北京市西城高三一模试卷(理数)

1、北京市西城区 2011 年高三一模试卷 数学（理科） 2011. 4 第卷第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 在每小题列出的四个选项中，选出在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项符合题目要求的一项. . 1.1. 已知集合AxZ Zx 5，B x x2 0，则AI B等于 （A）(2,5)（B）2, 5)（C）2,3,4（D）3,4,5 2 2下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是 （A）y 2 x （B）y x x 2 （C）y 2x（D）y x3 3 3.

2、设a log 2 3，b log 4 3，c 0.5，则 （A）c b a（B）b c a（C）b a c（D）c a b 4 4设向量a a (1,sin)，b b (3sin,1)，且a a/b b，则cos2等于 （A） 3 （B） 3 （C） 3 开始 （D） 3 5.5. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31， 则处应填的数字为 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 S 1,i 1 i 是 否 S S 2i 输出S i i1 结束 6.6.已知函数y sin x cosx，y 2 2sin xcos x，则下列结论正确的是 ,0)成中心对称 4 （B）两个函数的图象均关于直线x

3、成中心对称 4 （C）两个函数在区间( ,)上都是单调递增函数 4 4 （A）两个函数的图象均关于点( （D）两个函数的最小正周期相同 7 7已知曲线C : y 1 (x 0)及两点A 1(x1,0) 和A 2 (x 2 ,0)，其中x 2 x 1 0.过A 1， A 2 分 x 别作x轴的垂线，交曲线C于B 1， B 2 两点，直线B 1B2 与x轴交于点A 3 (x 3 ,0)，那么 （A）x 1, x 3,x 2 成等差数列 2 （B）x 1, x 3,x 2 成等比数列 2 （C）x 1,x3 ,x 2 成等差数列（D）x 1,x3 ,x 2 成等比数列 8 8如图，四面体OABC的三

4、条棱OA,OB,OC两两垂直，OA OB 2,OC 3，D为 四面体OABC外一点.给出下列命题. 不存在点D,使四面体ABCD有三个面是直角三角形 不存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥 存在点D,使CD与AB垂直并且相等 存在无数个点D,使点O在四面体ABCD的外接球面上 其中真命题的序号是 （A）（B）（C）（D） O A B C D 第卷第卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 9.9. 在复平面内，复数 2i 对应的点到原点的距离为_. 1i C O B P 10.10.如

5、图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已 知PA 2 2，PC 4，圆心O到BC的距离为 3，则 圆O的半径为_. 1111.已知椭圆C : A x cos, 1 (R R )经过点(m,)，则m _，离心率e _. 2 y 2sin 3 4 3 3 1212.一个棱锥的三视图如图所示， 则这个棱锥的体积为_. 正(主)视图 3 4 侧(左)视图 俯视图 1313.某展室有 9 个展台， 现有3件展品需要展出， 要求每件展品独自占用1个展台， 并且3件 展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有_种；如果进一步要 求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出

6、方法有_种. 14.14.已知数列an的各项均为正整数，对于n 1,2,3,，有 3a n 5, a n为奇数， a n1 a n,a n为偶数.其中k为使an1为奇数的正整数 2k 当a 1 11时，a 100 _； 若存在mN N，当n m且an为奇数时，an恒为常数p，则p的值为_. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. . 15.15.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 设ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB * 4 ,b

7、 2. 5 5 时，求角A的度数； 3 （）求ABC面积的最大值. （）当a 1616 （本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为 1 11 , p.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为 . 2 34 （）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （）求p的值； （）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望EX. 17.17.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 如图,ABCD是边长为3的正方形，DE 平面ABCD，AF /DE，DE 3AF， BE与平面ABC

8、D所成角为600. ()求证：AC 平面BDE； ()求二面角F BE D的余弦值； （） 设点M是线段BD上一个动点， 试确定点M的 位置，使得AM /平面BEF，并证明你的结论. 18.18. （本小题满分（本小题满分 1414 分）分） 已知函数f (x) A F E DC B a(x1) ，其中a 0. x2 （）求函数f (x)的单调区间； （）若直线x y 1 0是曲线y f (x)的切线，求实数a的值； （）设g(x) xln x x f (x)，求g(x)在区间1,e 上的最大值. （其中e为自然对数的底数） 19.19. （本小题满分（本小题满分 1414 分）分） 已知抛物

9、线y 2px(p 0)的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物 线于A,B两点，其中点A在第一象限. （）求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切； 2 2 uu u ruuu r uuu ruu u r 1 1 1 , ，求 2 的取值范围.（）若FA 1 AP,BF 2 FA, 2 4 2 20.20.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 定义(a1,a2, ,an) |a 1 a 2 |a 2 a 3 |L |a n1 a n |为有限项数列a n 的波 动强度. n （）当an (1)时，求(a 1,a2 ,L ,a 100 )； （）若数列a,b,c,d满足(ab)(bc

10、) 0，求证：(a,b,c,d) (a,c,b,d)； （）设an各项均不相等，且交换数列an中任何相邻两项的位置，都会使数列的 波动强度增加，求证：数列an一定是递增数列或递减数列. 北京市西城区 2011 年高三一模试卷 参考答案及评分标准 数学（理科） 2011.4 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. . 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 B 6 C 7 A 8 D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分分. . 9.9.

11、2 10.10.211.11. 315 ， 24 12.12. 12 13.13.60，4814.14.62；1或5 注：11 题，13 题，14 题第一问 2 分，第二问 3 分. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分分. .若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. . 15.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 解： （）因为cosB 43 ，所以sin B .2 分 55 5ab1 因为a ，b 2，由正弦定理可得sin A .4 分 3sin Asin B2 因为a b，所

12、以A是锐角， 所以A 30.6 分 o （）因为ABC的面积S 13 acsin B ac， 7 分 210 22 所以当ac最大时，ABC的面积最大. 因为b a c 2accosB，所以4 a c 因为a c 2ac，所以2ac 22 222 8 ac. 9 分 5 8 ac 4， 11 分 5 所以ac 10， （当a c 10时等号成立） 12 分 所以ABC面积的最大值为3.13 分 16.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分） 解：解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件A 1 , A 2 , A 3 ，依题意有 11 P(A 1) ,P(A 2 ) ,P(A 3 )

13、 p,且A 1 , A 2 , A 3 相互独立. 23 （）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为 122 1 P(A 1 A 2 )1 . D FC 3 分 233 y （）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B，则有 A 121 p B ，5 分P(B) P(A 1 A 2 A 3 )(1 p) x 233 1 p11 所以，p .7 分 344 （）X的所有可能取值为0,1,2,3.8 分 所以P(X 0) 1 ， 4 P(X 1)P(A 1 A 2 A 3 )P(A 1 A 2 A 3 )P(A 1 A 2 A 3 ) 111312111 ， 423423424 P(X 2) P(A

14、 1 A 2 A 3 )P(A 1 A 2 A 3 )P(A 1 A 2 A 3 ) 1131211111 ， 2342342344 1111 .11 分P(X 3)=P(A 1 A 2 A 3 ) 23424 X分布列为： 03X21 11111 P 424424 12 分 所以，E(X) 0 17.17.（本小题满分（本小题满分 1313 分）分） ()证明： 因为DE 平面ABCD， 所以DE AC.2 分 因为ABCD是正方形， 所以AC BD， 从而AC 平面BDE.4 分 ()解：因为DA, DC,DE两两垂直， 所以建立空间直角坐标系D xyz如图所示. F D M C y E

15、z 1111113 123 .13 分 42442412 A B x 0o 因为BE与平面ABCD所成角为60，即DBE 60，5 分 所以 ED 3. DB 由AD 3可知DE 3 6，AF 6. 6 分 则A(3,0,0)，F(3,0, 6)，E(0,0,36)，B(3,3,0)，C(0,3,0)， uuu ruuu r 所以BF (0,3, 6)，EF (3,0, 2 6)，7 分 uuu r n nBF 03y 6z 0 设平面BEF的法向量为n n (x, y,z)，则uuu，即，r n nEF 03x2 6z 0 令z 6，则n n (4,2,6). 8 分 uu u ruuu r

16、 因为AC 平面BDE，所以CA为平面BDE的法向量，CA (3,3,0)， uuu r uuu r n nCA613 所以cosn n,CA .9 分uuu r 13 n n CA3 226 因为二面角为锐角，所以二面角F BE D的余弦值为 ()解：点M是线段BD上一个动点，设M(t,t,0). 13 .10 分 13 uuuu r AM (t 3,t,0)， 则 因为AM /平面BEF， uuuu r 所以AM n n0，11 分 即4(t 3)2t 0，解得t 2.12 分 此时，点M坐标为(2,2,0)，BM 18.18. （本小题满分（本小题满分 1414 分）分） 解： （）f

17、(x) 1 BD，符合题意. 13 分 3 a(2 x) ， （x 0） ，3 分 x3 在区间(,0)和(2,)上，f (x) 0；在区间(0,2)上，f (x) 0. 所以，f (x)的单调递减区间是(,0)和(2,)，单调递增区间是(0,2).4 分 a(x 0 1) y 0 x 0 2 （）设切点坐标为(x0, y0)，则x 0 y 0 1 0 7 分（1 个方程 1 分） a(2 x ) 01 3 x 0 解得x01，a 1.8 分 （）g(x) xln xa(x1)， 则g(x) ln x1a，9 分 解g (x)0，得xe 所以，在区间(0,e 在区间(e 当ea 1 a 1 a

18、 1， )上，g(x)为递减函数， a 1,)上，g(x)为递增函数. 10 分 1，即0a1时，在区间1, e上，g(x)为递增函数， 所以g(x)最大值为g(e) eaae.11 分 当ea 1e，即a2时，在区间1, e上，g(x)为递减函数， 所以g(x)最大值为g(1) 0.12 分 a 1 当1 e e，即1a2时，g(x)的最大值为g(e)和g(1)中较大者； e ，g(e) g(1) aeae0，解得a e 1 e 所以，1 a 时，g(x)最大值为g(e) eaae，13 分 e 1 e a2时，g(x)最大值为g(1) 0. 14 分 e 1 ee 综上所述，当0 a 时，

19、g(x)最大值为g(e) eaae，当a时，g(x)的最大值 e 1e 1 为g(1) 0. 19.19. （本小题满分（本小题满分 1414 分）分） 解：解： （）由已知F ( p ,0),设A(x 1,y1)，则 y 1 22px 1 ， 2 2xp y 1 2xp 圆心坐标为( 1 ，2 分 ,)，圆心到y轴的距离为1 424 圆的半径为 FA12xpp x 1 ()1 ，4 分 2224 所以，以线段FA为直径的圆与y轴相切.5 分 uu u ruuu r uuu ruu u r （）解法一：设P(0,y0), B(x 2 ,y 2 )，由FA 1 AP,BF 2 FA,得 ppp

20、(x 1 ,y 1)1( x1,y0 y 1)， (x 2 , y 2 ) 2 (x 1 ,y 1)， 6 分 222 p 所以x 11x1 ,y 11(y0 y 1)， 2 pp x 22 (x 1 ),y 22 y 1 ，8 分 22 222 由y2 2 y 1 ，得y2 2 y 1 . 22 又y 1 2px 1 ，y2 2px 2 ， 2 所以 x 22 x 1 .10 分 代入 ppppp x 2 2 (x 1 )，得 2 2x 1 2 (x 1 )，(1 2 ) x 12 (1 2 )， 22222 p ，12 分整理得x 1 2 2 代入x p 2 p 1 1x1 ，得 2 p

21、2 1 p 2 ， 22 所以 1 1 1 2 ， 2 因为 1 1 4 , 1 2 ，所以 4 2 的取值范围是 3 ,2. 2 解法二：解法二：设A(x (x p 1 , y 1 ),B 2 , y 2 )，AB: x my 2 ， 将x my p 2 代入y2 2px，得y22pmy p2 0， 所以y 2 1 y 2 p （*） ， 由 u FA u u r uuu ruuu ruu u r 1 AP，BF 2 FA，得 (x 1 p 2 , y(x pp 1) 11, y0 y 1) ，( 2 x 2 ,y 2 ) 2 (x 1 2 , y 1) ， 所以，x p 1 2 1x1 ,

22、 y 1 1(y0 y 1) ， p 2 x p 2 2 (x 1 2 ), y 2 2 y 1 ， 2 将y2 2 y 1 代入（*）式，得y 2 p 1 ， 2 所以2px p2 1 ，x 1 p . 2 2 2 代入x p 1 2 1 1x1 ，得 11. 2 2 因为 1 1 4 , 1 2 ，所以 4 2 的取值范围是 3 ,2. 2 20 （本小题满分（本小题满分 1313 分）分） （）解：(a 1,a2 ,L ,a 100 ) |a 1 a 2 |a 2 a 3 | L |a 99 a 100 | 22L 2 299 198 . （）证明：因为(a,b,c,d) |ab|bc|cd |， 13 分 14 分 6 分 7 分 8 分 10 分 12 分 13 分 14 分 1 分 3 分 (a,c,b,d) |ac| |cb|bd |， 所以(a,b,c,d)(a,c,b,d) |ab| |cd | |ac| |bd |.4 分 因为(ab)(bc) 0，所以a b c，或a b c. 若a b c，则 (a,b,c,d)(a,c,b,d) a b|cd | ac|bd | cb|cd |bd | 当b c d时，上式 cbcd (bd) 2(