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文档简介

1、第2课时 正方形的判定,19.3 正方形,第19章 矩形、菱形与正方形,1,课堂讲解,正方形面积的性质 正方形的判定,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,(1)正方形是怎样的平行四边形? (2)正方形是怎样的矩形? (3)正方形是怎样的菱形?,1,知识点,正方形面积的性质,知1讲,正方形面积等于边长的平方或对角线平方的一半.,知1讲,例1,山西如图,点E在正方形ABCD的对角线AC 上,且EC2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a,则重叠部分四边形EMCN的面积为() A. B. C. D.,D,知1讲,导引:,作EPBC

2、于点P,EQCD于点Q,EPMEQN,利 用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解 如图,过E作EPBC于点P, EQCD于点Q, 四边形ABCD是正方形, BCD90. 又EPMEQN90, PEQ90, PEMMEQ90. 三角形FEG是直角三角形, NEFNEQMEQ90,,知1讲,PEMNEQ. CA是BCD的平分线,EPCEQC90, EPEQ,四边形PCQE是正方形 在EPM和EQN中, EPMEQN(ASA) SEQNSEPM, 四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积 正方形ABCD的边长为a,AC EC2AE,EC,知1讲,EPPC 正方形PCQE的面积 四边形

3、EMCN的面积,本例解法在于巧用割补法,将分散的图形拼合 在一起,将不规则的阴影面积集中到一个规则的正 方形中,再利用正方形的性质求出,解答过程体现 了割补法及转化思想,总 结,知1讲,1(中考南京)如图,菱形ABCD的面积为120 cm2,正方形AECF的面积为50 cm2,则菱形的边长为_,知1练,2如图,正方形ABCD的边长为2,H在CD的延长线上,四边形CEFH也为正方形,则BDF的面积为() A4 B. C D2,知1练,2,知识点,正方形的判定,知2导,讨论 老师给学生一个任务:从一张彩色纸中剪出一个正方 形. 小明剪完后,这样检验它:比较边的长度,发现四条 边是相等的,于是就判定

4、自己完成了这个任务.这种检验 可 信吗? 小兵用另一种方法检验:他量的不是边,而是对角线, 发现对角线是相等的,于是就认为自己正确地剪出了正方 形. 这种检验对吗?,知2导,小英剪完后,比较了由对角线相互分成的4条线 段, 发现它们是相等的.按照小英的意见,这说明剪 出的四边形是正方形. 你的意见怎样? 你认为应该如何检验,才能又快又准确呢?,(来自教材),知2讲,1.判定方法: (1)从四边形出发:有四条边相等,四个角都是直角的 四边形是正方形;对角线互相平分、垂直且相等的 四边形是正方形; (2)从平行四边形出发:有一组邻边相等并且有一个角 是直角的平行四边形是正方形;对角线互相垂直且 相

5、等的平行四边形是正方形; (3)从矩形出发:有一组邻边相等的矩形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形; (4)从菱形出发:有一个角是直角的菱形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形,知2讲,2.四边形间的关系: (1)四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的 包含关系如图.,知2讲,(2)四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的 转化关系如图:,知2讲,例2,如图,在ABC中,C90,CD平分ACB,DEBC,DFAC,垂足分别为E,F. 求证:四边形CFDE是正方形,要证四边形CFDE是正方 形,首先要确定这个正方 形建立在哪种四边形的基 础上,即先证它是什么四 边形;再证这种四边形是

6、 正方形需要补充的条件,导引:,知2讲,DEBC,ACBC,DECF. 同理DFCE, 四边形CFDE是平行四边形 CD平分ACB,DEBC,DFAC, DEDF, CFDE是菱形 ACB90,菱形CFDE是正方形 ECFCFDCED90, 四边形CFDE是矩形 CD平分ACB,DEBC,DFAC, DEDF,矩形CFDE是正方形,证法一:,证法二:,证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四种方法: 方法1:证:“四边形四边相等四个直角”; 方法2:证:“平行四边形一组邻边相等一个直角”; 方法3:证:“矩形一组邻边相等”; 方法4:证:“菱形一个直角” 说明:在判定四边形是正方形时,四边形常

7、常是建 立在矩形或菱形的基础上,采用方法3、方法4进行证明; 如证明中的证法一、证法二;本例也可采用方法1、方法 2,请读者去试一试,总 结,知2讲,知2讲,例3,如图,已知在 ABCD中,对角线AC,BD交于点 O,E是BD的延长线上的点,且EAEC. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若DACEADAED,求证:四边形 ABCD是正方形,知2讲,要证 ABCD是正方形有三种途径可走:即在平行四边 形、菱形、矩形的基础上,找各需补充的对角线的条件 进行证明;若要证明 ABCD是菱形,由于题中条件与 对角线相关,则需证ACBD. (1)首先根据平行四边形的性质可得AOCO,再由 EAE

8、C可得EAC是等腰三角形,然后根据等腰三角 形三线合一的性质可得EOAC,根据对角线互相垂直 的平行四边形是菱形可证出结论; (2)首先根据角的关系得出AODO,进而得到AC BD,再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结论,导引:,知2讲,(1)四边形ABCD是平行四边形, AOCO. 又EAEC,EOAC,即BDAC, 四边形ABCD是菱形 (2)ADOEADAED, DACEADAED, ADODAC,AODO. 四边形ABCD是菱形, AC2AO,BD2DO,ACBD, 四边形ABCD是正方形,证明:,证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法: (1)证:“四边形对角线互相垂直、平分且相

9、等”; (2)证:“平行四边形对角线互相垂直且相等”; (3)证:“矩形对角线互相垂直”; (4)证:“菱形对角线相等” 证明一个四边形是正方形的方法:结合条件选择合理的 判定方法,一般先证明是矩形,然后找出一组邻边相等 或对角线互相垂直;或者先证明是菱形,然后找一个角 是直角或对角线相等,总 结,知2讲,知2讲,例4,已知:如图,在四边形ABCD中,ACBD,AC BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点 求证:四边形EFGH是正方形,要证四边形EFGH是正方形, 以四边形、平行四边形、矩 形、菱形为基础都可以证出 所要证的结论;若以四边形 为基础,则只需证明四条边 相等,四个

10、角是直角即可,导引:,知2讲,E、F、G、H分别为四边形ABCD各边的中点, EFGHAC,FGEHBD, 且EFGH AC,FGEH BD. 又ACBD,ACBD, HEFEFGGHEFGH90, EFFGGHHE. 四边形EFGH是正方形,证明:,几种常见的中点四边形的命题: (1)连结四边形各边中点的四边形是平行四边形; (2)连结对角线互相垂直的四边形各边中点的四边形是矩形; (3)连结对角线相等的四边形各边中点的四边形是菱形; (4)连结平行四边形各边中点的四边形是平行四边形; (5)连结矩形各边中点的四边形是菱形; (6)连结菱形各边中点的四边形是矩形,总 结,知2讲,知2讲,中点

11、四边形的形状是由外围四边形的对角线之间的 关系确定的任意四边形的中点四边形是平行四边形; 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形;对角线互相 垂直的四边形的中点四边形是矩形;对角线相等且互相 垂直的四边形的中点四边形是正方形.,1把一张矩形纸片如图那样折一下就可以裁出正方 形纸片,为什么?,知2练,(来自教材),知2练,2(中考兰州) ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且ACBD,请添加一个条件:_,使得 ABCD为正方形 3(中考益阳)下列判断错误的是() A两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B四个内角都相等的四边形是矩形 C四条边都相等的四边形是菱形 D两条对角线垂直且互相平分的四边

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