中考数学专题突破导学练第17讲等腰三角形试题

1、第十七届等腰三角形【知识的整理】1 .概念和分类两边相等的三角形称为等腰三角形，三边相等的三角形也称为等腰三角形，等腰三角形分为腰底不等的等腰三角形和腰底相等的等腰三角形。2 .等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)(2)等腰三角形顶角平分线、底边上的高度、底边上的中线相互重合，简称“三线一体型”(3)等腰三角形是轴对称图形。3 .等腰三角形的判定(1)两边相等的三角形为等腰三角形(2)两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)。4 .等边三角形角的性质：三个内角相等，等于605 .等边三角形的判定：三个角相等的三角形是等边三角形。一个角为60的等腰三角形是等边三角形两

2、个角为60的三角形是正三角形。【试验点解析】试验点1 :等腰三角形的性质和判定已知如果满足实数x、y，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A.20或16B.20C.16D .上述答案是错误的【分析】在非负的意义上列举与x、y有关的方程式求x、y的值，讨论x根据腰长和底边长两种情况求解解：从题意得到，可以解开(1)如果4为腰长，则三角形的三边长为4、4、8不能构成三角形(2)如果4是底边长度，则三角形的三边长度为4、8、8可以形成三角形，周长是四八八=二十。所以选择b。本问题研究了等腰三角形的性质、非负数的性质以及三角形的三边关系的解题主要利用非负数的性质，在分开情况解题时必须注意利用

3、三角形的三边关系来判断三边是否构成三角形。试验点2、等边三角形的性质和判定如图所示，该点p处于等边ABC的内部，并且在PC=6、PA=8和PB=10时，线段PC围绕该点c顺时针旋转60度以获得PC，在连接AP时，sinPAP为真。【试验点】R2:回转的性质KK :正三角形的性质T7:解直角三角形。如果连接PP，如图所示，利用旋转的性质得到CP=CP=6、PCP=60，则CPP判定为正三角形，得到PP=PC=6，能够证明解：连接PP，如图所示，线段PC围绕点c顺时针旋转60圈，得到PC，cp=cp=6、pcp=60，cpp 是等边三角形，pp=pc=6，ABC是等边三角形，CB=CA，ACB=6

4、0，PCB=p ca，以及，在PCB和pca中，PCBp ca，pb=pa=10，82=102，pp2ap2=pa2，app 为直角三角形，app=90，pap =。所以答案是【中考热点】(2017宁德)如图所示，在ABC中，AB=AC、点d、e分别在边BC和AC上，如果AD=AE，则下面的结论是错误的()a.ADB=ACB.cadb.ade=aedCDE=badd.aed=2ECD【试验点】KH :等腰三角形的性质【分析】根据三角形外角的性质，等腰三角形的性质，如果选择项a，b，c正确，选择项d错误，可以得到答案ADB是ACD的外角，ADB=ACB CAD，选项a是正确的。AD=AE，ade

5、=aed，选项b是正确的。ab=交流，b=c，以及，ADC=ade、CDE=b、bad、aed=CDE、cCDE，CDE，CDE，CDE，badCDE=bad，选项c是正确的。aed=ECD CDE，ECDCDE，选项d错误故选： d【注释】本问题的关键是要好好把握等腰三角形的性质，调查了三角形外角的性质的等腰三角形的性质和三角形外角的性质【柔性检查】选择题：1 .如图所示，如果正ABC的边的长度为2，通过点b的直线lAB上，ABC和aBC关于直线l对称，d为线段BC上的一个动点，则AD CD的最小值为()A.4 B.3C.2D.2【试验点】轴对称-最短路线问题等边三角形的性质【分析】连接cc

6、，将ac的交y轴连接到点d，连接AD，则AD CD的值最小，根据等边三角形的性质，四边形CBAc为菱形，根据菱形的性质，可以求出ac的长度，得出结论。解答：连接cc，将ac连接到点d，如果连接AD，则AD CD的值变为最小，如图所示。ABC和a BC 是正三角形，ABC和a BC 关于直线l对称，四边形cbac 是边的长度为2的菱形，bac=60，ac=2ab=2。所以选择c。如图所示，在ABC中，AB=AC、d是BC上的点，并且DA=DC、BD=BA，b的大小是()A.40B.36C.30D.25【试验点】KH :等腰三角形的性质根据AB=AC得到b=c，根据CD=DA得到ADB=2c=2b

7、，得到BA=BD，得到bda=。解： AB=AC，b=c，以及，CD=DA，c=直流，BA=BD，BDA=bad=2、c=2、b另外，bad BDA=180，b=180，B=36，所以选择b。3. (2017广西河池)等边ABC的边长为12，d表示AB上的动点，d表示DEAC过点e，e表示EFBC过点f，f表示FGAB过点g.g和dA.3B.4C.8D.9【试验点】KK :等边三角形的性质ko :包含30度角度的直角三角形如果设AD=x，则根据等边三角形的性质得到a=b=c=60，根据垂直的定义得到ADF=deb=EFC=90，求解直角三角形得到结论解：设AD=x，ABC是等边三角形，a=b=

8、c=60，DEAC是点e，EFBC是点f，FGAB，ADF=deb=EFC=90，AF=2x，cf=12、2 x，ce=2cf=24、4 x，be=12-ce=4x-12，BD=2be=8x，24，AD BD=AB，x 8x24=12，x=4，AD=4。所以选择b。4 .通过三边都不等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果一个是等腰三角形，另一个三角形与原三角形相似，就把这个线段定义为原三角形的“调和分割线”。 如图所示，线段CD是ABC的“调和分割线”，ACD是等腰三角形。【试验点】S7 :相似三角形的性质KH :等腰三角形的性质【分析】ACD推出等腰三角形，ADCBCD，A

9、DCA，即ACCD，分为两种情况，分为AC=AD的情况，DA=DC的情况解：BCDBAC，BCD=a=46，ACD是等腰三角形，ADC BCD，ADC a，即ACCD，在AC=AD的情况下，ACD=ADC=67，ACB=67 46=113，在DA=DC的情况下，ACD=A=46，ACB=46 46=92，答案是113或92填空题：5. (2017江西)图1是园林剪刀，将其抽象化为图2，其中OA=OB .剪刀打开的角度为30时，A=75度。【试验点】KH :等腰三角形的性质【分析】由等腰三角形的性质和三角形的内角和得出结论解： OA=OB，AOB=30，A=75，答案是756 .有面积为5的等腰

10、三角形，其一个内角为30，以其腰长为边的正方形面积为20和20【试验点】正方形的性质等腰三角形的性质在30度角为等腰三角形顶角的情况、30度角为底角的情况下，分别制作腰上的高度即可在图1中，在A=30、AB=AC时，设AB=AC=a，把BDAC设为d，然后把A=30，BD=AB=a，aa=5，a2=20，ABC的腰长为边的正方形的面积是20。在图2中，当ABC=30、AB=AC时，将BDCA的交CA的延长线设为d、将AB=AC=a，ab=交流，ABC=c=30，BAC=120，BAD=60，在RTABD中，D=90、BAD=60，BD=a，aa=5，a2=20，ABC的腰长为边的正方形的面积是

11、20。答案是二十或二十7 .如图所示，等边三角形的顶点a (1，1 )、b (3，1 )规定了一次变换等边ABCx“沿着x轴折回后向左各移动1个单位”，在这样连续变换2016次之后等【试验点】折叠变换(折叠问题)等边三角形的性质坐标和图形的变化-平移根据轴对称判断为位于点a变换后x轴上，求出点a的纵坐标，根据平移距离求出点a变换后的横坐标，最后写入即可.解：解：ABC是等边三角形ab=3，1=2，从点c到x轴的距离为1 2=1，横轴是2a (2，1 )，第2016次变换后的三角形在x轴上点a的纵轴为1横轴为2-20161=-2014，因此，点a的对应点a的坐标为(-2014，1，1 )所以答案

12、是： (-2014，1，1 )。8 .图是长方形的纸片ABCD，AB=8，AD=7，e是AB上的一点，已知AE=5。 现在，切取一张等腰三角形的纸片(AEP )，在长方形ABCD的某边落下点p，则等腰三角形AEP【试验点】矩形的性质等腰三角形的性质链的定理【分析】分情研究： AP=AE=5时，AEP为等腰直角三角形，得到底边PE=AE=5即可。在PE=AE=5的情况下，可以求BE，根据链的定理求PB，根据链的定理求等边AP。在PA=PE的情况下，底边AE=5； 可以得出结论解：如图所示在AP=AE=5的情况下，BAD=90，AEP是等腰直角三角形，底边PE=AE=5；在PE=AE=5的情况下，

13、be=ab-ae=8-5=3，B=90，PB=4，底边AP=4；在PA=PE的情况下，底边AE=5；总的来说，等腰三角形AEP的对边长度是5、4或5答案是五、四或五三解答问题：9 .喜欢思考的茜在调查两条直线的位置关系调查资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线相互垂直的三角形叫做“中垂三角形”。 在图(1)、图(2)、图(3)中，AM、BN为特例探究(1)如图1所示，在tanPAB=1、c=4的情况下，a=4、b=4。如图2所示，在PAB=30、c=2的情况下，a=、b=；【归纳证明】(2)观察(1)的修正运算结果，推测a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示，用图3证明你的结论。【扩展证

14、明书】(3)在图4、ABCD中，e、f分别是AD、BC的三等分点，并且AD=3AE、BC=3BF，连接AF、BE、CE，并且BECE是e、aad【试验点】四边形综合问题(1)首先证明APB、PEF均为等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，利用拉链定理即可解决问题。连接ef，在RTPAB、RTPEF中，利用30个性质求出PA、PB、PE、PF，可以再利用锁定处理解决问题。(2)若设结论a2b2=5c2.mp=x、NP=y，则成为AP=2x、BP=2y，如果利用拉链定理分别求出a2、b2、c2，则能够解决问题。(3)取ab中点h，连接FH，将正交DA的延长线延长至p点，首先证明ABF为中垂直三角形，使用(2)的结论列举方程式即可解决问题。解：如图1所示，CE=AE、CF=BF，EFAB、EF=AB=2，tanPAB=1，PAB=PBA=PEF=pfe=45，PF=PE=2，PB=PA=4，AE=BF=2。b=AC=2AE=4，a=BC=4。答案是四四在图2中，连接EF，CE=AE、CF=BF、EFAB、EF=AB=1，PAB=30，PB=1、PA=、在RTEFP中，EFP=PAB=30，PE=，PF=，AE=、BF=，a=BC=2BF=，b=AC=2AE=，答案各不相同(2)结论a2 b2=5c2。证明：在图3中，连接EFaf、BE是中线，EF=AB、EF=AB、fpe