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1、轴 对 称 的 应 用-最短路径问题,西安市第十四中学 许亚琦,唐朝诗人李欣的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”。诗中隐含着一个有趣的数学问题-将军饮马问题： 例一：如图1，将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到笔直的河岸l去饮马，再去B点宿营，走什么样的路线最短呢？,提出问题,归纳：模型一“一线两点”型（将军饮马） 已知一直线及直线同侧两点，在直线上找一点，使其到已知两点的距离之和最小，通常作其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求点. 动画演示一,探究与归纳,例二：如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草

2、，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线,提出问题,归纳：模型二“两线一点”型 已知两直线及两直线之间的一点，在两直线上分别找一点使其与已知点顺次连接的线段和（三角形周长）最小，通常分别作该店关于两直线的对称点，连接两对称点，与两条直线的交点即为满足条件的点，再根据题意求解. 动画演示二,探究与归纳,例三：如图，设点A为马棚，点B为住房牧马人从马棚牵出一匹马，先到草地吃草，再到河边饮水，然后回到住房问牧马人怎样走才能使路程最短？,提出问题,归纳：模型三“两线两点”型 已知两直线及两线之间的两点，在两直线上分别找一点使其与已知两点顺次连接的线段和（四边形周长）最小，通常分别作两点关于两直

3、线的对称点，连接两对称点，与两条直线的交点即为满足条件的点，再根据题意求解. 动画演示三,探究与归纳,1. 如图，已知等边ABC的边长为8，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为（） A3B4 C2 D4 练习1,拓展应用,2 如图，在菱形ABCD中，ABC=120，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB=2，则PB+PE的最小值是（） A1B C2 D 练习2,拓展应用,3. 如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，DM=2，点N是边AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（） A10B8 C2 D8 练习3,拓展应用,4如图，AOB=45，AOB内有一定点P，且OP=10在OA上有一动点Q，OB上有一动点R若PQR周长最小，则最小周长是（） A10B10 C20D20 练习4,拓展应用,5. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，4）、B（2，3） C为x轴正半轴上一动点，D为y轴正半轴上一动点，则四边形ABCD周长的最小值为_. 练习5,拓展应用,通过本节课的学习，你能谈谈我们都用了哪些数学知识和数学思想吗? (1)两点之间线段最短 (2)三角形的三边关系 (3)轴对称的性质 (4)线段垂直平分线的性质 “转化”的数

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