数学人教版九年级上册垂直于弦的直径课件.ppt

1、义务教育课程标准实验教科书,九年级 上册,人民教育出版社,24.1.2 垂直于弦的直径,问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代劳动人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,赵州桥的半径是多少？,请同学们在纸上任意画个圆，并将这个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,活动一,请同学们在纸上任意画个圆，并将这个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,活动一,请同学们在纸上任意画个圆

2、，并将这个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,活动一,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,或任意一条过圆心的直线都是它的对称轴,为什么？,原因：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴.取两对称轴的交点即圆的圆心.,不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?,探究：,能，把圆沿不同的直线对折两次，两折痕的交点即为圆心,如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂 足为P你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？,活 动 二,线段: AE=BE,A,B,C,D,O,P,连接OA,OB,则OA=OB.,OA=OB，OP，,AP

3、=BP.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,证明:,垂径定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,CDAB,几何语言: CD是直径，, AE=BE,归纳：,即如果CD过圆心，且 CD弦AB, 那么AE=EB，,下列图形是否适用于垂径定理？,适用,不适用,适用,火眼金睛,不适用,注意：定理中的两个条件（过圆心，垂直于弦）缺一不可！,C,O,A,B,适用,垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 所对的两条弧。,即如果CD过圆心，且 CD弦AB, 那么AE=EB，,题设,结论,（1）过圆心 （2）垂直于弦,（3）平分弦 （4）平分弦

4、所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,CDAB,我们发现图中有:,由 CD是直径,AM=BM,推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。, M,讨论:对于一弦一直线 将上面五个条件任意拿出两个做题设能推出其他三个吗？,（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧,（1） （3）,（2） （4） （5）,（2） （3）,（1） （4） （5）,（1） （4）,（3） （2） （5）,（1） （5）,（3） （4） （2）,。,满二送三,垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦 所对的两条弧。,CDAB,表达: CD是直径，,

5、AE=BE,推论：平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,AE=BE,表达: CD是直径，, AEBE,推论中:“不是直径”能否去掉？为什么？,解得R27.9.,解决求赵州桥拱半径的问题：,在RtOAD中， OA2=AD2+OD2,即 R2=18.72+（R7.2）2,答:赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m.,AB=37.4 m，CD=7.2 m，,OD=OCCD=R7.2,依题意:,解:如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心O作OCAB，交AB于点D,交弧AB相交于点C. 则D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高,（m）,垂径定理

6、是圆中一个重要的定理,常与勾股定理同时使用.,1如图，在O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到弦AB的距离为3 cm，求O的半径,O,A,B,E,练 习,解：,答：O的半径为5 cm.,活 动 三,在RtAOE中，,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证：四边形ADOE是正方形,O,A,B,C,D,E,证明：,四边形ADOE为矩形，,又 AC=AB，, AE=AD., 四边形ADOE为正方形.,垂径定理及其推论,对于一圆一直线 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（不是直径） （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,“买二送三”,垂径定

7、理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,推论2：弦的垂直平分线必过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论3：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦 所对的另一条弧。,判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧,轻松过关,巩固：,1、如图，AB是O的直径，CD为弦，CDAB于E，则下列结论中不成立的是（ ）,A、

8、COE=DOE,B、CE=DE,C、OE=AE,C,2、如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。,O,A,B,E,解：连接OA， OEAB, AB=2AE=16cm,3、已知：O中弦ABCD。 求证：ACBD,你能讲解吗？,夹在两条平行弦间的弧相等.,你能有一句话概括一下吗？,4、如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。,解：连接OA，, CD是直径，OEAB, AE= AB=5,设OA=x，则OE=x-1，在RtAEO中,x2=52+(x-1)2,解得：x=13, OA=13, CD=2OA=26,即直径CD的长为26.,夯

9、实基础,学会作辅助线,5、如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，连半微径，这是非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,解：其截面如图所示,设圆心为O,连接OA.过O作OCAB,垂足为C,交优弧于点D.,6：篮球放在两张凳子之间，经测量两凳子之间的距离AB=24cm，篮球顶端（圆弧的中点）离凳子表面的距离为18cm，则这个篮球的半径 为 多少cm？,18cm,由垂径定理得：AC= =12cm,设O半径为xcm, OC=18-x,解得：x=13,答：篮球的半径为13cm.,A,D,C,B,O, 122+(18-x)2=x2,D,C,A,B,E,F,O,N,M,把篮球放在