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文档简介

1、曲面积分 习题课,曲线积分,曲面积分,对面积的 曲面积分,对坐标的 曲面积分,对弧长的 曲线积分,对坐标的 曲线积分,定义,计算,定义,计算,（一）曲线积分与曲面积分,一、主要内容,曲 面 积 分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,定 义,性 质,计算公式,曲面积分,Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系,推广,推广,定积分,曲线积分,重积分,曲面积分,计算,计算,计算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,（二）各种积分之间的联系,关于对称性,对面积的曲面积分与侧无关，具有与三重积分相类似的奇偶性,你对称，我奇偶,积分曲面对称于坐标面，被积函数关于另一个 变

2、量具有奇偶性,对坐标的曲面积分的对称性比较复杂，一般 不直接使用，可利用两类曲面积分之间的关系先化为对面积的曲面积分，再使用对称性,关于对面积的曲面积分的应用,曲面面积,曲面质量,重心坐标,转动惯量,二、典型例题,例1 求椭圆柱面,位于xoy 面上方,和平面 z = y 下方的那部分的侧面积,解一,易见曲面对称于 yoz 面,解二,对弧长的曲线积分的几何意义：,柱面上的曲边梯形的面积,侧面积,注,曲面面积的计算法,曲顶柱体的表面积,如图曲顶柱体，,例2 计算,及平面 z = 1 , z = 2 所围立体的表面的外侧,解一,由 Gauss 公式,解二,上侧,下侧,外侧,（用极坐标）,解,由对称性

3、,例4 计算,所截下的部分,解,积分曲面关于 yoz 面 、 zox 面对称,被积函数 | xyz | 关于 x 和 y 是偶函数,由对称性,例5 计算,解,由对称性,例6 计算,绕 z 轴旋转所成的曲面的下侧,解,补上曲面,取上侧,则由 Gauss 公式,例7,解,利用两类曲面积分之间的关系,向量点积法,例8,解,利用向量点积法,解,(如下图),例10 计算,的外表面,解一,先计算,下侧,上侧,同理,解二,由 Gauss 公式,= 0 （用对称性）,例11 计算曲面积分,解,考虑使用 Gauss 公式,但从几何上看，积分曲面是一个开口朝下的“ 碗 ” 扣在xoy坐标面上，与xoy坐标面的截痕为,故曲面不封闭，应用 z = 0 （下侧） 封住碗口,但要注意,在（0，0，0）不存在,而（0，0，0）又在 z = 0 上，故须挖去（0，0，0）,考虑到P,Q

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