林寿数学史第九讲：19世纪的几何与分析I.ppt

1、第九讲 19世纪的几何与分析I,几何学的变革 分析的严格化,几 何,现实空间与思维空间 微分几何 非欧几何 射影几何 统一的几何 公理化方法,平面曲线理论17世纪基本完成,微分几何,惠更斯(荷, 1629-1695),1673年惠更斯(荷, 1629-1695)：渐伸线、渐屈线,洛比塔(法, 1661-1704),1671年和1686年牛顿和莱布尼茨：曲率、曲率半径 1691年和1692年约翰伯努利(瑞, 1667-1748) ：曲线的包络 1696年洛比塔(法, 1661-1704)的无穷小分析完成并传播了平面曲线理论,18世纪的空间曲线、曲面理论,微分几何,克莱罗(法, 1713-1765

2、),1697年约翰伯努利(瑞, 1667-1748)提出的测地线问题 1731年克莱罗(法, 1713-1765)关于双重曲率曲线的研究：弧长、曲率,微分几何,1760年欧拉(瑞, 1707-1783) 关于曲面上曲线的研究：曲率、绕率，建立了曲面理论,蒙日(法, 1746-1818),1771年欧拉(瑞, 1707-1783)关于可展曲面，1771和1775年蒙日(法, 1746-1818)关于可展曲面与直纹面 1795年蒙日(法, 1746-1818) 关于分析的几何应用的活页论文借助微分方程对曲面族、可展曲面、直纹面做深入研究,蒙日: 1792年任法兰西共和国海军部部长, 签署了处决路易

3、十六的报告书, 1800年任元老院议长, 1808年封爵, 波旁王朝复辟后被革职 1794年组建巴黎综合工科学校 , 1795年设立巴黎高等师范学校 培养一批优秀学生: 泊松、刘维尔、傅里叶、柯西,平行公理的研究(公元前3世纪至1800年),欧氏几何,欧几里得,普莱菲尔(苏格兰, 1748-1819),勒让德(法, 1752-1833),若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内角和小于两直角的一侧相交.,勒让德(法, 1752-1833) 几何学原理：这条关于三角形的三个内角和的定理应该认为是那些基本真理之一。这些真理是不容争论的，它们是数学永

4、恒真理的不朽的例子。(1832),1733年萨凯里(意, 1667-1733)欧几里得无懈可击,欧氏几何,非欧几何,1766年兰伯特(法, 1728-1777)平行线理论不认为锐角假设矛盾, 认识到如果一组假设不引起矛盾, 就提供了一种可能的几何,1763年，克吕格尔(德, 1739-1812)第一位对平行线公设是否能由其它公理加以证明表示怀疑的数学家,1820年F鲍约(匈, 1775-1856): “我经过了这个长夜的渺无希望的黑暗, 在这里埋没了我一生的一切亮光和一切快乐,或许这个无底洞的黑暗将吞食掉一千个犹如灯塔般的牛顿, 而使大地永无光明。”,非欧几何,1813年高斯(德, 1777-

5、1855)：非欧几里得几何,1832年J鲍约(匈, 1802-1860)绝对空间的科学,几何学上的哥白尼,1826年罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)简要论述平行线定理的一个严格证明,罗巴切夫斯基(苏联, 1951),非欧几何,罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)，喀山大学教授、校长 1815年着手研究平行线理论，试图给出平行公设的证明 1826年在物理数学系会议宣读简要论述平行线定理的一个严格证明 1829年论文几何学原理在喀山大学通报全文发表 直至罗巴切夫斯基去世的30年内，没能赢得社会的承认和赞美,鲍约(罗马尼亚, 1960),非欧几何,鲍约父子之墓,内蕴几何，流形曲率,185

6、4年黎曼(德, 1826-1866)关于几何基础的假设,非欧几何,非欧几何,1846年进入哥廷根大学专修语言和神学 1847-1848年到柏林大学, 进入数学领域 1849-1851年在哥廷根大学, 取得博士学位, 学位论文“单复变函数一般理论基础” 1854年讲师职位讲演: 关于几何基础的假设, 1857年副教授, 1859年教授 1862年得肺结核, 1866年在意大利逝世 1876年出版黎曼全集(发表论文18篇, 遗稿12篇) 伟大的分析学家：复变函数论、阿贝尔函数论、超几何级数与常微分方程、解析数论、实分析、几何学、数学物理、物理学,黎曼(德, 1826-1866),“ 黎曼是一个富有

7、想象的天才, 他的想法即使没有证明, 也鼓舞了整整一个世纪的数学家.”,模型与相容性,1868年贝尔特拉米(意, 1835-1899),非欧几何,曳物线,1871年克莱因(德, 1849-1925),1882年庞加莱(法, 1854-1912),非欧几何,克莱因-庞加莱圆,蒙日(法国, 1953),1803年卡尔诺(法, 1753-1823)的位置几何学,卡尔诺(法国, 1950),1799年蒙日(法, 1746-1818)的画法几何学,射影几何,早期开拓者: 德沙格(法, 1591-1661), 帕斯卡(法, 1623-1662),综合方法,对偶原理,1822年庞斯列(法, 1788-186

8、7)的论图形的射影性质,射影几何,代数方法,射影几何,射影几何,所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学科，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。,1872年克莱因(德, 1849-1925)的爱尔朗根纲领,统一的几何学,1865年进入波恩大学(建于1786年)学习生物 1866-1868年普吕克(德, 1801-1868)的博士 1869-1886年: 哥廷根大学、柏林大学、普法战争、埃尔朗根大学、慕尼黑工业大学、莱比锡大学、哥廷根大学 克莱因使哥廷根这座具有高斯、黎曼传统的德国大学更富有科学魅力，吸引了一批有杰出才华的年青数学家，使之成为20世纪初世界

9、数学的中心之一,爱尔朗根纲领,统一的几何学,克莱因：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”,几何学的公理化,1899年希尔伯特几何基础,选择和组织公理系统的原则,希尔伯特(德, 1862-1943),“建立几何的公理和探究它们之间的关系，是一个历史悠久的问题；关于这个问题的讨论，从欧几里得以来的数学文献中，有过难以计数的专著，这问题实际就是要把我们的空间直观加以逻辑的分析。” 本书中的研究，是重新尝试着来替几何建立一个完备的，而又尽可能简单的公理系统；要根据这个系统推证最重要的几何定理，同时还要使我们的推证能明

10、显地表出各类公理的含义和个别公理的推论的含义。”,分析的严格化,分析的算术化 实数理论 集合论,分析的算术化,分析：关于函数的无穷小分析 问题：第二次数学危机 核心：函数、无穷小 贡献：柯西(法, 1789-1857 ) 分析教程(1821) 无穷小分析教程概论(1823) 微分学教程(1829) 魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897) -语言 “现代分析之父”,希尔伯特（德，18621942年）：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深遽的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、函数、导数等概念，他排除了微积分中仍在涌现的各种异议，扫清了关于无穷大和无穷小的各种混乱观念，决定性地克服

11、了起源于无穷大和无穷小概念的困难今天分析达到这样和谐、可靠和完美的程度，本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动。”,函数,初等函数,狄里克雷函数,处处不可微的连续函数,解析函数,1837年狄里克雷(德, 1805-1859),1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)定义了导数、连续 1821年柯西(法, 1789-1857)分析教程定义了极限、连续、导数,算术化,1854年黎曼(德, 1826-1866)定义了有界函数的积分 19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出-语言 1875年达布(法, 1842-1917)提出了大和、小和,1817年波尔查诺(捷, 1781-1

12、848)提出“确界原理” 1817年波尔查诺和19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出“聚点定理” 1821年柯西(法, 1789-1857)提出“收敛准则” 19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理” 1872年海涅(德, 1821-1881)和1895年波莱尔(法, 1871-1956)提出“有限覆盖定理”,实数理论,1872年戴德金(德, 1831-1916)提出“分割理论” 1892年巴赫曼(德, 1837-1920)提出“区间套原理”,波尔查诺 (捷克斯洛伐克，1981）,实数理论,1834年进入波恩大学学习法律与商业，放弃法学博士候选人 1839-1940

13、年成为古德曼(德, 1798-1852)的学生 1841-1856年在中学任教, 开展椭圆函数论与阿贝尔函数论的研究,1854年哥尼斯堡大学名誉博士 1856年起在柏林工业大学、柏林大学任教, 1873年出任柏林大学校长 分析算术化的完成者, 解析函数论的奠基人, 卓越的大学数学教师(1864-1885培养了41位博士),学生中有近100位成为大学正教授 龙格(德, 1856-1927): 魏尔斯特拉斯在其连续性课程中“自下而上地构筑了完美的数学大厦, 其中任何想当然的、未经证明的东西没有立足之地”.,实数理论,海涅,波莱尔,达布,黎曼,戴德金,巴赫曼,1874年起康托(德, 1845-1918)一系列论文建立,康托三等分集,集合论,希尔伯特：数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活