高等数学习题课.ppt

1、2020/8/7,1,习题课,一、三重积分计算的基本方法,二、三重积分计算的基本技巧,三、三重积分的应用,三重积分的 计算 及应用,第十章(2),四、课外练习题,2020/8/7,2,一、三重积分计算的基本方法,1. 选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2. 选择易计算的积分序,积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .,图示法,列不等式法,(从内到外: 面、线、点),3. 掌握确定积分限的方法, 累次积分法,2020/8/7,3,把积分,化为三次积分,其中由曲面,提示: 积分域为,原式,及平面,所围成的闭区域 .,P183 题7,练习题,202

2、0/8/7,4,计算积分,其中是两个球,( R 0 )的公共部分.,提示: 由于被积函数缺 x , y ,原式 =,利用“先二后一” 计算方便 .,P183 题8(1),2020/8/7,5,计算三重积分,其中是由,xoy平面上曲线,所围成的闭区域 .,提示: 利用柱坐标,原式,绕 x 轴旋转而成的曲面与平面,P182 题8(3),2020/8/7,6,二、三重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1. 交换积分顺序的方法,2. 利用对称性或重心公式简化计算,3. 消去被积函数绝对值符号,4. 利用重积分换元公式,1. 积分区域关于坐标面的对称性.,2. 被积函数在积分区域上关于三个坐标

3、变量的奇偶性.,只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才 能简化.,利用对称性简化三重积分的计算：,2020/8/7,7,其它情形依此类推.,三重积分计算的简化,2020/8/7,8,其中是,所围成的闭区域 .,提示:,利用,对称性可知原式为 0.,由球面,P182 题8(2),课内练习题,积分域 关于三个坐标面都对称，,被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 ,2020/8/7,9,例1,典型例题,2020/8/7,10,2020/8/7,11,例2,解,2020/8/7,12,2020/8/7,13,例3,解,2020/8/7,14,解,例4,2020/8/7,15,如图，,2020/

4、8/7,16,2020/8/7,17,例5,解,利用球面坐标,2020/8/7,18,例6,解,2020/8/7,19,方法一,2020/8/7,20,2020/8/7,21,方法二,2020/8/7,22,解,例7,2020/8/7,23,2020/8/7,24,2020/8/7,25,三、三重积分的应用,1. 几何方面,面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心,质量, 转动惯量, 质心, 引力,证明某些结论等,2. 物理方面,3. 其它方面,2020/8/7,26,*例.求曲面,所围立体体积.,解 由曲面方程可知, 立体位于xOy面上部,利用对称性, 所求立体体积为,yOz面对称,

5、 并与xOy面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于 xOz,例8 求曲面,2020/8/7,27,( t 为时间)的雪堆在融化过程中,其,侧面满足方程,设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为,已知体积减少的速率与侧面积成正比,(比例系数 0.9 ),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要,多少小时?,例9,01 考研,2020/8/7,28,提示:,记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则,(用极坐标),2020/8/7,29,由题意知,令,得,因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需的时间为,100小时.,2020/8/7,30,例10,解 在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得

6、,其中,2020/8/7,31,例11,设函数 f (x) 连续且恒大于零,其中,(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +) 内的单调性;,(2) 证明 t 0 时,03考研,2020/8/7,32,解 (1) 因为,两边对 t 求导, 得,2020/8/7,33,(2) 问题转化为证,即证,故有,因此 t 0 时,因,2020/8/7,34,利用“先二后一”计算.,例12 试计算椭球体,的体积 V.,解法1,2020/8/7,35,*解法2,利用三重积分换元法. 令,则,2020/8/7,36,上拼加一个同半径的半球体，若已知整个立体是均匀,解 设半球的球心在坐标原点，球面方程为,圆

7、柱体方程为,由条件得,例13 在以半径为 的圆为底，高为 的圆柱体,的且质心位于半球的球心处，求 与 的关系,2020/8/7,37,利用柱面坐标，得,故,因此，当 时，该立体的质心位于,半球的球心,2020/8/7,38,解 由条件，得,例14 位于 平面内的一条曲线 绕,轴旋转得一旋转曲面，此曲面与平面 所围的物,在体任一点处的密度为 ，求该物体对 轴的转动惯量,2020/8/7,39,解 设锥面方程为,例15 求密度为常数 ，半顶角为 ，高为 的,圆锥体对位于其顶点处的单位质量的质点的引力,设引力 ，,则由条件，得,2020/8/7,40,2020/8/7,41,1化三重积分 为三次积分，其中, 由曲面 ， 围成；, 由曲面 ， ， ， ， ，,围成,2计算 ，其中 由 ， ，,， 围