河南省许昌高级中学2020学年高二数学上学期尖子生期初考试试题 理（含解析）（通用）

1、许昌高中2021届高二尖子生上学期期初考试数学试题（理科）一、选择题1.已知等差数列的通项公式为， 则它的公差为 （ ）A. 2B. 3C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由可得，所以公差故C正确考点：等差数列的定义2.在ABC中，若，则A与B的大小关系为（ ）A. B. C. D. A、B的大小关系不能确定【答案】A【解析】【详解】因为在中，利用正弦定理，则可知ab，那么再利用大边对大角，因此选A.3.已知，则取最大值时值为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】配凑成和为定值，再利用均值不等式。【详解】当且仅当即时取等，所以选A.【点睛】法一：构造和为定值，再利用均值不等

2、式。法二：根据函数的单调性求解。4.同学们，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线 A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直【答案】D【解析】【分析】由题设条件可知，可以借助投影的概念对及三垂线定理选出正确选项【详解】解：由题意，若笔所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与笔所在直线垂直；若笔所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直，综上，当你任意摆放手中笔的时候，那么桌面所在的平面一定存在直线与笔所在的直线垂直故选：D【点睛】本题考查空间中直线与平面

3、之间的位置关系，解题的关键是熟练掌握线面垂直与三垂线定理，再结合直线与地面位置关系的判断得出答案5.已知某等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】所有的偶数项减所有的奇数项=10d【详解】，选B.【点睛】每一个偶数项前面都有一个奇数项，他们的差值为d.6.设是由正数组成的等比数列，且，那么的值是().A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】同底对数相加，真数相乘。利用等比数列的性质计算【详解】又所以故选B【点睛】本题考查同底对数的运算，等差数列的性质，属于基础题。7.下列推理错误的是（）.A. B. C. D. 【

4、答案】D【解析】【分析】ABC正确，当c=0时D错误【详解】A选项：在两边同时除以ab得到，正确B选项:又所以有，正确。C选项: 又，所以有即正确D选项：当c=0时不成立，错误故选D【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题。8.已知非零向量，若，则与的夹角（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件容易求出t=4，从而得出，从而得出可设与的夹角为，这样根据 即可求出cos，进而得出的值【详解】因t=4；，设与的夹角为，则：，故答案为：A【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面

5、:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.9.在中，则的形状为（）A. 正三角形B. 等腰三角形或直角三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【答案】D【解析】【分析】先用倍角公式降次，后化简，再利用 展开化简即得出答案【详解】，选D.【点睛】根据所给式子判断三角形的形状，利用正余弦定理将边化角或者角化边化简式子。10.如果的解集为，则对于函数应有 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x4，可得：a0，2，4是ax2+bx+c=0的两个实数根

6、，利用根与系数的关系可得：函数f（x）=ax2+bx+c=a（x22x8）=a（x1）29a，（a0）再利用二次函数的图象与性质即可得出【详解】不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x4，a0，2，4是ax2+bx+c=0的两个实数根，2+4=，24=那么对于函数f（x）=ax2+bx+c=a（x22x8）=a（x1）29a，（a0）此抛物线开口向下，其图象关系直线x=1对称，f（1）=f（3），f（2）f（3）f（5），f（2）f（1）f（5），故选：D【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、“三个二次”的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11.如图，一艘船自西向东匀速航行，上午时到

7、达一座灯塔的南偏西距塔海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的处，则这艘船航行的速度为（）A. 海里/时B. 海里/时C. 海里/时D. 海里/时【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，直接利用正弦定理解出MN.【详解】，在 中有 海里/时，选A.【点睛】本题考查正弦定理的使用，属于简单题。12.设二次函数，若对任意的实数，都存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】写出问题条件的反面，转换成 在上的最大值与最小值之差小于2.【详解】问题条件的反面为“若存在实数，对任意实数使得不等式成立”即 只要 在上的最大值与最小值之差小于2即可.当

8、， 得 。当 当。所以 ，综上可得,所求实数的取值范围是，选D.【点睛】问题转换成只需 在上的最大值与最小值之差小于2.即可，通过讨论b的范围，求出最大值和最小值的差，从而确定b的取值范围。二、填空题（20分）13.已知，则二元函数的最小值为_.【答案】【解析】【分析】直接利用不等式： 化简即可。详解】根据均值不等式： 所以有 当且仅当 时取等号。【点睛】直接利用不等式：化简属于中档题14.已知中，角的对边分别为，满足.若，则周长的最大值为_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理边化角解出A角，在利用再利用正弦定理角化边求出周长最大值。【详解】利用正弦定理 有：所以， ,又 又 【点睛】一般求周

9、长或面积的最值，将其转化为求三角函数的最值问题。15.已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由题意知恒成立，当时，不等式化为，显然恒成立；当时，则，即，综上实数的取值范围是，故答案填.考点：1、二次不等式；2、极端不等式恒成立.【思路点晴】本题是一个关于二次不等式以及极端不等式恒成立的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：将不等式的解集是空集的问题，转化为不等式恒成立的问题，在此应特别注意二次项的系数是否为零的问题，因此需要对其进行讨论，再结合二次函数的图象以及判别式，即可求得实数的取值范围.16.数列满足，则的80项和为 .【答案】【解析

10、】试题分析：因为当为奇数时，所以，因此，此数列每四项构成首项为，公差为的等差数列，的项和为，故答案为.考点：1、数列的递推公式；2、特殊数列求和.【方法点睛】本题主要考查数列的递推公式及特殊数列求和，属于难题.递推公式是给出数列的一种常见形式，已知递推公式求数列通项及前项和的题型，常见方法有三个：一是把递推公式进行变形，构造出为特殊数列求出通项；二是根据归纳推理归纳出通项进一步用数学归纳法证明；另外，对于选择填空题也直接用不完全归纳法求解.三、解答题（70分）17.已知在中，角的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理，代入原

11、式，整理，再公共辅助角公式化简，根据，计算角；（2）因为知道代入余弦定理，得到，最后代入面积公式，计算面积试题解析：（1）在中，由正弦定理得，即，又角为三角形内角，所以，即，又因为，所以（2）在中，由余弦定理得：，则即，解得或，又，所以考点：1正弦定理；2余弦定理；3面积公式18.某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为4 800立方米，深度为3米池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元设池底长方形长为x米（1）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；（2）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?【答案】（1)1600,（平方米）；（2）池底设计为边长40米的正方形时总造

12、价最低，最低造价为268800元.【解析】【详解】（1）根据题意，由于修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为4 800立方米，深度为3米可得底面积为1600，池壁面积s=.（2）同时池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元设池底长方形长为x米，则可知总造价s=,x=40时，则.故可知当x=40时，则有可使得总造价最低,最低造价是268800元.考点：不等式求解最值点评：主要是考查了不等式求解最值的运用，属于基础题.19.已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5（）求的通项公式；（）求和：【答案】（1）an=2n1.（2）【解析】试题分析：（）设等

13、差数列的公差为，代入建立方程进行求解；（）由是等比数列，知依然是等比数列，并且公比是，再利用等比数列求和公式求解.试题解析：（）设等差数列an的公差为d.因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n1.（）设等比数列的公比为q.因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以.从而.【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正

14、着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和. 20.某小组为了研究昼夜温差对一种稻谷种子发芽情况的影响，他们分别记录了4月1日至4月5日的每天星夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数，得到如下资料：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日温差91011812发芽数（颗）3830244117利用散点图，可知线性相关。（1）求出关于的线性回归方程，若4月6日星夜温差，请根据你求得的线性同归方程预测4月6日这一天实验室每100颗种子中发芽颗数；（2）若从4月1日 4月5日的五组实验数据中选取2组数据，求这两组恰好是不相邻两天数据的概率.（公式：）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1

15、）先求出温差x和发芽数y的平均值，即得到样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，得到的值，得到线性回归方程；再令x5时，得y值；（2）利用列举法求出基本事件的个数，即可求出事件“这两组恰好是不相邻两天数据”的概率【详解】（1） ，由公式，求得，所以y关于x的线性回归方程为,当， （2）设五组数据为1,2,3,4,5则所有取值情况有：（12），（13），（14），（15），（23），（24），（25），（34），（35），（45），即基本事件总数为10设“这两组恰好是不相邻两天数据”为事件A，则事件A包含的基本事件为（13），（14），（15），（24），（25），（35）所以P（A），故事件A的概率为【点睛】本题考查求线性回归方程，考查古典概型概率的计算，准确计算是关键，属于中档题21.已知集合P，函数的定义域为Q.（）若PQ ，求实数的范围；（）若方程在内有解，求实数的范围.【答案】 (1) （2）【解析】【分析】（）由题得不等式在上有解，即有解，求出即得解. （）由题得在有解，即求的值域得解.【详解】（）P，PQ，不等式在上有解，由得，而， （） 在有解，即求的值域，设【点睛】（1