高数期末考试试题

1、南开大学 2008 级物理类高等数学统考试卷2009 年 1 月 8 日 一、求极限： （共三道题，每小题 6 分） (1) )213(lim 22 nnnn n (2) 2 /1 0 ) sin (lim x x x x (3) x x x x e /1 1 0 ) 12(lim 二、 （10 分）求隐函数 xy xexy 2 在(1,0)点的切线方程. 三、 （9 分）求函数 x xxy)1 ( 2 的一阶导数. 四、(共两道题，每小题 9 分）求下列不定积分： (1) dxex x (2) 22 1)3(xx xdx 五、 （共两道题，每小题 9 分）求下列定积分： (1) 4/ 0 s

2、in1 x dx (2) 1 0 )1ln(dxx 六、 （10 分）设 x xtt dt y sin 2 1 ，求 dx dy . 七、 （10 分）设, eyx证： yx xy . 八、 （7 分）设)(xf在0, 1上连续，在(0, 1)内可导，且),1 ()0(ff 证：对,.,3 , 2n存在1.0 21 n ,使 n i i f 1 0)( 南开大学 2009 级物理类高等数学统考试卷2009 年 1 月 8 日 一、计算下列各题： （共 30 分,每小题 10 分） 1、试求a的值，使函数 0 0 1 sin xea x x x xf x 在0 x处连续。 2 、 设 函 数 x

3、vxu,在,上 可 导 ， 且 , 0 xxu， 求 函 数 xv xuxy s i n 的导数。 3、计算不定积分dxx lnsin. 二、求函数 1 2 xxxf在区间2 , 0上的最大值和最小值。 （10 分） 三、讨论函数 21 x axf的单调性和凹凸性，其中1a。 （10 分） 四、计算定积分 dx x xxx 1 1 2 2 2 1 tanarctan ， （15 分） 五、计算极限 2 0 2 0 cos1 sinsin lim x dttx x x 。 （15 分） 六、设函数 xf在区间ba,内可导，证明：函数 xf在区间ba,内可导，其 中1. 七、 设函数 xgxf,在

4、闭区间ba,上连续，且 dxxf b a =0，证明：存在ba,， 使 0 dxxfgf a . 南开大学 2010 级物理类高等数学统考试卷2011 年 01 月 17 日 一、求下列极限（18 分=92） ： (1)ln) 1(ln(limxxx x (2) 2 0 3coscos lim x xx x 二、 （12 分=62）(1)求函数 x xy sin 的导数；(2) 设隐函数)(xyy 由方程 xyyx 33 确定，求 dx dy . 三、 （12 分=62）求下列不定积分： (1) )1 (xx dx (2)dx xxx x 22 1 23 四、 （18 分=92）计算： (1)

5、dx x x x 1 12 23 4 ) 2 (arcsin (2) 2 0 0 3 0 sin lim x x x tdt dtt 五、 （12 分）给定曲线92 2 xxy，确定b，使得直线bxy 为该曲线的切线。 六、 （12 分）证明不等式 )1 (2 )1ln( 2 x x xx ，), 0( x. 七、 （10 分）设)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导(ba 0)，)()(bfaf， 证明存在),(,ba，使得)( ln 2 )( 22 f ab a b f . 八、 （6 分）设函数)(xf在),(上连续，函数dttfxfx x 0 )()()(单调递减, 证明：),(,

6、 0)(xxf. 南开大学 2011 级物理类高等数学统考试卷2012 年 1 月 9 日 一、求下列极限（20 分=54） ： (1) nnnn n 3lim (2) 1 3 1 )ln1 (lim x x x (3) xx x x 1 sin 1 cotlim 0 (4) )1ln()cos1 ( 1 cossin3 lim 2 0 xx x xx x 二、 （10 分）设函数)(xyy 由 23 )1ln( tty ttx 确定，求. dx dy 三、 （10 分）求曲线yxyln在点), 1(ee处的切线方程. 四、 （10 分）求函数 x xxf)(在), 0( 上的最小值. 五、

7、（10 分）求曲线)1ln( 2 x的凹凸区间和拐点. 六、 （10 分） （10 分=52）求下列不定积分： (1) ;cosdxx (2) dx x xx 1 arctan 2 2 七、 （10 分=52）计算： (1) 1 0 1 12 dx x x (2) dxxxx 2 2 223 cossin 八、 （8 分）设 , 0, 0 , 0, )( )( x x x exg xf x 其中)(xg有二阶导数，且1)0(g， 1)0( g . (1)求)(x f ； (2)讨论)(x f 在),(上的连续性. 九、 （6 分）设函数)(xf在闭区间 1 , 1上具有连续的三阶导数，且, 0

8、) 1(f . 0)0( , 1) 1 (ff求证：在开区间) 1 , 1(内至少存在一点,使得. 3)( f 十、 （6 分）设)(xf在)0(,aba上连续，且0)( dxxf b a .求证：存在),(ba 使得).()( fdxxf a 南开大学 2012 级物理类高等数学统考试卷2013 年 1 月 7 日 一、求下列极限（15 分=53） ： (1) nnn n 12lim 2 (2) x xx x cos1 11 lim 232 0 (3) )21ln()11( 1 1 arctan)( lim 232 tan 0 xxxx x x ee xx x 二、 （10 分）设)(xyy

9、 是由方程xydtex y t 1 2 2所确定的隐函数，求 dx dy 及 . 0 xdx dy 三、 （10 分）已知参数方程 ),2arcsin( ,2sin 2 ty ttx 求 dx dy . 四、 （20 分102）求下列不定积分： (1) ; 1 2 arctan dx x e x (2) . )1ln( 2 dx x x 五、 （20 分=102）计算定积分： (1) 1 1 23 1) 1(dxxx (2) 2 0 2 sin xdxex 六、 （10 分）设 , 0, 0 , 0, )( x xx xfy x 讨论)(xf的连续性，并求单调区间、 极值与渐近线. 七、 （5

10、 分）已知)(xf为连续函数, 且1)0(f, 求极限 xx dttxfx x x sin )( lim 0 2 0 . 八、 （5 分）设)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导，且有aaf)(， )( 2 1 )( 22 abdxxf b a ， 求证：在),(ba内至少有一点，使得1)()(ff. 九、 （5 分）求. )( 1 2dx ex xe x x 南开大学 2013 级物理类高等数学统考试卷2014 年 1 月 7 日 一、求下列极限（15 分=53） ： (1) 2 lim 32 n nn n (2) x x x ex 1 0 )(lim (3) 2 0 )1ln( sin

11、1tan1 lim xxx xx x 二、 （10 分）设)(xyy 是由方程xye yx cos 所确定的隐函数，求 0 x dy 三、 （10 分）求曲线 tey tex t t cos 2sin 在点) 1 , 0(处的法线方程. 四、 （20 分102）求下列不定积分： (1) ; 1 1 dx ex (2) . sin sinln 2 dx x x 五、 （20 分=102）计算定积分： (1) 4 4 sin1 1 dx x (2) 1 0 )1ln(dxx 六、 （10 分）已知 bxaxxxf 23 )(在1x处有极值2， （1）试确定系数ba,，并求)(xfy 的所有极值，凹

12、凸区间和拐点. （2） 计算由平面区域0)(, 10),(yxfxyxD绕x轴旋转一周所生成的 旋转体的体积. 七、 （7 分）设函数)(xf在 3 , 0上连续, 在)3 , 0(内有二阶导数，且 2 0 ).3()2()()0(2ffdxxff 证明：存在),3 , 0(使得0)( f. 八、 （8 分）设 0)( 0 sin 1 0 1 cos 2 coscos1 1 )( 1 lim lim x,xf x,dx x x x,x n n n x n x n xf n n n n ， （1）讨论)(xf在0 x的连续性，可导性，可导时求出导数)0( f ； （2）求函数)(xf在,上的最大

13、值. 2014 级一元函数微分统考试卷2014 年 11 月 29 日 一、选择题（每小题 4 分，共 20 分） ： 1. 1x 是函数 2 1 ( ) 1 x f x x 的_间断点. A可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 第二类间断点 D. 以上都不是. 2. 要使 0 0 0 , sin , 1 , x x x b x xa be xf ax 在 x=0 处连续, a,b 的取值为_. Aa=1, b=1； B. a=1,b=0; C. a=0,b=1； D. a=0, b=0. 3. 假设 2 ) 1()( xxf，则)(xff A. 232 x； B. 222 x； C. 314x

14、； D. xx22 2 4. 3 0 sin lim 3 x x xx =_， A 1 3 ； B 1 ； C 0 ； D 5. 可导的偶函数的导数是_， A. 偶函数； B. 奇函数； C. 非奇非偶函数； D. 不确定 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）: 1. 请指出间断点的类型: x=0 是函数 1 ( )sinf x x 的 间断点. 2. 2 lim(1)x x x = _ 3. 若)1arctan()( 2 xxf，则)(xf_ 4. 若 1 1 )(arctan 2 t tf，则 ) 6 (f 5. f(x)在 a 处可导,导数为 f(a), 则 h afhaf h )

15、()2( lim 0 三、计算下列各题（每小题 5 分，共 20 分） （1）求极限 2 1 2 sinlim x x x x . （2）求由方程)ln()(=2yxyxxy-所确定的隐函数)(=xyy的微分dy. （3） 一根线长 200,要用它构成一个正方形和一个圆形,问如何分配,才能使它构成 的图形面积和最小? （4）设)(xf在1=x处连续，且2= 1 )( lim 1-x xf x ，求 ) 1 ( f. 四、设 )( sin xtftx ty ，其中f为可导函数，求. dx dy （7 分） 五、已知)(xf在),(内可导，且 ,)(limexf x )1()(limlim xfx

16、f cx cx x x x 。 求c的值.（7 分） 六、设xy 0,1p,试用微分中值定理证明： )()( 11 yxpxyxyxpy pppp .（7 分） 七、设函数( )f x在=0 x处有二阶导数，且 0 ( ) lim0,(0)2 x f x f x ，求 1 0 ( ) lim1x x f x x . （7 分） 八、证明方程xxxcos 2 1 4 1 在,内只有两个实根。 （6 分） 九、设函数( )f x在( , )a b内可导，且( )fx单调，求证：( )fx在( , )a b内连续. （6 分） 2014 级一元函数积分统考试卷2015 年 1 月 19 日 一、选择

17、题（共 6 题，每小题 5 分，共 30 分） ： 1. 4 3x xdx = AC x 3 arcsin 32 1 2 B. C x 3 arcsin 2 1 C. 2 arcsin 32 1 x D. C x 3 arcsin 2 1 2 2. 设 2 1 2 1 0 xfdttf x ,则 xf A. 2 x e B. 2 2 1 x e C. x e2 D. x e2 2 1 3. xdxxcos A. Cxxxcossin B. Cxxxcossin C. Cxxxcossin D. Cxxxcossin 4. 3 0 2 0 sin lim x dtt x x = A. 0 B.

18、1 C. 3 1 D. 5. 设ba , 是两个非零向量，则下列命题中必能推出ba 结论的是 A. 22 2 baba B. baba C. bababa D. 2 2 22 bababa 6. 过空间直角坐标系原点，且法向量为1 , 1 , 1n 的平面方程是 A01zyx， B.01zyx C. 0zyx D. 02zyx 二、填空题（共 6 题，每题 5 分，共 30 分） 1. 设 xf的一个原函数是xsin，则 dxxf 2. 已知 xf的一个原函数为 x xsin , 则 dxxf x 2 3. 22 ax dx = 4. 曲线xyln与两直线xey1及0y所围平面图形的面积是 5

19、. 5 5 24 23 12 sin xx xdxx 6. 已知|a|=4, |b|=3，求l使得a+lb与a-lb垂直_ 三、设( )F x是( )f x的一个原函数, 2 (1) 4 F . 若当0 x 时，有 arctan ( )( ) (1) x f x F x xx , 试求( )f x.（6 分） 四、已知函数f( )x连续， 0 ()1cos x tf xt dtx ，求 2 0 ( )f x dx .（6 分） 五、设 Cxdxxxf arcsin ，求 xf dx 。 （6 分） 六、.计算 2 0 6 )sin1 ()(dxxx （6 分） 七、 计算极限 )1ln(arc

20、tan lim 2 2 0 sin 0 xx dtee x tx x （4 分） 八、求函数 dtetxxf t x 0 在区间 1 , 0上的最大值和最小值。（4 分） 九、 设函数( )f x在 , a b上连续且严格单调增加，求证 dxxf ba dxxxf b a b a 2 。 （4 分） 十、设函数( )f x是0,1上的非零连续函数，且 1 0 ( )0f x dx ， 0 1 0 dxxxf， 试证：在区间1 , 0内( )f x至少有两个零点。 （4 分） 2015 级一元函数微分统考试卷2015 年 11 月 28 日 一、选择题（每小题 6 分，共 24 分） 1.函数

21、0,cos 0,cos )( xx xx xf在0 x处的左、右极限是( ) A. 左、右极限均为1 B. 左、右极限均为1 C. 左极限为1，右极限为1 D. 左极限为1，右极限为1 2. x ex x sin 1 lim 0 ( ) A.0 B. 1 C. 2 1 D. 3.1x是函数 23 1 )( 2 2 xx x xf的( ) A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.第二类间断点 D. 以上都不是 4.设 1, 1, 3 2 )( 2 2 xx xx xf，则)(xf在1x处( ) A. 左右导数都存在 B. 左导数存在，右导数不存在 C. 左导数不存在，右导数存在 D. 左右导数都不存

22、在 二、填空题（每小题 6 分，共 24 分） 1.设 1 x x e e y，则dy_. 2.设隐函数)(xyy 由方程xyyxln 2 确定，则 y _. 3. 函数 2 ) 3( xxy在区间3 , 0上的最大值是_. 4.曲线 2 3 ) 1( ) 1( x x y的斜渐近线是_. 三、求函数)3( 2 xxy的单调区间和极值点。 （10 分） 四、求曲线 x xey 的凹凸区间及拐点。 （10 分） 五、设方程 0 2 sin 123 2 yyt ttex 确定y为x的函数，其中t为参变量，求 0t dx dy .（10 分） 六、求 2 0 11 1sin lim x xex x

23、.（10 分） 七、证明不等式 x x x x 1 2 1 )0( x.（6 分） 八、设)(xf在, 21 xx上可导，且 21 0 xx ，试证：),( 21 xx内至少存在一个， 使 21 1221 )()( )()( xx xfxxfx ff .（6 分） 2015 级一元函数积分学统考试卷2016 年 1 月 5 日 一、选择题（每小题 5 分，共 20 分） 1.设)()(xfxF,则下列函数中是 )(dxxf dx d 的原函数的是（ ） 。 A.)(xf B.)(xF C.)(x f D.dxxf)( 2. 由1)( 2 xxf和3)( 2 xxg所围图形的面积是（ ） 。 A

24、. 3 8 B. 3 4 C. 3 16 D. 3 10 3. 不定积分 xx dx ln1 等于（ ） 。 A. Cx ln1 B. Cx ln12 C. Cx ln1 2 1 D. C x ln1 1 4. 定积分 1 1 2 1 sin dx x x 等于（ ） 。 A. 0 B. 1 C. 1 D. 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 1. 不定积分 dxxe x = 。 2. 设Cxedxxf x )(,则)(xf= 。 3. 已知 x xdttf 0 32) (,则 1 0 )(dxxf= 。 4. 定积分 e dx x x 1 ln1 = 。 三、计算下列积分（每题 8

25、分，共 24 分） 1. )1 ( 2xx ee dx 2. 1 0 arctanxdxx 3. 2 4 cos1 x dx 四、计算xxf)(和xxxgsin)()0( x所围图形的面积。 （8 分） 五、计算不定积分dx x x x x 2 2 2 1 1arcsin （8 分） 六、设)(xf二阶可导，1)0(, 0)0(ff，求极限 4 0 32 0 )( lim x dttttf x x .（8 分） 七、设( )f x在 1 ,0上可导，0)1()0(ff，且在1 , 0上Mxf)(，求证 4 )( 1 0 M dxxf （6 分） 八、设( )f x在0,1上可导， 2 0 ( )( )d x F xt f tt，且(1)(1)Ff，证明：至少存在 一点(0,1)，使得 2 ( ) ( ) f f 。 （6 分） 2016 级一元函数微分统考试卷2016 年 11 月 12 日 一、选择题（每小题 6 分，共 24 分） 1. 0 x 是函数 ( ) 1 x x f x e 的_间断点. A可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 第二类间断点 D. 以上都不是. 2. 如果函数 1 arcsin ,0 2 ( )00