2、单色性/时间相干性 3、高亮度（提高功率）,激光器的主要组成部分 : 1、激光工作物质 2、激光谐振腔 3、激励能源,强相干光；极高的光子简并度,1、激光工作物质,引入辐射（吸收）几率描述光与物质的三种相互作用,自发辐射几率 A21 受激吸收几率 W12 受激辐射几率 W21,黑体处于温度T的热平衡状态，满足下列关系：,单位体积单位频率间隔内的光波模式数,黑体辐射分配到每个模式上的平均能量,n2SPESTE 输入光将被吸收,实现 n2n1 粒子数反转分布 受激辐射占主导,实现光受激放大？

2、,3,2、激光谐振腔,光子简并度：处于同一光子态的光子数 分配到每个模式上的光子数,（衡量相干光的参量）,轴向模,F-P 光谐振腔,4,3、激励,增益系数,增益饱和,激光振荡的阈值条件,r1,r2,I0,I1,5,第二章 开放式光腔和高斯光束,开放式光腔,光波模式的选择谐振腔选模模式间损耗的差异,稳定腔共焦腔模式理论 （损耗小，模体积小）,非稳腔（高损，大功率激光器）,方形镜共焦腔,圆形镜共焦腔,一般稳定球面腔 与共焦腔的等价性,产生激光光束的传输问题 高斯光束,6,一.光学谐振腔的构成和分类,平行平面腔：最早的光腔法布里珀罗干涉仪，F-P腔。 共轴球面腔：两块具有公共轴线球面镜构成的谐振腔。

3、 开放式谐振腔：上述两种腔，侧面近似没有光学边界，称为开放式谐振腔或者开腔。,闭腔 光学谐振腔 开腔 波导腔,稳定腔 非稳腔 临界腔,2.1光腔理论的一般问题,2.1光腔理论的一般问题,（根据几何损耗）,7,2.1光腔理论的一般问题,波导激光谐振腔：具有侧面边界（图a c） 半导体激光器 折叠腔，环形腔：由两个以上反射镜构成的腔：,n2 n1， n2 n3,复合腔：开腔内插入透镜一类光学元件 分布反馈式谐振腔：(Distributed Feedback, DFB),8,二.模的概念腔与模的一般联系,2.1光腔理论的一般问题,腔的模式：光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态 谐振腔所约束的一定空间

4、内存在的电磁场，只能存在于一系列分立的本征态,麦克斯韦方程组 腔的边界条件,分立的 振荡频率 和 空间分布,腔内电磁场的本征态 因此：腔的具体结构 腔内可能存在的模式（电磁场本征态）,模的基本特征主要包括： 1、电磁场空间分布 E(x,y,z)，包括腔的横截面内的场 分布（横模）和纵向场分布（纵模）； 2、谐振频率； 3、在腔内往返一次经受的相对功率损耗 ； 4、每一个模的激光束发散角 。 腔的参数 唯一确定 模的基本特征。 腔的模式 也就是腔内可能区分的 光子状态。,开腔 傍轴 传播模式的纵模特征 傍轴光线 (paraxial ray) ：光传播方向与腔轴线夹角非常小，此时可认为sin ta

5、n ,下面以F-P腔为例，讨论模的基本特征,开腔 傍轴 传播模式的纵模频率间隔(F-P腔，平面波),:光波在腔内往返一次的相位滞后 :光波在腔内往返一次的电场幅度变化率（=12）,E0,E1=E0e-j,E2=E1e-j,E4,E3=E2e-j,ET=E0+E1+E2+E3+E4+,ET,当|1的情况下（往返传播次数无限多），当 = q2时，ET幅度可以达到,腔内纵模需要满足的谐振条件 相长干涉条件：腔中某一点出发的波，经往返一周回到原来位置时，应与初始出发的波同相位。,0真空中的波长；L腔的光学长度,为腔内介质折射率,光腔的驻波条件,谐振频率,纵模间隔,多纵模情况下，不同的纵模对应腔内不同的

6、驻波场分布 纵模序数q 对应驻波场波节个数,在F-P腔中均匀平面波 纵模 场分布的特点 场沿腔的轴线方向形成驻波，驻波的波节数为q，波长为q。,纵模间隔与序数q无关，在频率尺度上等距排列； “频率梳” 纵模间隔大小与腔长成反比。,13,结论： 1.一定的谐振腔只对频率满足条件的光波才能提供正反馈，使之谐振，上述两式即F-P腔中沿轴向传播的平面波的谐振条件。 2.满足该式的 称为腔的谐振波长，而满足该式的 称为腔的谐振频率。 3.该式表明：F-P腔中的谐振频率是分立的。,2.1光腔理论的一般问题,将F-P腔中满足 的平面驻波场称为腔的本征模式。,14,本征模式的特点是：在腔的横截面内场分布是均匀

7、的，而沿腔的轴线方向(纵向)形成驻波，驻波的波节数由q决定。通常将由整数q所表征的腔内纵向场分布称为腔的纵模。不同的q值相应于不同的纵摸。 在这里所讨论的简化模型中，纵摸q单值地决定模的谐振频率。,2.1光腔理论的一般问题,15,例：对L10cm的气体激光器(设=1)， v q1.510 9Hz 对L100cm的气体激光器, vq1.510 8Hz 对L10cm、=1.76的红宝石激光器 vq8.510 8Hz,2.1光腔理论的一般问题,三、光腔的损耗 几何偏折损耗； 衍射损耗； 腔镜反射不完全引入损耗； 材料吸收、散射，腔内插入物所引起的损耗等。,选择损耗 （有选模作用）,非选择损耗 （无选

8、模作用）,腔内损耗的描述 平均单程损耗因子 定义：无源腔内，初始光强I0往返一次后光腔衰减为I1，则,损耗因子也可以用 来近似描述: 当损耗很小时，两种定义方式是一致的,对于由多种因素引起的损耗，总的损耗因子可由各损耗因子相加得到,损耗举例,反射镜反射不完全损耗：,衍射损耗（考虑均匀平面波夫琅和费（Fraunhofer）衍射）：,r1,r2,I0,I1,2a,L,第一衍射极小值：,FP腔,N 腔的菲涅耳数，表征衍射损耗大小，N，衍射损耗,19,1.光子在腔中的寿命,初始光经时间t在光腔中往返次数m后：,称为腔的时间常数。,2.1光腔理论的一般问题,腔的时间常数 的物理意义是：经过 后，腔内光强

9、衰减为初始值的1e。可以看出愈大 愈小，说明腔的损耗愈大，腔内光强衰减得愈快。因此又 称为“光子在腔内的平均寿命”。,20,设t时刻腔内光子数密度为N，N与光强 的关系为,上式表明, 由于损耗的存在,腔内光子数密度将随时间依指数规律衰减。,2.1光腔理论的一般问题,21,微分得，在t t +dt时间内减少的光子数密度为,这(-dN)个光子的寿命均为t,即在0t这段时间内它们存在于腔内,而再经过无限小的时间dt后，它们就不在腔内了，由此可以计算所有N0个光子的平均寿命为：,这就证明了腔内光子的平均寿命为R，腔的损耗愈小，R就愈大，腔内光子的平均寿命就愈长。,2.1光腔理论的一般问题,22,2.无

10、源谐振腔的Q值,谐振腔Q值的普遍定义为： 储存在腔内的总能量；P单位时间内损耗的能量， v 腔内电感场的振荡频率；W=2v场的角频率。,如果以V表示腔内振荡光束的体积，当光子在腔内均匀分布时腔内总储能为：,单位时间中光能的减少(即能量损耗率)为,这就是光频谐振腔Q值的一般表示式，可以看出，腔的损耗愈小，Q值越高。,2.1光腔理论的一般问题,23,2.2 共轴球面腔的稳定性条件,本节介绍利用光线矩阵，对开腔加以科学的分类这一方法。,2.2 共轴球面腔的稳定性条件,一.腔内光线往返传播的矩阵表示,如图2.2.1谐振腔由曲率半径为RI和R2的两个球面镜M1和M2构成，腔长为L，两镜面曲率中心连线构成

11、系统光轴。,图中: r: 光线离轴线的距离； :光线与轴线的夹角，规定光线出射方向, 在腔轴线的上方时，为正，反之为负。,24,光线传输路径：,由几何关系：,该方程表示为矩阵的形式：,即我们以一个列矩阵 描述任一光线的坐标,而用一个二阶方阵 描述光线在自由空间中行进距离L时所引起的坐标变换:,2.2 共轴球面腔的稳定性条件,傍轴光线、 自由空间的光线矩阵,25,证明第二式,如图所示，在球面镜上发生反射时,入射面和反射面参数分别为 ,根据球面镜对傍轴光线的反射规律：,在傍轴近似下有:,得证,三角关系,则入射和反射光的关系可以用矩阵表示为：,这里,2.2 共轴球面腔的稳定性条件,傍轴光线、 球面镜

12、的反射矩阵,为球面镜对傍轴光线的变换矩阵，称为球面镜的反射矩阵，f=R/2为球面镜对傍轴光线的焦距。,26,如图，光线在M2反射时，,接着光从M2行进到M1时,又在M1反射时，,2.2 共轴球面腔的稳定性条件,傍轴光线、 共轴球面腔中的往返矩阵,其中,为傍轴光线在腔内往返一次的总变换矩阵，称为往返矩阵,27,上式中,那么光线在腔内经n次往返时，其参数的变换关系以矩阵形式表示为:,由 可求出；,2.2 共轴球面腔的稳定性条件,计算得：,28,L,如图示意：,往返周期单位,等效无限长透镜序列,注意：球面镜对傍轴光线的反射变换与焦距f=R/2的薄透镜的透射变换等效,但前一种情况引起光线传播方向的折转

13、。,29,L,往返周期单位,即为球面镜腔中往返一周的光线矩阵参数,30,rmax,S,S-1,S-2,S-3,S-4,S+1,S+2,S+3,稳定,不稳定,往返周期单位,球面镜腔稳定性的讨论：,31,要使傍轴光线不横向逸出腔外，即 为有限值，则 对任意n应有限。,二.共轴球面腔的稳定性条件,称为共轴球面腔的稳定性条件。注意凹面镜R的取正，凸面镜取负。,要满足上述需要，则 应为实数。,令两个括号中部分分别定义为g1、g2,2.2 共轴球面腔的稳定性条件,32,2. 当 时为复数 (不可能为实数),这时sin(n -1）、sinn等均将随n的增大而按指数规律增大,那么rn、n也将随n的增大而指数地

14、增大，也即傍轴光线在腔内经历有限次往返后必将横向逸出腔外。,讨论： 1.当式 满足时, 为实数,从而An、Bn、Cn、Dn均有限,并随着n的增大而发生周期性变化。按rn、n也将随n的增大而发生周期性变化,但无论n多大, rn、n均保持有限,这就保证傍轴光线能在腔内往返无限多次而不从侧面逸出(只要镜的横向尺寸足够大)。,3. 共轴球面腔的往返矩阵 T、n次往返矩阵Tn 均与光线的初始坐标无关, 可以描述任意傍轴光线在腔内往返传播的行为。但随着光线在腔内的初始出发位置及往返一次的行进次序的不同，矩阵T各元素的具体表示式也将各不相同。但 (A+D)/2对于一定几何结构的球面腔是一个不变量。,2.2

15、共轴球面腔的稳定性条件,33,非稳腔,临界腔,稳定腔,简单共轴球面腔普遍适用,2.2 共轴球面腔的稳定性条件,腔分类定义：,34,下面列举几种有代表性的临界腔。,1)对称共焦腔 满足条件R1=R2=L的谐振腔称为对称共焦腔,这时腔的中心即为两个镜面的公共焦点, 对称共焦腔满足g1=0,g2=0,gIg2=0 因而是一种临界腔。 (2)平行平面腔 此时有Rl=R2=,gl=g2=1,从而满足 (3)共心腔 满足条件R1+R2=L的谐振腔称为共心腔,这时腔的两个镜面的曲率中心互相重合，其g1g2=1。,2.2 共轴球面腔的稳定性条件,35,本节几个重要问题：,1. 表示光线的参数 r 光线离光轴的

16、距离 光线与光轴的夹角 傍轴光线 dr/dz = tan sin,r,正,负号规定:, 0, 0, 0,自由空间区的光线矩阵,z,空气与介质(折射率为2)的界面,薄透镜传输矩阵,球面镜反射矩阵,36,总结： 1、反射镜R符号规定： 凹面向着腔内， R0，相当于凸薄透镜 f0； 凸面向着腔内时，R0，相当于凹薄透镜 f0。 2、对于同样的光线传播次序，往返矩阵T、Tn与初始向量（r0,0）无关（做题时可不画出光线）； 3、当光纤传播次序不同时，往返矩阵不同，但(A+D)/2相同。,例：环形腔中的像散-对于“傍轴”光线 对于平行于x,z平面传输的光线（子午光线），其焦距： 对于平行于“光轴”k和y

17、确定的平面传输的光线（弧矢光线），其焦距,37,透镜的像散,子午面和弧矢面上的往返矩阵同时满足稳定条件，则该环形腔为稳定腔 例：聚光镜设计,38,2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析,问题1.在一个没有侧面边界的区域中,是否存在着电磁场的本征态,即不随时间变化的稳态场分布?即开腔模的存在性问题。 问题2.应该如何求出这些场分布? 激光的输出直接与镜面上的场相联系。由于镜面上的场可看成是光在两个镜面间往返传播的结果，求解镜面上的稳态场分布的问题就归结为解一个积分方程，积分方程可以给出空间某一点上的场，与处在有限距离上的另一个表面上的场的关联。,2.3 开腔模式的物理概念和衍射理论分析,39,一

18、、理想开腔模型,理想开腔模型：两块反射镜片（平面或曲面）沉浸在均匀、无限、各向同性的介质中。 不考虑几何偏折损耗情况下（光线平行于光轴），由于反射镜的有限大小导致的衍射损耗将决定开腔中激光震荡能量的空间分布。,在反射镜边缘处由于衍射发生损耗，进而改变us+1的分布 当经过足够多次渡越，形成这样一种场分布，渡越时分布情况不再受衍射影响，只有整体按同样比例衰减。,开腔的自再现模 或 横模,40,概念： 1.开腔镜面上，经一次往返能再现的稳态场分布称为开腔的自再现模或横模。 2.自再现模一次往返所经受的能量损耗称为模的往返损耗。在理想开腔中,等于前面所指出的衍射损耗。 3.自再现模经一次往返所发生的

19、相移称为往返相移。 该相移等于2的整数倍,这就是模的谐振条件,研究表明：开腔的自再现模确实存在。一方面,可用数值的和解析的方法求出了各种开腔的横模；另外,又从实验上观测到了激光的各种稳定的强度花样,而且理论分析与实验观测的结果符合得很好。,2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析,41,1、初始入射波的形状不影响自再现模的形成； 2、不同初始入射波可能导致不同自再现模-横模的形成。,孔阑处可放置透镜或衰减片,二、孔阑传输线,42,讨论： 1.并非任何形态的电磁场都能在开腔中长期存在，只有那些不受衍射影响的场分布才能最终稳定下来； 2.模的形成是多次衍射的结果, 其他形状初始入射波也能形成自再现模

20、，只是得到的最终稳态场分布有所不相同,这就预示了开腔模式的多样性； 3.实际的物理过程是：开腔中的任何振荡都是从自发辐射开始的，服从统计规律, 可提供不同的初始分布，衍射将其中能够存在的自再现模筛选出来; 4. ,在无源开腔中,自再现模的形成过程和场的空间相干性的增强过程, 伴随着初始人射波能量的衰减。在激活腔中,情况就不同了。,2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析,43,三、菲涅耳基尔霍夫衍射积分,2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析,S曲面上光场分布函数,各子波源发出的球面波,倾斜因子,右图,(2.3.3),左图,44,以对称开腔为例。,代入衍射表达式，得出：,即为模式再现概念的数学表

21、达式,2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析,四、自再现模所应满足的积分方程式,为与坐标无关的复常数，表示自再现模 在渡越一次时的幅度衰减和相位滞后。,求解上面方程得自再现模 的方程：,45,称为积分方程的核,一般地说, 应为复函数,它的模 描述镜面上场的振幅分布,而其辐角 描述镜面上场的相位分布。,2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析,46,光学开腔的腔长L通常远大于反射镜的线度,即,反射镜为曲面镜的情况下,其曲率半径R也往往满足,不能用L替换，为什么？,至此我们将寻求开腔模的问题,归结为求解积分方程或简化了的积分方程组这样一个数学问题。,2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析,47,五、

22、复常数 的意义,可表示为：,则,可见,e-量度每经单程渡越时自再现模的振幅衰减,愈大,衰减愈甚,0时,自再现模在腔内能无损耗地传播。表示每经一次渡越模的相位滞后。,自再现模在腔内经单程渡越所经受的相对功率损失称为模的单程损耗,通常以d表示,它代表的是总损耗。,2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析,48,自再现模在腔内经单程渡越的总相移定义为:,在腔内存在激活物质的情况下,为了使自再现模在往返传播过程中能形成稳定振荡,还必须满足多光束相长干涉条件:在腔内一次往返的总相移等于2的整数倍, 这就是开腔自再现模的谐振条件。,结论：复常数的模量度自再现模的单程损耗,它的辐角量度自再现模的单程相移,从而

23、也决定模的谐振频率。,2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析,49,六、自再现模方程的求解分离变量法,如图所示为一对称矩形平面镜腔，镜的边长为2ax2b，腔长L，且 ,则,2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析,50,代入表达式 得,2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析,当满足条件,51,分离变量得出：,2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析,52,满足上述方程的解可能有多个，假设xy方向的第m、n个解可表示为：,整个镜上的自再现场分布函数为：,相应的复常数为：,本征值与本征函数决定着开腔自再现模的全部特征,包括场分布(镜面上场的振幅和相位分布)及传输特性(如模的衰减、相移、谐振频率等)。,

24、2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析,本征函数,本征值,适用任何对称光学开腔（平行平面，共焦，一般球面镜腔）,53,球面镜腔求解举例。,反射镜的曲率半径为R1和R2 腔长L。,由几何关系,2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析,54,称为球面镜腔的几何参数。,1. 在对称开腔情况下， 代入上式，即可求得对称球面腔的 值, 即得出一般对称球面腔自再现模所满足的积分方程的具体形式。 2. 对所谓对称共焦腔, ，表达式可以进一步简化为： 当反射镜是2ax2a的方形镜时，则,2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析,55,2.4 平行平面腔模的迭代解法,2.4 平行平面腔模的迭代解法,第一台激光器梅曼

25、(T.H.Maiman)的红宝石激光器 就是用平行平面腔做成的。 平行平面腔的主要优点是,光束方向性极好(发散角 小)、模体积较大、比较容易获得单横模振荡等。 平行平面腔主要缺点是调整精度要求极高,此外,与稳 定腔比较,损耗也较大,因而对小增益器件不大适用。,56,1. 关于迭代法,所谓迭代法,就是利用迭代公式，直接进行数值计算。,首先,假设在某一镜面上存在一个初始场分布u1,将它代人上式,计算在腔内经第一次渡越而在第二个镜面上生成的场u2,然后再用所得到的u2代人上式,计算在腔内经第二次渡越后而在第一j镜上生成的场U3反复运算并注意经过足够多次以后,在腔面上能否形成一种稳态场分布。,2.4

26、平行平面腔模的迭代解法,57,如果j足够大时，场分布出现,如果直接数值计算得出了这种稳定的场分布，则可认为找到了腔的一个自再现模或横模。,迭代法的重要意义在于, 用逐次近似计算直接求出了 一系列自再现模, 第一次证明了开腔模式的存在性； 其次,迭代法数学运算过程，与波在腔中往返传播形成 自再现模这一物理过程相应,而且运算结果使我们具体 地、形象地认识了模的各种特征； 第三,迭代法虽然比较繁础却具有普遍的适用性,它原 则上可以用来计算任何几何形状附中的自再现模,而且 还可以计算诸如平行平面腔中腔镜的倾斜、镜面的不 平整性等对模的扰动。,2.4 平行平面腔模的迭代解法,58,2.对称条状腔中自再现

27、模的迭代算法,考察镜的宽度为2a，腔长为L的对称条状腔，按公式该条状腔的模式迭代方程应为：,这里选择第一镜面的初始入射波为单位平面波，镜面为等相位面，且初始相位为0,即 ，代入上式求出,得,同样的方法求出 ,2.4 平行平面腔模的迭代解法,59,的条状腔用迭代法求出的第一次及第300次渡越后得到振幅和相位分布如图所示。,在经过300次渡越以后,归一化的振幅曲线和相位曲线实际上已不再发生变化,这样我们就得到了一个自再现模。 这种稳态场分布的特点是:在镜面中心处振幅最大,从中心到边缘振幅逐渐降落,整个镜面上的场分布具有偶对称性，具有这种特征的横模称为腔的最低阶偶对称模或基模。,2.4 平行平面腔模

28、的迭代解法,60,2.5 方形镜共焦腔的自再现模,2.5 方形镜共焦腔的自再现模,对称共焦腔：满足条件R1=R2=L的谐振腔,这时腔的中心即为两个镜面的公共焦点。,一、自再现模所满足的积分方程式及其精确解,前提条件：,61,2.5 方形镜共焦腔的自再现模,方形共焦腔自再现模满足的积分方程为（2.3.28）：,下面按博伊德和戈登的方法进行变数代换,博伊德和戈登已解此方程，c为有限值的情况下解为：,62,2.5 方形镜共焦腔的自再现模,称为角向长椭球函数。,称为径向长椭球函数。,可以看出,对任一给定的C值,当m ,n取一系列不连续的整数时,即得出一系列本征函数,它们描述共焦腔镜面上场的振幅和相位分

29、布,同时得出一系列相应的本征值,它们决定模的相移和损耗。我们以符号TEMmn表示共焦腔自再现模。,63,2.5 方形镜共焦腔的自再现模,二、镜面上场的振幅和相位分布（共焦腔）,1.厄米特高斯近似,共焦腔镜面中心或者 时的整个镜面上场分布函数可近似为：,2.基模(TEM00模),基模在镜面上分布为高斯型,64,2.5 方形镜共焦腔的自再现模,定义1：镜面上的光斑半径,y,在离中心的距离为 处场的振幅降为中心处的 。,65,2.5 方形镜共焦腔的自再现模,例：一台使用共焦腔的二氧化碳激光器,若L=1m, =10.6um,则wos1.84mm; 若氦氖激光器（=0.6328um）采用L=30cm的共

30、焦腔，则镜面上的光斑尺为wos=0.25mm。,结论： 共焦腔的光斑半径通常是很小的,远比实际上使用的反射镜的横向尺寸小得多，因此,共焦腔模的场主要集中在镜面中心附近。,定义2：基模半功率点处的光斑半径，光强降到中心光强1/2处的半径 w0s ：,66,67,67,厄米多项式的零点决定场的节线,3、高阶横模（m,n 不同时为 0）,68,高阶横模的光斑尺寸,(2.5.27),(2.5.28),定义：光场分布坐标均方差值的四倍 为 光斑半径的平方,厄米多项式的零点决定场振幅的节线,69,三、单程损耗(mn),本征值 决定模的相移和损耗,径向长椭球函数,m、n与腔的菲涅尔数(N) 腔的单程损耗,4

31、、镜面上光场的相位分布,的辐角决定镜面上场的相位分布,长椭球函数为实函数，表明镜面上各点场的相位值相等 等相位面与共焦腔镜面重合,70,70,同种腔 N D m, n D 选横模的物理基础,不同腔 共焦腔衍射损耗 平行平面镜腔衍射损耗,共焦腔 TEM00 近似公式 00=10.9104.94N,方形镜共焦腔的单程功率损耗 见教材56页,71,四. 单程相移和谐振频率,单程相移,谐振条件, 谐振频率, 同一横模的相邻纵模的频率间隔, 同一纵模的相邻横模的频率间隔,附加相位超前量,72,共焦腔的振荡频谱, 模简并 有相同频率的不同模式， 模简并是共焦腔的一个特点 频率简并的不同横模，其单程损耗并不

32、相同,同一频率可以有多种模式可以存在：,73,w0 基模高斯光束腰斑半径 w(z) 基模高斯光束z处光斑半径 w0=w(0),方形镜共焦腔的行波场 厄米高斯光束,菲涅耳-基尔霍夫衍射积分,镜面上的场,腔内、外任一点的场,在一定近似情况下镜上：,2.6 方形镜共焦腔的行波场,74,对称共焦腔基模体积,高阶模体积模阶次 ，模体积,模体积有贡献的激发态粒子数输出功率,例：（二氧化碳激光器） =10.6m, L=1m, 2a=20mm =5.3cm3 V=314cm3 / V = 5.3 / 314 = 1.7% 难以获得高功率,75,等相位面(波面),等相位面在腔轴附近，与m, n 模序数无关,无穷

33、远处，等相位面为平面,共焦腔中心，波面为垂直腔轴的平面,等相位面与共焦腔镜面重合,此时等相位面半径最小,76,基模远场发散角q(共焦腔基模光束)光束方向性,定义：基模远场发散角,实例: He - Ne : L=30cm l=632.8nm 2.3 毫弧度 CO2 : L=100cm l= 10.6mm 5.2 毫弧度,77,补充：等相位面公式的推导过程,其中,对于一个等相位面应有,L为共焦腔腔长=2f,相位的坐标原点,78,k=2/为很大数 近轴情况，z0 z,抛物面方程,= f+z,= f+z0,近轴球面波等相位面,当z0时：,比较,抛物面方程 近轴处近似为球面,79,79,近轴球面波,近轴

34、高斯光波,结论：高斯光波在腔轴附近可近似为球面波， 球面半径,当z0时，同样处理可得：,80,2.7 圆形共焦腔,2.7 圆形共焦腔,一、拉盖儿高斯近似,圆形镜共焦腔模式积分方程的精确解析解超椭球函数。本节介绍腔的孔径足够大时模的解析近似表达式。,当腔的菲涅耳数N很大时，圆形共焦腔的自再现模有拉盖儿高斯函数所描述：,镜面上的极坐标,归一化常数,为共焦腔长,81,代入圆形共焦腔自再现模方程，得出,2.7 圆形共焦腔,82,2.7 圆形共焦腔,与 相应的本征值为：,只要腔的菲涅耳数N不太小,表达式近似程度就会是令人满意的,通常取N时圆形镜共焦腔模式本征值的解，作为N值为有限时模的解析近似表达式,并

35、称为拉盖尔-高斯近似。,83,2.7 圆形共焦腔,下面就来分析拉盖尔.高斯近似下的共焦腔模的特征。,1.模的振幅和相位分布,基模V00在镜面上的振幅分布是高斯型的,整个镜面上没有场的节线,在镜面中心(r =0)处,振幅最大,定义在基模振幅1/e处的光斑半径为：,84,可见,相对于几何相移kL而言,在圆形镜共焦腔中出现了一个附加的相位超前：,2.7 圆形共焦腔,2.单程相移和谐振频率,自再现模在腔内一次渡越总相移为：,联立,得,则由,上式表明，圆形镜共焦腔模在频率上是高度简并的。,85,2.7 圆形共焦腔,同一横模的相邻纵模频率间隔为：,q相同的两相邻横模所对应的频率间隔为：,3.单程衍射损耗,

36、这一结果是在N的情况下得到的。可见,当N为有限(但不太小)时,拉盖尔-高斯近似虽然能满意地描述场分布及相移等特征,但却不能用来分析模的损耗。 福克斯和厉鼎毅用迭代法对圆形镜对称共焦腔模进行了数值求解。与方形镜共焦腔模的损耗比较,当菲涅耳数相同时,它的损耗比方形镜腔类似横模的损耗要大几倍。,86,2.7 圆形共焦腔,87,二、圆形共焦腔的行波场,2.7 圆形共焦腔,在拉盖尔-高斯近似下,由一个镜面上的场所产生的圆形镜共焦腔的行波场为：,其中,对圆形镜共焦腔行波场特性：基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散角的分析，可按与方形镜同样的方法，两者的都完全相同。,88,2.7 圆形

37、共焦腔,讨论： 通过前面的讨论可以看出,当共焦腔自再现模能以厄米高斯或拉盖尔高斯函数近似描述时,我们很容易解析地表达出共焦腔振荡模的一系列重要特征,因此,这种形式的解析近似解是极有价值的； 然而,我们也必须注意,近似解是在N的条件下得到的,因此,只有当N足够大时,近似解的结果才能与实际情况符合较好； 一般地说,在N1的范围内,近似解能比较满意地描述共焦腔模的各种特征,特别是共焦腔基模的基本特征； 通过本章后面的分析可看出,要求N较大与要求镜面上的光斑半径较小(与镜的线度相比)是一致的。,89,2.8 一般稳定球面腔的模式特征,90,可以证明R1, R2, L满足,是稳定球面腔,考虑：,2.8

38、一般稳定球面腔的模式特征,1）证明：任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价。,共焦腔与稳定球面腔的等价性 ? 1.任何一个共焦腔可以与无穷多个稳定球面镜腔等价2.任何一个稳定球面镜腔只能有一个等价共焦腔：,91,91,2）证明：任意一个稳定球面腔只有一个等价的共焦腔：,关键问题：已知 R1 , R2 , L 如何求出等价共焦腔位置及 f 值,当,可得,推导中应注意对反射镜曲率的符号定义： 凹面镜 R0。,92,92,1、镜面上的光斑尺寸（基模）, 一般稳定球面镜腔的模式特征（已知 R1 , R2 , L）,将前面 的表达式带入得：,稳定腔,2、模体积（基模）,问题：对腔长为L的稳定腔，如何设计

39、使得基模体积最大？最小呢？,93,93,模体积（高阶模）（方形镜） 对方形镜稳定腔：,3、等相位面分布：,等相位面：,（2.8.4）,4、基模远场发散角：,认为,问题：对R1=R2=R，如何设计L使得发散角最小？,94,5、谐振频率：,方形镜单程相移,表达式代入,将,方形镜稳定球面腔谐振频率为：,95,6、衍射损耗：,稳定球面镜腔的有效菲涅尔数,共焦腔菲涅耳数,稳定球面腔与等价共焦腔的衍射损耗遵循相同规律,时，两个腔的单程损耗应该相等。,带入（2.8.6）和（2.8.7）,可以按共焦腔的Nmn关系，将有效菲涅耳数代入，分别求出对应的mn1和mn2,行波场相同,对称共焦腔各模式的损耗单值的由N决

40、定,96,2.9 高斯光束的基本性质及特征参数,2.9 高斯光束的基本性质及特征参数,沿z轴方向传播的基模高斯光束的场，都可以表示为如下一般形式：,一、基模高斯光束,思考；z=f时，光斑尺寸？对比共焦腔振荡模的情况,等相位面曲率半径,发散(+) 会聚(-),97,2.9 高斯光束的基本性质及特征参数,对于由一般稳定球面腔(R1、R2、L)所产生的高斯光束，参数0、f（称为高斯光束的典型参数）与R1、R2、L的关系为:,98,2.9 高斯光束的基本性质及特征参数,二、基模高斯光束在自由空间的传输规律,高斯光束性质讨论：,（1）基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从中心（在z0

41、）向外平滑地降落，振幅降落到中心值1/e的点的光斑半径为：,光斑半径随坐标z按双曲线的规律而扩展,在z=0处,以(z)=0,达到极小值。,99,2.9 高斯光束的基本性质及特征参数,（2）基模高斯光束的相位因子: 描述在点（x，y，z）的高斯高束相对于原点处的相位滞后,因子 表示与横向坐标（x,y）有关的相移，它表明高斯光束的等相位面是以R为半径的球面，R可表示为：,当z=0时,R(z),表明束腰所在处的等相位面为平面; 当z=时,|R(z)|z|,表明离束腰无限远处的等相 位面亦为平面,且曲率中心就在束腰处; 当z=士f时,|R(z)|=2f,且|R(z)|达到极小值; 当02f,表明等相位

42、面的曲率中心在- f,; 当zf时,zR(z)z+f,表明等相位面的曲率中心在-f,0上。,100,2.9 高斯光束的基本性质及特征参数,（3）定义在基模高斯光束强度的1/e2点的远场发散角为:,1、曲率不断变化的非均匀球面波； 2、横截面内振幅/强度分布为高斯分布； 3、等相位面始终保持为球面。,基模高斯光束特点总结:,101,2.9 高斯光束的基本性质及特征参数,三、基模高斯光束的特征参数,1.用参数0(或f)及束腰位置表征高斯光束,已知 w0 (或 f) w(z), R(z),等参数,2. 用w(z)及R(z)表征; 已知 w(z), R(z) w0 , z,发散(+) 会聚(-),10

43、2,3. 高斯光束的q参数,(2-9-1) 改写为,1/ q(z),定义q(z),(高斯光束的复曲率半径),q 参数物理意义：同时反映光斑尺寸及波面曲率半径随z的变化,103,q 参数表征高斯光束的优点: 将描述高斯光束的两个参数w(z)和R(z)统一在一个参数中, 便于研究高斯光束通过光学系统的传输规律 高斯光束三种描述方法的比较， q 参数优越性,光腰处（z0）,0,整理可得：,若已知高斯光束某一位置的q参数w(z), R(z)w0 , z,104,2.10 高斯光束q参数的变换规律,2.10 高斯光束q参数的变换规律,高斯光束通过自由空间及光学系统后的传输规律如何？将怎样来描述？本节用q

44、参数来讨论。,一、普通球面波的传播规律,1. 普通球面波传输规律,近轴情况下,结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由其曲率半径R来描述,它的传播规律)由傍轴光线变换矩阵T确定。,传输方程：,105,2.10 高斯光束q参数的变换规律,2.球面波在自由空间传播时,光线在自由空间行进L时，变换矩阵,如图,则,与图中实际情况吻合,3.球面波在透过焦距F的薄透镜时,由透镜对傍轴光线变换矩阵,也满足,106,2.10 高斯光束q参数的变换规律,二、高斯光束q参数变换规律ABCD公式,1.高斯光束与普通球面波参数及传输规律的对应,2.实例,!,0时，q(z) R(z)，波动光学几何光学,107,2.

45、10 高斯光束q参数的变换规律,三、用q参数分析高斯光束的传输问题,解：,108,2.10 高斯光束q参数的变换规律,109,2.10 高斯光束q参数的变换规律,110,2.10 高斯光束q参数的变换规律,经过透镜后的放大倍数,思考：1.在什么情况下，高斯光束与几何光学成像规律一致？ 2.当 ，观察高斯光束传输规律，对比几何光学成像规律。,111,2.11 高斯光束的聚焦和准直,2.11 高斯光束的聚焦和准直,一、高斯光束的聚焦，即,1. F一定时， 随 变化的情况,（1）当 时， 随 的减小而减小，当 时， 达到最小值,此时有一定的聚焦作用,并且像方腰斑的位置将处在前焦点以内。,若时，,像腰斑就处在透