2.3 二次函数的质--.ppt

1、2.3二次函数的性质,向上,向上,向下,向下,y轴,y轴,y轴,y轴,（0、0）,（0、0）,（0、k）,（0、k）,复习回顾,向上,直线x=-h,（-h、0）,向下,直线x=-h,（-h、0）,向上,向下,直线x=-h,（-h、t）,直线x=-h,（-h、t）,对于二次函数y=ax2 +bx + c (a 0),图象:一条抛物线,抛物线的形状,大小,开口方向完全由_来决定.,当a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a的绝对值越大,则开口越小,反之成立.,a,根据函数图象填空： 抛物线y= -2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在 侧，即x_0时, y随着x的增大而增大；在 侧，即x_0时,y随着

2、x的增大而减小.当x= 时，函数y最大值是_.当x_0时,y0,(0,0),直线x=0,y轴右,y轴左,0,0,(0,0),直线x=0,Y轴右,Y轴左,0,0,根据函数图象填空： 抛物线y= -2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ，在 侧，即x_0时, y随着x的增大而增大；在 侧，即x_0时,y随着x的增大而减小.当x= 时，函数y最大值是_.当x_0时,y0,函数 y=ax2+bx+c 基本性质回顾,二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像是一条抛物线,合作学习,(1)当自变量增大时,函数的值将怎样变化?顶点在图象的位置有什么特点?,(2)判别这个函数有没有最小值或最大值.你能发现这是由解析

3、式中的哪一系数决定的吗?,(3)这个函数值的增减性是怎样变化的?,观察下列二次函数图像：,顶点在图像的位置有什么特点？,顶点是抛物线上的最高点（或最低点）,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的性质：,a0,a 0,(1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,观察二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象,y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+

4、2,求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。,解：A、B在x轴上， 它们的纵坐标为0， 令y=0，则x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2； A（1，0） ， B（2，0）,你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？,x2-3x+2=0,举例:,结论：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。,如果二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与x轴的两个交点的 坐标为 （ x1，0 ）和（ x2 ，0）,方程ax2+bx+c0 (a0)的解与二次函数y=ax2+bx+c (a0)的

5、图像与x轴交点的坐标有什么关系？,那么x1和 x2 恰好是方程ax2+bx+c0 (a0)的两个根,方程ax2+bx+c0 (a0)的解就是 函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与x轴交点的 坐标。,横,可以发现：二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与x轴交点的 存在性与,方程ax2+bx+c0 (a0)的,解是否存在有关。,合作探究,那么，进一步推想方程ax2+bx+c0 (a0)解的存在性又与什么有关呢？,b2 4ac的正负性有关。,故而： 当b2 4ac 时，抛物线与x轴 交点；,当b2 4ac 时，抛物线与x轴只有 交点；,当b2 4ac 时，抛物线与x轴 交点。,0 两个

6、,0 一个,0 没有,例1、已知函数y=0.5x27x7.5,(1)求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标轴的交点 坐标，并画出函数的大致图像；,解：（1）a=0.5,b=7,c=7.5;,所以函数y=0.5x27x7.5的大致图像如图：,自变量x在什么范围内时，y随x 的增大而增大？何时y 随x的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。,解： 由右图可知，当x7 时 ， y随x 的增大而增大；,当x7 时，y 随x的增大而减小；,当x7时，函数有最大值32。,(-15,0),(1,0),(0,7.5),(-7,32),(-14,7.5),.,0,x,y,(3）根据第（）题的图象草图，说 出

7、 x 取哪些值时， y=0; y0.,x=-15或x=1,x1,-15x1,A,B,C,SABC=0.5ABOC=0.5167.5=60,(4)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：,函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。,(0,c),y=ax2+bx+c,五点法:,X=-b/2a,练一练,解： y=2x28x12(x2)27,当x=2时,y有最小值,为7, a=30且b=5,c=1;,故:当x= 时，y有最 值，为,大,配方法,公式法,2、已知函数y=x23x4. 求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的大致图像；,解： y=x

8、23x4 (x1.5)26.25, 图象顶点坐标为(1.5, 6.25);,又当y=0时， 得x23x40的解为： x11，x24。 则与x轴的交点为(1,0)和(4,0),与y轴的交点为(0, 4),记当x1=1.5, x2= , x3= 时对应的函数值分别为y1,y2,y3,试比较y1,y2,y3的大小?,(2)在二次函数y=x2-3x-4中,自变量x_时,y随x 的增大而增大, x_时,y随x的增大而减小.,1.5,1.5, 1.5,即x2x3x1,y1y3y2,例2、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则a、b、c的符号分别怎样？,1、已知二次函数的图像如图所示，下列结

9、论： a+b+c0 a-b+c0 abc 0 b=2a 其中正确的结论的个数是（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个,2、下列函数何时有最大值或最小值，并求出最大值或最小值,3、二次函数y=x2bx+8的图像顶点在x轴的负半轴上，那么b等于多少？,D,做一做,例3、如图，在ABC中，AB=8cm，BC=6cm，B90，点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米秒的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，几秒后PBQ 的面积最大？最大面积是多少？,P,Q,解：根据题意，设经过x秒后PBQ的面积y最大,则：,AP=2x cm PB=（8-2x

10、） cm,QB=x cm,则： y=1/2 x（8-2x）,=-x2 +4x,=-（x2 -4x +4 -4）,= -（x - 2）2 + 4,所以，当P、Q同时运动2秒后PBQ的面积y最大,最大面积是 4 cm2,（0x4）,P,Q,1、已知抛物线经过点(3,0),(2,-3),并以直线x=0为对称轴(1)求这条抛物线的解析式.(2)求出这个二次函数的最大值或最小值.(3)在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x20,试比较y1与y2的大小.,综合练习,2、如图直线l经过点A(4,0)和B(0,4)两点,它与二次函数y=ax2的图像在第一象限内相交于P点,若AOP的面积

11、为4.5,求二次函数的解析式.,3、将抛物线y=x2向下平移后,使它的顶点C与它在x轴上的两个交点A,B组成等边三角形ABC,求此抛物线的解析式。,谈谈你的收获、感受？！,1、如图，等腰RtABC的直角边AB，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。 (1)设 AP的长为x，PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式 (2)当AP的长为何值时，SPCQ= SABC,解：）P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等,AP=CQ=x,当P在线段AB上时,即S (0x2）,课外拓展,当P在线段AB的延长线上时,SPCQ,即S (x2）,(2)当SPCQSABC时，有,此方程无实数根, , x1=1+ , x2=1 (舍去),当AP长为1+ 时，SPCQSABC,球运动路线的函数解析式和自