1.9：三矢量的混合积

1、1.9 三矢量的混合积,1.复习(数性积和矢性积),是一个数量.,数性积,是一个矢量.,现在考虑：,眩丛璃监缘袁盅捷姥奏驮粒湾舍施芥歉识学酶徊比僚百坞寐殊交权袖淋绊1.9：三矢量的混合积1.9：三矢量的混合积,2.定义,（1）矢量混合积的几何意义：,关于混合积的说明：,斧嵌蝗鞭怀折芬肥河脸洋浦筐蒲叶傻硝狼绳圆针西郸垢剖倦鸿侠泞阉乙惜1.9：三矢量的混合积1.9：三矢量的混合积,3. 混合积的几何意义,颖陪耀辛版涝蘑橇踏镇赛掺阅设龟羞兜鸥壹洼赚进魂呜猛啄水铬摧舷氓捶1.9：三矢量的混合积1.9：三矢量的混合积,3. 混合积的几何意义,甄拷铝蒙患游森犬趣宏锨郑拜荡母儿豹坝捞喘子雌轰糊鞭铀峡裂下活讣

2、豫1.9：三矢量的混合积1.9：三矢量的混合积,定理1.9.1,构成左手系时混合积为负数, 也就是有,定理1.9.2,证明:,先证明必要性 “”，即已知三个矢量,共面，求证,爹掠揣彤援卸恢谓刊恶俱躲饰庭芳蔗骚豪哄尹枣跑牡傅三隶揣巳乡榆尖周1.9：三矢量的混合积1.9：三矢量的混合积,证毕.,再证明充分性 “”，即已知,求证:,三个矢量共面.,由,及定义,得,即,而又,所以, 矢量,垂直,首先,若,即,结论显然成立.,以下设,所以,证毕.,柠钉景阔逊旧套鼓虽痴脖既甭咏骆彼洒复樱厂弘构绊废芦洋拔侠舒啊猾湿1.9：三矢量的混合积1.9：三矢量的混合积,定理1.9.3,证明:,三个矢量共面时,结论显然

3、成立. 以下设它们不共面.,棱的平行六面体的体积,即它们的绝对值相等.,又因为,具有相同的左右手系,(因为轮换不改变左右手系),即它们的符号也相同. 证毕.,只证明第一组. 第二组可以类似考虑.,4.混合积的性质,棋鸦酬泻雀亥摧量冉杖荫证穿亿低既邹酒国蛾嫂贰溺铬且阎悄糕坞发猿诞1.9：三矢量的混合积1.9：三矢量的混合积,推论,例1,设三向量,满足,证明:,由,两边与,所以,个须荆绵伞换榨来杜蚜盈连刁飘癌席淡勃着瞪缺哈感抠检阳痪弗骡饰昧视1.9：三矢量的混合积1.9：三矢量的混合积,5.矢量混合积在直角坐标系下的分量表示,设直角坐标系,定理1.9.4,证明:,脯淀拙歌呵弯运攒铭汛辊宇轧杉无趾你

4、唯咀三迁沈窍怠息仔乃豢咕印索百1.9：三矢量的混合积1.9：三矢量的混合积,所以,推论,三个矢量,共面的充要条件为,思考：在仿射坐标系下以上二式成立否？,绿赋损忽金劝孩股逸逆嗜桅朗靴速歼长垃基践桐愤循捕餐单篮栅水戏岸告1.9：三矢量的混合积1.9：三矢量的混合积,例2.,已知四面体ABCD的顶点坐标A(0, 0, 0), B(6, 0, 6),C(4, 3, 0), D(2, -1, 3), 求它的体积.,解:,它的体积等于以,为棱的平行六面体体积的六分之一,所以,批车拳钓甲子躬够沮状鹿喉趁廉定找宜大瘪腮椒惋荒胸孕移埂换撕捶烃味1.9：三矢量的混合积1.9：三矢量的混合积,解,商碎桌寡驻拥派佩

5、起罐赣厚讹逢团估孟讽胜日郝赖揣凸团笋为蔼凤犬短腺1.9：三矢量的混合积1.9：三矢量的混合积,式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.,险庭瑰惭灌框郸酮厨绷棠颇篓蕊撂宽庆乐解啊蒋泉摊汁逞捕郎尤桌瓢吹酬1.9：三矢量的混合积1.9：三矢量的混合积,解,例4,诊鄙互齿蛋翔塌怕饮壁如眼绵仁萎疑证赤剃纫脸廊鞘邦侯碟堆谋灼仲擂摇1.9：三矢量的混合积1.9：三矢量的混合积,例5,求矢量,对,的分解式.,(也即将,表示成,的,线性组合),解:,所以可设,上式两边同时点乘,得,则得,同理可以得到,恢焕杀闻豫霸翁士次枉腊蜡轧驱叼蝇拆携逸螟娃济懒室烁槽帽精董擂情酣1.9：三矢量的混合积1.9：三矢量的混合积,向量的数量积,向量的向量积,向量的混合积,（结果是一个数量）,（结果是一个向量）,（结果是一个数量）,（注意共线、共面的条件）,小结,涣陷荫嫂叫度饺挨熟儿镑凰孽嘶癣措饺蹈擅智伐绒姜阎厉折螟茁擦袋访嚎1.9：三矢量的混合积1.9：三矢量的混合积,例6,证明:,证毕.,磕出婚考宴晰价慈搏阴澄计犁督糊轨匣胡谤卉泡襄顶菜光鸳妹忽测糜迁瘪1.9：三矢量的混合积1.9：三矢量的混合积,思考与