阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用

1、圆锥曲线光学性质,黔江中学 高三数学组 张 勇,太阳灶,探照灯,聚光灯,雷达卫星接收器,1.手电筒、探照灯、汽车大灯等 反射镜面的纵剖线是抛 物线，把光源置于它的 焦点处，经镜面反射后 能成为平行光束，使照 射距离加大，并可通过 转动抛物线的对称轴方 向，控制照射方向,2.在太阳灶上装有一个可旋转抛物面形的反光镜，当它的轴与太阳光线平行时，太阳光线经反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很高。最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的,3.卫星通讯像碗一样的接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，则可以使

2、发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；例如雷达天线、卫星天线、射电望远镜等也都是利用抛物线的光学性质原理制成的。,抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择,三种圆锥曲线的光学性质,光源从抛物线的焦点发出, 经过抛物线反射后, 形成一束平行光线.反之，平行于对称轴的光线经抛物线反射经过焦点。,1.抛物线光学性质:,三种圆锥曲线的光学性质,2.椭圆:,三种圆锥曲线的光学性质,光源从椭圆的一个焦点发出, 经过椭圆反射后, 反射光线交于椭圆的另一个焦点上.,2.椭圆:,椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴

3、，把椭圆转动180度形成的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜），老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片,电影放映机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是旋转椭圆面。为了使片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，聚光灯泡与片门应分别对应于椭圆的两个焦点处.,三种圆锥曲线的光学性质,光源从椭圆的一个焦点发出, 经过椭圆反射后, 反射光线交于椭圆的另一个焦点上.,2.椭圆:,光学性质的应用,1.椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有

4、一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径忽略不计)从点A沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A时,小球经过的路程是_.,4a或2(ac)或2(a+c) 解：（1）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a-c）；（2）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2（a+c）； （3）静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a 由于

5、三种情况均有可能，,散热塔,天文望远镜,三种圆锥曲线的光学性质,光源从双曲线的一个焦点发出, 经过双曲线反射后, 反射光线是散开的, 好象是从另一个焦点发出的光线.,双曲线:,平面镜，入射光，反射光，法线,曲面镜，入射光，反射光，法线,一.抛物线的切线、法线性质,经过抛物线上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。如图1中。,1抛物线有关的切线方程,1.抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出。现已知抛物线的焦点为F，过抛物线上一点P的切线为L1，过P点作平行于x轴的直线m，过焦点F作平行于L1的直线L2

6、交m于M，则P M的长为（ ） A. B. C. D.,抛物线有关的切线方程,若 在抛物线 上，则过P0的抛物线 的切线方程是 若 在抛物线 外，则过 P0 作抛物线的两条切线切点为 P1、P2 ，则切点弦P1P2 的直线方程是,椭圆有关的切线方程,若 在椭圆 上，则过P0的椭圆 的切线方程是 若 在椭圆 外，则过P0 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2 ，则切点弦P1P2 的直线方程是,双曲线有关的切线方程,1若 在双曲线 上，则过 的 双曲线的切线方程是 2若 在双曲线 外，则 过P0 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2 ，则切点弦 P1P2的直线方程是,二.椭圆的切线、法线性质,经过椭

7、圆上一点的 法线,平分这一点的 两条焦点半径的 夹角。如图2中,. 椭圆 ，的左右焦点 F1，F2 ，P（2，1）点, （1）求过P的切线方程， （2）求角F1PF2的角平分线直线方程,解:,（1）方程为 x+2y-4=0,（2）方程为 2x-y3=0,三.双曲线的切线、法线性质,经过双曲线上一点 的切线，平分这一 点的两条焦点半径 的夹角，如图3中。 仍可利用到角公式 获证。,2. 双曲线 ，的左右焦点 F1，F2 ，P（3，4）点, （1）求过P的切线方程， （2）求角F1PF2的角平分线直线方程,解:,（1）方程为 3x-y-5=0,（2）方程为 3x-y5=0,作业与小结,B组4题 方法与思想 （1）几何证明法、代数计算法.(2).1类比思想 。2.数形结合思想。3.分类讨论