数学北师大版八年级下册提升思考钻研能力.ppt

1、2020/8/8,1,提升思考钻研能力,石家庄市第二十七中学 李国英,2020/8/8,2,善于举一反三,1、如图1，点P、M、N分别在正方形ABCD三边AB、BC、CD上，且PB=MC， MNPM，请你探究线段PM与MN的数量关系，并说明理由。 2、如图2，点P、M、N分别在等边ABC的边AB、BC、CA上，且PB=MC，PMN=60，交DC于N，请你探究线段PM与MN的数量关系，并说明理由。,N,以上两题有什么规律，请你再编一题。你能推广到一般情况吗？,2020/8/8,3,善于举一反三,若PC=MD， PMN=108 则PM=MN,若PC=MD，PMN=120 则PM=MN,若PA=MB

2、， PMN= A=MBN, 则PM=MN,2020/8/8,4,【反思】通过刚才的探究，你有何收获？,【点拨】通过探究正三角形、正方形中“一线三角”的特征，发现它提供了证三角形全等的条件。这一本质规律可以推广到正五边形、正六边形等正n边形。多进行这样举一反三的思考可使我们思维开阔而深远。,2020/8/8,5,善于多角度思考,已知：如图，OAB与OCD为等腰直角三角形，AOB=COD=90 （1）如图4，点C、D分别在边OA、OB上，连接AD，BC，点M为线段BC的中点，连接OM，请你猜想OM与AD的数量关系；并证明你的猜想 （2）如图5，在图4的基础上，将OCD绕点O逆时针旋转一个角度（09

3、0），其他条件不变，OM与AD的数量关系是否仍成立，若成立请证明，若不成立请说明理由；,2020/8/8,6,善于多角度思考,E,易证MEBMOC 再证OEBADO,中线加倍法构造全等,由中点及要证的结论联想构造中位线,可将AOD绕O逆时针旋转90 到BOE，证MO为CBE的中位线,E,2020/8/8,7,善于多角度思考,E,可将AOD绕O顺时针旋转90 到BOE，证MO为CBE的中位线,由中点及要证的结论联想构造中位线,2020/8/8,8,【反思】通过刚才的探究，你有何收获？,【点拨】第（2）题中，先猜想结论仍成立，在证明猜想（线段间的2倍关系）时，由中点条件引发多角度思考，如由中线加倍

4、构造全等；由中点联想构造中位线等，深入思考探究从而得到多种证法。经常进行一题多解的训练可使我们的思维灵活变通。,2020/8/8,9,善于转化类比,（1）如图甲，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上的一点，MNDM，且交CBE的平分线于N求证：MD=MN； （2）若将上述条件中的“M为AB边的中点”改为“M为AB边上任意一点”，其余条件不变（如图乙），则结论“MD=MN”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由,图甲,2020/8/8,10,善于转化类比,（3）如图丙，点M是AB的延长线上（除B点外）的任意一点，其余条件不变，则结论“MD=MN”成立吗？如果成立，请证明；如果

5、不成立，请说明理由,2020/8/8,11,善于转化类比,（1）如图甲，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上的一点，MNDM，且交CBE的平分线于N求证：MD=MN； （2）若将上述条件中的“M为AB边的中点”改为“M为AB边上任意一点”，其余条件不变（如图乙），则结论“MD=MN”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由,图甲,P,P,思路：取AD的中点P，连结 PM，证DPMMBN,思路：在AD上取点P，使DP=MB， 连结PM，证DPMMBN,2020/8/8,12,善于转化类比,（3）如图丙，点M是AB的延长线上（除B点外）的任意一点，其余条件不变，则结论“MD=MN

6、”成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由,N,F,P,思路：在AD的延长线上取点P，使DP=MB，连结PM，证DPMMBN,2020/8/8,13,【反思】通过刚才的探究，你有何收获？,【点拨】本例的（1）（2）（3）题中，构造并证明的都是DPMMBN ，就连对应点都没变。由于其他根本条件没变，尽管点M在射线AB上条件不断变化，但万变不离其宗，因此这类题目因条件变化图形变得复杂时，可类比简单时图形的证法找到思路。类比是重要的数学思想方法，希望同学们善于运用。,2020/8/8,14,善于积累几何模型,如图，在矩形ABCD中，已知 AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PEBD于E，PFAC于F，那么探究PE+PF是否为定值？如果是，求出这个值，如果不是，请说明理由,善于一题多变,（变）如果P是从A出发，沿AB BC CD DA运动一周，其它条件不变，PE+PF还是否为定值？如果是，求出这个值，如果不是，请说明理由,2020/8/8,15