1.1总体和样本.ppt

1、,1.总体和样本,一、总体和样本,例 某钢铁厂某天生产10000根钢筋，规定强度小于52kg/mm2的算作次品，如何来求这批钢筋的次品率？是否需要测量每根钢筋的强度呢？,一般来说是不需要的. 只要从这10000根钢筋中抽取一部分，比如100根，测量这100根钢筋的强度，就可以推断出整批钢筋的次品率了，这就是抽样检验.,事实上，全面检验是有困难的 有些检验是有破坏性的，如使用寿命; 产品数量大，或检验成本太高，人力、物力、时间不允许等 例如：有一批棉花，需要检查纤维的长度，我们 当然不可能去测量每一根棉花纤维的长度。 数理统计提供了一整套方法，保证可以通 抽样检验做出可靠的科学结论。,直观地说，

2、 被观察对象的全体称作总体；总体的每一基本单元称作个体或样品；从总体中抽出的一部分个体组成一个样本，样本中所含个体的个数称作样本的容量或大小。 如前例所说，10000根钢筋的强度是总体，每一根钢筋的强度是一个个体，抽查的100根钢筋的强度是一个样本，它的容量是100。,更确切的说，对这批钢筋，我们关心的是它的强度的分布，如强度低于52kg/mm2的比例是多少. 设 X 表示“任一根钢筋的强度”，X 是一个随机变量. 它的概率分布就反映了这批钢筋的强度的分布，即把总体看做一个随机变量。,从总体中抽取一个个体就是做一次随机试验，而“任取 n 根钢筋，测其强度”就是做 n 次随机试验，得到容量为 n

3、 的样本. 因为抽取是随机的，故可以样本看做 n个随机变量 。 当试验是同重复独立试验时， 与总体 有相的分布，这样的样本称作简单随机样本。,一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样代替.而代替的条件是,(1) 与总体X 有相同的分布,(2) 相互独立,简单随机样本,N / n 10.,总体中个体总数,样本容量,由定义, 若总体 是离散型随机变量，其分布律为 则样本 的联合分布为 若 是连续型随机变量，其分布密度为 则样本 的联合分布密度是,二、频率分布表与直方图,一、频率分布表 设总体 是离散型随机变量， 是一组样本值，取到的值为 ，并且取到 的个数

4、分别为 ，则样本容量 ，我们称 为 出现的频数，而 出现的频率为 显然，,例1 对100块焊接完的电路板进行检查，每块板上焊点不光滑的个数的频数分布表和频率分布表如下图所示,从上表可大体知道这批电路板的不光滑情况，可近似地作为“每块板上不光滑点个数” X 的分布律.,二、直方图,当总体是连续型随机变量时，可采用直方图来处理数据(样本值). 设 为给定的一组样本值，处理步骤如下： 1）简化数据，令 由于数据总在某个某个数值 上下波动，可以选取适当的常数 ，把样本值化为位数较少的整数，为方面起见，化简后的数值 仍记为 .,2) 求 中的最大最小值. 记 3) 分组. a) 确定组数和组距. 选定组

5、数 ，取组距 一般情况下， 应取数据的最小单位的整数倍. b) 确定各组的上下界. 取第一组的下界 应略小于 ，使得 落入第一组内，即 然后令,为了使每个数据都落入组内，应使分点 比样本值多一位小数. 计算频率，记 为落入第 个区间的频数，则频 率为 画直方图. 以 为底， 为高画小长方形. 显然，所有小长方形面积之和等于1：,样本直方图与密度函数 的关系？,根据大数定律， 近似等于随机变量 落入区间 内 的概率，即 设 的密度函数为 ，则 如果 在区间 内连续,下面举例说明画直方图的全过程及注意事项,例 2 某食品厂为加强质量管理，在某天生产的一大批罐头中抽查了100个，测得内装食品的净重数

6、据如下（单位：g）：,解 1) 简化数据. 取c=340, d=1. 令 . 简化后的数据如下图,2) 求最大值和最小值. 由上表知，最小值为-8，最大值为18. 3) 分组 a)确定组数和组距. 考虑到样本容量 n=100, 取组数 m=10. 由于(18+8)/10=2.6, 取组距 . b) 确定各组的上、下界. 取 , 依次得 -5.5, -2.5, 0.5, 3.5, 6.5, 9.5, 12.5, 15.5, 18.5. 4) 计算频率 5) 画直方图. 注意 .,三、经验分布函数,对给定的一组样本值，将它们按从小到大的顺序排列： 对任意实数 ，定义 称 为经验分布函数.,例如，给

7、定样本值5, 3, 7, 5, 4. 将它们从小到大重新排列: 3, 4, 5, 5, 7. 经验分布函数为,记 , 发生的概率 . 根据贝努利大数定律, 对任意的 , 有 事实上，可以证明下述更强的结论：,根据经验分布函数的定义，,中不大于x的个数）,定理(格列汶科) 设总体 的分布函数为 , 当 ，经验分布函数 以概率1关于 一致 地收敛于 , 即 注：上述定理表明，当样本容量 充分大时, 样本取值的分布相当准确的反映总体的分布.,统计是从手中已有的资料-样本值，去推断总体的情况-总体分布F(x)的性质.,总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断

8、总体.,样本是联系二者的桥梁,由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.,四、统计量和抽样分布,1. 统计量,这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量. 它是完全由样本决定的量.,几个常见统计量,样本均值,样本方差,它反映了总体均值 的信息,它反映了总体方差 的信息,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,k=1,2,它反映了总体k 阶矩 的信息,它反映了总体k 阶 中心矩的信息,2. 顺序统计量,定义 : 设,为取自总体X的样本，,将其按大小顺序排序,则称 X(k) 为第 k 个次序统计量( No.k Order Sta

9、tistic),特别地，称,为最小顺序统计量(Minimum order Statistic),称,为最大顺序统计量(Maximum order Statistic) 。,称,为偶数,为奇数,为样本中位数.,称 为样本极差，反映了样本的离散程度，也反映了总体的离散程度.,3. 抽样分布,统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布” .,抽样分布就是通常的随机变量函数的分布. 只是强调这一分布是由一个统计量所产生的. 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.,抽样分布,精确抽样分布,渐近分

10、布,（小样本问题中使用）,（大样本问题中使用),五. 统计三大分布,记为,分布,1、,定义: 设 相互独立, 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量： 所服从的分布为自由度为 n 的 分布.,分布是由正态分布派生出来的一种分布.,分布的密度函数为,来定义.,其中伽玛函数 通过积分,请看演示,c2 分布,由 分布的定义，不难得到：,1.设 相互独立, 都服从正态分布,则,2. 设 且X1,X2相互 独立，则,这个性质叫 分布的可加性.,应用中心极限定理可得，若,的分布近似正态分布N(0,1).,则可以求得， E(X)=n, D(X)=2n,若,定理（柯赫伦定理）设 相互独立, 都服从正态分

11、布N(0,1),T的密度函数为：,记为Tt(n).,所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.,定义: 设XN(0,1) , Y , 且X与Y相互独立，则称变量,2、t 分布,当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形.,由定义可见，,3、F分布,定义: 设 X与Y相互独立，则称统计量,服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作 FF(n1,n2) .,F(n2,n1),即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.,若XF(n1,n2)， X的概率密度为,请看演示,F分布,t分布与F分布的关系,由t分布的定义，设,其中,且X,Y独立,故,当总体为正态分

12、布时，教材上给出了几个重要的抽样分布定理. 这里我们不加证明地叙述. 除定理2外，其它几个定理的证明都可以在教材上找到.,六、几个重要的抽样分布定理,定理 1 (样本均值的分布),定理 2 (样本方差的分布),定理 3,与,相互独立,定理 4 (两总体样本均值差的分布),与,相互独立,定理 5 (两总体样本方差比的分布),若,则,例1 从正态总体,中，抽取了,n = 20的样本,(1) 求,(2) 求,例2 设r.v. X 与Y 相互独立，X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 与Y1, Y2 , Y16 分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本,求 的分布.,例3

13、设总体,为总体 X,3. 单个次序统计量的分布,定理1：设总体X的密度函数为 f (x) ，分布函数为 F(x) ， 为样本，则第 k 个次序 统计量的密度函数为,推论1 ：最大次序统计量 的概率密度函数为,推论2 ：最小次序统计量 的概率密度函数为,图 5-8 x (k) 的取值示意图,样本的每一分量小于等于 x 的概率为 F (x) , 落入区间 ( x , x + x 概率为F(x+ x)-F(x),落入区间 (x+ x, b的概率为 1-F(x+x) ，而将 n 个分量分成这样的三组，总的分法有,种，于是，若以 Fk (x) 记 的分布函数，则由多项分布可得,两边同除以 x , 并令

14、x0 , 即有,定理2：设总体X的密度函数为 f(x) ，分布函数为 F(x) ， 为样本，则第 k 个次序统计 量 和第 r 个次序统计量 的联合概率密度函数为,上述5个抽样分布定理很重要， 要牢固掌握.,七、下侧分位数,（一）总体分位数,定义1.5.4： 设总体 X 的分布函数为 F (x) ，满足,的 x称为 X 的 -下侧分位数，如下图所示。,例如， =0.975，而,所以， Z0.975 =1.96.,对标准正态分布变量Z，对给定的 (01),PXx =,七、上侧分位数,PUu =,例如， =0.05，而,PU1.645 =0.05,所以， u0.05 =1.645.,位数都在书后附表中可以查到。,这里要注意到如下几个有用的事实。,2）对于 T t (n) ，同样地，由密度函数的对称性 可知,即得,3）对于 F分布,由于,所以,即,的点u/2称为标准正态分布的双侧分位数。,u/2可由PUu/2= /2,即 (u /2) =1- /2,反查标准正态分布表得到，,PU1.96=0.05 /2,例如，求u0.05/2，,得u0.05/2=1.96,双侧分位数,标准正态分布的分位数,在实际问题中， 常取0.1、0.05、0.01.,常用到下面几个临界值：,u0.05 =1.645， u0.