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文档简介

1、第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,格林公式及其应用,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),复连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 观察者左侧,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,一、 格林公式,推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,格林公式,例如, 椭圆,所围面积,例2. 计算,其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .,例1.,设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明,例3. 计算,其中L为一无重点且不过原

2、点,的分段光滑正向闭曲线.,例4. 计算,其中L是沿椭圆,的上半周由点 A(a,0) 到 B(-a,0) 的弧段.,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,说明:,根据定理2 , 若在某区域内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,则原函数为,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,例6. 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函,数 , 并求出它.,例5. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,例7. 设质点在力场,作用下沿曲线 L :,由,移动到,求力场所作的功W,思考: 积分路径是否可以取,为什么?,注: 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !,内容小结,1. 格林公式,2. 等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P, Q 在 D 内具有一阶连续

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