北京高考文科数学试题及参考

1、20152015 年北京高考文科数学试题及参考答案年北京高考文科数学试题及参考答案 一、选择题共一、选择题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分。分。 （1）若集合 A=x|-5x2 ，B=x|-3x3 ，则 AB=（） A. -3x2B. -5x2C. -3x3D. -5x3 （2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（） （A） （x-1）2+（y-1）2=1（B） （x+1）2+（y+1）2=1 （C） （x+1）2+（y+1）2=2（D） （x-1）2+（y-1）2=2 （3）下列函数中为偶函数的是（） （A）y=xsinx（B）y x2cos x（C

2、）y lnx（D）y 2x （4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师 的身体情况， 在抽取的样本中， 青年教师有 320 人， 则该样本的老年人数为 （） （A）90（B）100（C）180（D）300 类别类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数人数 900 1800 1600 4300 (5)执行如果所示的程序框图，输出的 k 值为（） （A）3（B）4(C)5(D)6 （6）设 a，b 是非零向量， “ab=IaIIbI”是“a/b”的（） （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视

3、图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（） (A)1（B）（B） (D)2 （8） 某辆汽车每次加油都把油箱加满， 下表记录了该车相邻两次加油时的情况。 注： “累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为（） （A）6 升（B）8 升（C）10 升（D）12 升 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9）复数i1i的实部为 （10）23,3,log25 三个数中最大数的是 ,A=，B= 1 2 （11）在ABC 中，a=3,b= （12）已知（2，0）是双曲线=1(b0)的一个焦点，则 b= . （13）如图，ABC 及其内部的点组

4、成的集合记为 D，P（x，y）为D 中任意一 点，则 z=2x+3y 的最大值为 （14）高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩，数学成 绩与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生。 从这次考试成绩看， 在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是 三、解答题（共 6 题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15） （本小题 13 分）已知函数 f（x）=sin x2 3sin2 2 2 （）求 f（x）的最小正周期； （）求 f（x）在区间 0, 上的最小值

5、。 3 （16） （本小题 13 分）已知等差数列 （）求的通项公式； 满足， 满足+=10，-=2. （） 设等比数列； 问： 与数列的第几项相等？ （17） （本小题 13 分） 某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况， 整理成下统计表，其中“”表示购买， “”表示未购买。 商品甲乙丙丁 顾客人数 100 217 200 300 85 98 （）估计顾客同时购买乙和丙的概率 （）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率 （）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最 大？ （18） （本小题 14 分）如图，在三棱锥E

6、-ABC 中，平面EAB 平面 ABC，三角形 EAB 为等边三角形，AC BC,且 AC=BC= （1） 求证:EB/平面 MOC. （2） 求证：平面 MOC平面 EAB （3） 求三棱锥 E-ABC 的体积。 ,O,M 分别为 AB,EA 的中点。 x2 kln x，k 0（19） （本小题 13 分）设函数f x 2 （）求f x的单调区间和极值； （）证明：若f x存在零点，则 fx在区间1, e上仅有一个零点（ (20)(本小题 14 分) 已知椭圆 点，直线与直线 ,过点 . 且不过点的直线与椭圆 交于两 （1）求椭圆 的离心率； （II）若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM

7、的斜率； （III）试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由。 参考答案参考答案 1.A2.D3.B4.C5.B6.A7.C8.B 12. 3 13, 7 14.乙数学 4 15、解：I 因为 f x sin x 3cos x3 2sinx 3，所以T 2 9.110 . log25 11. 3 3333 2 2 f 所以f x在区间 0, 上的最小值为 3 33 II因为0 x 2 ，所以 x ，从而x ，即x 2 时，f x最小。 3 16、解： （）设等差数列an的公差为 d.因为a4a3 2，所以d 2. 又因为a 1 a 2 10，所以2a 1 d 10，故a 1 4.

8、 所以an 42(n1) 2n2(n 1,2,L ). （）设等比数列b n的公比为 q. 因为b2 a3 8，b 3 a 7 16， 61 所以q 2，b 1 4. 所以b6 42 128. 由128 2n2，得n 63.所以b6与数列an的第 63 项相等. 17、解： （）从统计表可以看出，在这1000 位顾客中，有 200 位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 200 0.2. 1000 （）从统计表可以看出，在在这 1000 位顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁， 另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2 种商品.所以顾客

9、在甲、乙、 丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 （）与（）同理，可得： 100200 0.3. 1000 200 0.2， 1000 100200300 0.6， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 1000 100 0.1， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大. 18、解： （）因为O,M分别为 AB，VA 的中点， 所以OM / /VB.又因为VB 平面 MOC，所以VB/ /平面 MOC. （）因为AC BC，O为 AB 的中点，所以OC AB. 又因为平面 VAB平面 ABC，

10、且OC 平面 ABC，所以OC 平面 VAB. 所以平面 MOC平面 VAB. （）在等腰直角三角形ACB中，AC BC 所以等边三角形 VAB 的面积S VAB 3. 又因为OC 平面 VAB，所以三棱锥 C-VAB 的体积等于 OCS VAB 又因为三棱锥 V-ABC的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等， 所以三棱锥 V-ABC的体积为 2， 所以AB 2,OC 1. 1 3 3 . 3 3 . 3 x2kx2k /kln x，k 0 f x x 19、解： （）由函数f x 2xx 所以f/x 0 x k。从而f/x 0 x k；f/ 0 0 x k。 所以，f (x)的单调递减区间是

11、(0, k)，单调递增区间是( k,)； f (x)在x k处取得极小值f ( k) k(1lnk) . 2 k(1lnk) . 2 （）由（）知，f (x)在区间(0,)上的最小值为f ( k) 因为f (x)存在零点，所以 k(1lnk) 0，从而k e. 2 当k e时，f (x)在区间(1, e)上单调递减，且f ( e) 0， 所以x e是f (x)在区间(1, e上的唯一零点. 当k e时，f (x)在区间(0, e)上单调递减，且f (1) 所以f (x)在区间(1, e上仅有一个零点. 1ek 0，f ( e) 0， 22 综上可知，若f (x)存在零点，则f (x)在区间(1

12、, e上仅有一个零点 x2 y21. 所以a 3，b 1，c 2. 20、解： （）椭圆 C 的标准方程为 3 所以椭圆 C 的离心率e c6 . a3 （）因为 AB 过点D(1,0)且垂直于 x 轴，所以可设A(1,y1)，B(1,y1). 直线 AE 的方程为y 1 (1 y1)(x2).令x 3，得M(3,2 y1). 所以直线 BM 的斜率kBM 2 y 1 y 11. 31 （）直线 BM 与直线 DE 平行.证明如下： 当直线 AB 的斜率不存在时，由（）可知kBM1. 又因为直线 DE 的斜率kDE 10 1，所以BM / /DE. 21 当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为y k(x1)(k 1). 设A(x 1, y1) ，B(x2, y2)，则直线 AE 的方程为y 1 y 1 1 (x2). x 1 2 令x 3，得点M(3, y 1 x 1 3) . x 1 2 x 23y2 3 2222 由，得(13k )x 6k x3k 3 0. y k(x1) 直线 BM 的斜