4.4 知识储备（2） 导数及其运算.ppt

1、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四章,4.4 知识储备（2） 导数及其运算,4.4.2 导数的基本运算公式,4.4.1 导数的定义,4.4.3 导数的基本运算法则,4.4.4 高阶导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.4.1 导数的定义,1、速度问题,如果运行的轨迹方程是 ， 表时间， 表 时刻的位置，则 时刻的速度（即瞬时速度），为,平面曲线 ： 在曲线上点 处的切线 斜率为：,2、切线斜率问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.4.2 导数的基本运算公式,例15,由定义及二项展开式得,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即有

2、,实际上，有,特别是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例16,有,解,这个结果在前面的例8中已给出。于是有公式,同理可证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例17,求,的导数。,因为,解,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别是当,时，上述公式变成,于是有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例18,求,的导数。,因为,解,令,，,时，,则当,于是得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有,将上式中的底换成,，就有,反三角函数的导数公式：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例19,求常数函数,的导数。,不论自变量取何值，函数值均为同一常数，故,解,既有,4个三角函数的导数公式,

3、机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.4.3 导数的基本运算法则,1、导数的四则运算法则,1）有限个函数的代数和的导数等于每个函数的导 数的代数和：,2）两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数 乘以第二个函数，再加上第二个函数的导数乘 以第一个函数：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3）两个函数商的导数等于分子的导数与分母乘积 减去分母的导数与分子乘积的差，再除以分母 的平方：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例20,按上述法则，有,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例21,按商的求导法则，有,解,同理可证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例22,解,求函数,的导数。,机

4、动 目录 上页 下页 返回 结束,设,，而,，,2、复合函数求导法则,其中,为中间变量，则复合,的导数为,函数,注,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例23,求下列函数的导数：,（1）,（2）,（3）,（4）,（1）先进行分解：,，则有,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（3）可将函数看成是两个函数的商，按商的运算 法则就有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,于是得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（4）构成这个函数的两个函数实际上都是复合 函数，但其间是乘积关系，于是有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.4.4 高阶导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。 由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导数，所 以求高阶导数在计算方法上没有新东西，仍可沿用 前面学过的求导方法来计算高阶导数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般地，可得,即,类似地有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,归纳：,1、基本导数公式,（1