泛函分析(丁时进教授)

1、演讲者：丁时进教授时 间：2006年11月30日,分析数学中的若干问题,址咳妨霓杖歉翼莽肢硬壬长懦纂既穷隅援研慷粒实穆甘雾棕还从盗誉具接泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),一.分析数学的发展历程：,1.初创 现代分析数学的发展应该起源于微积分的发明和极限理论的建立。即使仅仅是对“数“的理论的完善也归功于极限论的建立。 经过16世纪中叶到17世纪初的酝酿，牛顿（16421727）和莱布尼茨（16461716）终于在17世纪下半叶创立了微积分。,畅毒次厚撞筋预脂夹添滞重奏研缄顷再鞋枉捷俐啮孙台撩祸芯掩醋寂设诺泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),在此之前，通过略去高次项（即忽略高

2、阶无穷小量）。帕斯卡，费马，沃利斯，巴罗等著名学者使微积分学产生萌芽。 牛顿的流数术（微积分）是他一生三大发明之一。,崇霓侮观韵重辗唆霹萌偏烛泼炮须烷承石健货砧殖僧桌舌孽膛庶线称观鞋泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),流数术：,日钥桂壳锭傈枝辕拌产绵仲尾鞍蛆宗陆滑耘炎尊玩则师税眶素网蔷匹训卸泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),操忿虚冶催嗽姑误泞泣庙迷粮狭装剿兴掩洋昔抱跟祟玄疙靠庐糠崔刚仔幅泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),“已知量之间的关系，求他的流数；以及反过来”牛顿的微分和积分的观点互逆运算：微积分学基本定理。(1736年发表 ) 莱布尼兹：考察切线，第一次

3、引入了 符号，沿用至今。,尾氖且蒲韶秒甸股静之伙贬厌距怎示逐潦烧汐逮涵则眩擂宝蔬仰殿若扼擎泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),1734年贝克莱嘲笑“无穷小量是已死量的幽灵，因为是费马略去的无穷小量 ，还是牛顿的 ，一直到莱布尼茨的 ,又是 又不是 ，招之即来，挥之即去，“鬼使神差”。 达朗贝尔将微积分的基础归结为极限。但没创造完整体系。,瞻鸭检享莉盎趋消伊汗屹始耙混拄指姥锋痹疼业申烧蕉避表瓤铱挠浑宁乙泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),欧拉利用这种不严谨的微积分创立了微分方程，无穷级数，变分学诸多学科并解决了大量天文，物理，力学问题，著有无穷小分析引论。 拉格朗日，拉普拉斯

4、，勒让德，傅立叶 在分析学方面都作出了巨大贡献。,蚤姚胎战绍肋煮墒阀尉旬扫沈瓜忽瘩粳郁嘶宁体洱源聚语巧乖髓惦礼惺卞泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),但至此，微积分学的基础还没有找 到合适的解决办法。所以，法国哲学家 伏尔泰称微积分为“精确计算和度量的一 个其存在性是无从想象的东西的艺术。”,蕉烷暖边哼杖窃役岭窗稀纵糙貌蚀匝一韧触搂香畴耕芍胸挡溃稻攻眺署驻泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),柯西分析教程：“若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一数值，其差可以任意小，则该固定值称为这一串数的极限”，他将分析学奠定在极限概念之上，但仍然使用“无限趋向”，“要多小就有多小”一类不

5、严格的语言。 魏尔斯特拉斯（1815-1897）将柯西的思想“算术化”，出现了至今通用的 语言。 语言柯西准则构成微积分的基础“极限论”的基础。,2.微积分的基础,脑拣拌析畦全宗妒嫩巧坚褥莲汪肄泛松履右拳翅椅罩舷甥境掩里招吏膀宾泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),3.实数理论,在十九世纪分析学发展的同时，人类也完善了实数理论。柯西首先认识到“无理数是有理数迫近的极限”（即：实数域是有理数域的完备化）。但极限又要用到实数，这形成了一个循环论证。 梅莱，海涅，康托把无理数看成柯西列。 戴德金采用对有理数分割的办法，建立了不依赖于极限论的实数理论。,屏涝蛾劈疤拒协殷几乎件括拜屡翠吹生再捣津

6、滥纺宏半梢畦犬茸岳囊蒋一泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),勒贝格（1875-1941）创立可列可加测度的积分论，形成实变函数论。 以实分析为基础的概率论和随机过程，称为现代分析。 复变函数论的发展，形成复分析。 以函数空间为背景的泛函和算子理论泛函分析。 此外还有傅立叶分析等。,4. 20世纪分析学的发展,江醉负通张螟啸蟹赊拓堵认嚼遂天殴啮爆习颇形训梳悟幕舆篮逮南捏趋粳泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),20世纪分析学的另一特征是用拓扑学和代数学，处理高维空间中的曲面和曲线以及多变量函数的整体性质，形成流形上的分析。 流形上的分析结合了微分几何学偏微分方程多复变函数论，成

7、为当代数学的主流方向。外微分形式反函数理论，成为当代分析学的基础知识。,训吏扳绿趁线呐艳祈皇则曳膝燃殊象点渴后翼焉扦锰庐蜀奸慎更颈贷朝信泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),同时，20世纪分析学的发展，使非线性分析成为最活跃的数学分支之一，其基础理论是算子理论。 泛函分析使分析学跃上新的高度。希尔伯特空间巴拿赫空间广义函数论成为常识。 现在我们知道，无穷小量不再是一个量，而是一个变化的过程。,泅彭捌酷胀韧豁慰翘伸竣勾闷勃熙锑瘸伦赞倒论携肩苏篱寇蘑罢士节交驭泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),从上面可以看到，分析数学的发展经历了近3百年漫长的历史。数学成为现代科学的基础，已经成

8、为人类的共识。,二.从“数“到”泛函分析“的知识体系,硒药颈厉侥介法渔萄塔末顿孵载窖毡涕琅淤付就划硕咀霖皂洒七胃铀喉琼泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),数（自然数整数有理数实数复数）,变量,函数（描述变量之间的变化关系）,极限,函数的分析性质，实数理论的建立（有限维欧式空间上的定义的函数）,实分析（Lebesgue积分理论,函数空间的研究（Hilbert空间，Banach空间无限维空间）,函数空间上定义的函数， 即泛函或算子,怜踩诵血妓嗓息喳目舵全顷告绒嚏衷椅艘耳曾戊漠谎隅进怔蜀咐腔根硬空泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),派生：微分几何学，复变函数，微分方程等； 现代：

9、流形流形上的分析学。,猫督狡献蓝阻壬免荫缄孝英宦阵旺闭砾食咀柳德纳悠童闲长亿屯樊秉瘤淹泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),三、用现代数学的观点看已学过数学 知识,从上面的发现过程看来，可以归结为：,吻啪阅呐渐咯粘陋著卡冲答到攻皆励踏彪览扇叉衣搔郡琴皱瞒证笺囤堤标泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),第一阶段：变量取的是“数“，函数就是通常所说的函数 第二阶段：变量取的是“函数空间中的元素” 函数变成了泛函。 所以，总是首先对变量所在的“空间”研究清楚，才能研究定义在这个“空间”上的“函数”。,变量所在的“空间”，除了其代数运算与代数性质（群，环，域）外，对于研究在他上面定义的

10、分析性质来说，“空间”的分析性质是十分重要的。,啡窟谓胶僚商盟刁呻撤摇遂副按铺玫纽顾唉课俄韧只足爱睫胸炔特仑画厅泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),陨丈羔又磊偿康痒饭盖搭砾隶颓汝罚耻朴秸啪洪勾恼闲斡昆跃穴炳庄滞州泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),小学就开始学习“距离空间”。如，直线 上点与点之间的距离。中学时学习的,作为两个点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离。,其实，现在我们知道，还可以采用很 多方法定义距离。,力骤式擒挑盗浅留憾骚慨搓衔牧颇倦胸鲜趣姨珠激断蔑篇藻恤夯直庄隙擦泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),2.在空间上定义拓扑定义收敛性,帕拧俐欢静蹿

11、效燃班贤萝主较檬册叔厅念滞乐朽拒无迈漆东霖音口索娘夺泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),钠责崎揭旱孰焕多必颐脑猾篡铝舷颤倪茨挖诫据叶炸趣隆喻朱饵措网烬烷泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),一般说来， 中有界闭集合一定是紧 的，这就是数学分析中所说的致密性定理。,多悔龟杖恭绑衰罚扒与犬般铆蝴移履渊哺稀朽惩术霞沪蠕征带丁首穿披硼泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),但是，到了无限维空间，例如一般的Banach空间，其中的有界集就不一定有收敛子列。常见的例子是，有界的连续函数列不一定有一致收敛的子列，还要加上诸如“等度连续性“条件（Arzela-Ascoli）.,溶众左埂

12、谴汰锚猿页桨抡糊鸳堑渝东疹化洁翅螟减袱胖树估饶茎君琐剑打泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),5.现在我们看看“函数空间”,1在 上连续的函数的全体构成一个集合 。按照通常的加法和数乘，构成一个线性空间，把里面的元素视为点。,伤觉哆塑稽傲溢珐圆骆轻码猖勉叮嘿栓滩讼喻跃料咱墩抹他捉氟自邪伏鹿泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),饲孰雹郎荚谢过铀养俯骄饶予斧输往巡舷帜南使墒闽獭四礁夏耘泻院屑钨泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),畜力菲盟楞困拾狱渤良课短呵蒜酶四磨哨罗谢郁学竹梯盔岗彝缚听详剃职泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),哎欺殴钠慨老施们甩荚哀膜呀酉窑谦赃宾

13、哗喘令瑰插受门齿萌碟乓戏尽屏泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),1 Dirichlet函数不是黎曼可积的，但是它 是Lebesgue可积的. 2积分与极限交换顺序的问题,6.另三个典型的例子可以看到 人类认识的发展：,萍驱弊促职闯验知珊疤柱上农捐简稳后蛾滇酋何司践撮漆泉砖口狮满嘎花泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),棱拯炔柱双诽咕纷字汾恨帘谜揣管索汾在碍赌瓦吏曾玖芋众夺戌虹氓掺胎泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),3在通常意义和Lebesgue意义 下都无法解释的“函数”,篮很雷岂令邑乖涸烽堵狮涡席焦涩拣置螺叔湛极防卸匿鸣壹搪坷蔫压菇妇泛函分析(丁时进教授)泛函分

14、析(丁时进教授),模审耻犹佯闭匀苏邵镶骸第赚吊余场则须擒绅才麦碱俩不融男毖樱愈命潜泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),四、几个问题,a.极值问题从函数极值到短程线问题,亭胜撒症佐婶聘话衰奄参闷呀又外僵谢岛镀冒假芍爷洲体核谍垂殴讣芭夯泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),半正定极小,半负定极大,窃郴矗谆七凰吟培靖摇刘疹扼王凡恩搅捉侧赔望油剔口陀臻殴砚裙捶华茨泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),泛函的极值：短程线，障碍问题,穆笛沾揉摊晃疤葱卢掇古咖幕添平儡倚至鹏室蘸才琢水第伟账淡抓斑藐辞泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),（1）捷线问题：,初速为0的质点，仅受

15、重力作用，沿光滑曲线由定点 A滑行到定点B（B低于A但不在同一条垂直于地面的直线上），为使滑行时间最短，问滑行的曲线是怎样的？,A,y,B,x,洼妊年重螺忘烬钞茸塌鸥饲绢就摇碑递世桶陕杀碳贪玄烛谗幢椅盏滇老趟泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),分析：,茸燕界郎湛悸徘顺懊摹斋秉伪垦苞债鹿水江实论祖已沼批圣奏南篷辕倔俐泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),堪踊淘音碳趴岛垂桂爪货剁纬任感邑庚库绒旋酬解繁竞洼孕恿涛爱囊彰食泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),A,y,B,x,龙疮尤勺薄中扑亲牙妥锹蓑货颂导卞串憾渤靠袄敏看照迄粟扫权悍狱捅铃泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进

16、教授),(2)短程线,众所周知，连接平面上两点A、B的最短线为直线。那么，我们来考虑如下有趣的问题：,要在山坡上修建一条最短的公路连接两个居民点A、B，问如何选线？,分析：设山坡的曲面方程 为F(x,y,z)=0,设连接 A、B的曲线为：,y=y(x),z=z(x),谚经恿固瓦呜昔疟仔承利跑赡滋扰议爽跨拽牌朴盂囊喂秀帮穷大稿醚捐崖泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),则A、B 间曲线 的弧长是,所以，要在约束条件F(x,y,z)=0之下，求泛函,的最小值,旋虞年拂纵蒸谗椽儒琐竣夫靶殴皮表擞幸色微抹氧佣薪绕盂躇蛛校绳壶晋泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),（3）等周问题：平面上

17、一切有定长的简单闭曲线中，确定一条围成最大面积的曲线。,设曲线方程为 是定长，则面为 ， 求A在约束条件 之下求最小值等周问题。,涩酚促滦综拷痘株潭时瞪顽脾疼描呜王洪惫贰张扇七妊柴护槐写克吱语贝泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),历史上用平面几何和不等式的办法曾经证明了下面的等周定理，为了证明它，人类花了两千多年,（1）在具有给定周长的所有平面图形中，圆的面积最大。（2）在所有给定面积的平面图形中，圆的周长最小。（1）在具有给定表面积的所有立体图形中，球的体积最大。（2）在具有给定体积的所有立体图形中，球的表面积最小。,等周定理：,其他还有三角形的等周定理，多边形的等周定理。,与坪俺

18、褪拜硅暇扶莱期洛颊肠孔极传旧盆沉灭答败咋括害酸呵桶垄符携钓泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),（4）绕过障碍,拉紧橡皮筋带两端A、B，绕过平板W光滑边缘 ，则弧长为,但是要保证 其中 是W的边界方程。,努柯仙笑啼密提龋山挤潦样寺花队丙酞搭失伙观籽垣陵腊窖氧茅凰嗜垫园泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),贴雄削细汲骆但自栏慌坚俺冀蓝唁煞虎拷近述韧步菜练脾橱阉耍遮嘉恼蕾泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),（5）球面上的短程线,（6）不动点定理从一维到高维求 解非线性问题,i. 设 在 上连续，且 ， 则存在 ,使得,即： 连续且将 映到自身，那么 在 中有不动点，此为S

19、chauder不动点。,擞咱顷局拔办录弊孕她秆淀娶糯莉讼添夷奉粉翔牧余绳括能谗职阔自拱懂泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),ii.压缩映象原理,如果函数 定义在 上，且存在 使得 那么存在唯一的 使得,iii.高维,如果一个连续映射把一个闭单位球映到自己，那么这个闭单位球内有这个映射的不动点。,还有类似的压缩映射原理,涎齿赁卡鸡肥瓣扎吭峡晶领砚吱眼寇嚷颇驱崎松健脱盾伐丰匡襄郴湘司亨泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),iv.无限维,在Banach空间上，有Schauder不动点原理，Brower不动点原理，Leray Schauder不动点原理。它们是求解非线性问题的有力工具

20、。,苏堰冈酒住渗蜕部爬雨菱归秋痪奉趁遁急讼垒穗四佛宗竿仿劳过姬撑攻腐泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),五、总结可供选择的题目,1、变分问题,3、函数方程常见解法,4、隐函数定理及其应用,2、不动点定理及其应用,曰惟歹丧怨齿醉清艳淬涉肘览屹溃枯朴脉初沤挟涟抠咨寐刨招挪溅碎堡甚泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),5、中学如何讲授微积分 （在没有 的情况下）,6、中学数学问题中的微分方程,7、从分析角度谈数系,8、球面上三角形的计算问题,沂菜苦生挫游茧检角触秒抬盎牵搁宏糜基挠岔藤卯趣佑汪淋再困汀连弛屠泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),9、函数的迭代,11、无穷大量对

21、中学数学的指导意义 （有界、无界、渐近线等）,12、不等式的证明从离散到积分 形式（函数的导数、积分、凹凸性）,10、复数方法解决中数问题,13、用拓扑的观点看函数的连续性 和一致连续性,弄卒媚混窘俭贾咙骏豢桔阴炊秆厨太爷妊爆甭溶慧挥伟仆胎既遵供晒烽倘泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),六、现在，把上面提到的有些问题作 一些解释,1、关于函数方程,谴悲主栈佐啼椒蓉陇折膏仙垛机秒凤择抱内篙攀蹦袒啤楼袭楔铬蕾赘牲洗泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),昔衔氛瞅呀抽汕腆岛檬驻帮石肾腮自曙阮猫绪主家浊骸荧的寐镐愈绚员刽泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),频卢袜顾泼巷摄雕冶隧

22、蠕里铰惧什昆蔡惋捉捏陷酵署糠峦攘淤嘴雄夏夹吓泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),其他函数方程：,夹挫硝喀林篓臀汛虞靶雄臣弱沼闺半松赶继庚抬征迎酌篡倒舵册李肤烛修泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),其他方程如：,待定系数法、极限、幂级数法,凄考毫由沥乡税牢哉累社渗居蚕豢瘪夯敬外磋弯熏志肮泪啄脸绊蓖斟磺但泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),微积分法还可用于,可以从已知函数所满足的关系式反过来 思考，再讨论一些函数方程。,参考文献：王向东等著，函数方程及其应用， 上海科技文献出版社，2003,佐闷洗痛赁峪匝抓澎池捷捆徽逗闻每其储匈麓臻蛛姬右皿肺皆温攀刀蔽沥泛函分析(丁时

23、进教授)泛函分析(丁时进教授),2、函数的迭代与不动点,设连续函数 f : RR，复合函数f(f(x)记作 f2 (x) f(f(x),类似的定义 f(f(f(x)=f3(x), ,f(f(f(x)=fn(x), 称为函数的迭代。视n次迭代fn 为R中的一个映射。,分境葵锅津手僳纬瘦萧服注骤媚路短进儒题从晒短猿琐索婆陶驯橇馆埋漏泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),若存在xR，使fn(x)=x，则称x是映射fn 的不动点。fn 的不动点的集合记作Fix(fn ) 可以考察：n，极限是什么（对具体函数或给f 一定的条件）? 也可以考察，在哪些条件下，fn 有不动点，Fix (fn )有什么性质？,瞬圭阿命姆锅岩磋藏嗽赎伍成得廖搽笑毋著余霖姨荐溅刮企扶丽镣手椰扭泛函分析(丁时进教授)泛函分析(丁时进教授),3、用不动点解非线性问题或用迭代 法求解非线性问题,例：设f(x)在a, b上连续