第2小题 复数（高考必考22题）2024年高考《数学》复习题型分类与方法点拨（解析版）

第第页第2小题复数TOC\o"1-5"\h\u第2小题复数 1一、主干知识归纳与回顾 22.1复数的概念 22.2复数的四则运算 2（一）命题角度剖析 3（二）考情分析 3（三）高考预测 4二、题型分类与预测 4命题点一：复数及其几何意义 41.1母题精析（三年高考真题） 4一．虚数单位i、复数（共1小题） 4二．复数的代数表示法及其几何意义（共2小题） 4三．共轭复数（共4小题） 5四．复数的模（共2小题） 61.2解题模型 71.3对点训练（四年省市模考） 8一．虚数单位i、复数（共1小题） 8二．复数的代数表示法及其几何意义（共10小题） 8三．纯虚数（共5小题） 11四．共轭复数（共12小题） 13五．复数的模（共15小题） 17命题点二：复数的四则运算 231.1母题精析（三年高考真题） 23一．复数的运算（共10小题） 231.2解题模型 261.3对点训练（四年省市模考） 26一．复数的运算（共21小题） 26三、类题狂刷（五年区模、校模）： 33一．复数的代数表示法及其几何意义（共9小题） 33二．纯虚数（共1小题） 36三．复数的运算（共18小题） 36四．共轭复数（共10小题） 43五．复数的模（共18小题） 46一、主干知识归纳与回顾2.1复数的概念1.复数：形式如的数叫复数，其中叫虚数单位，.叫复数的实部，叫复数的虚部.2.复数的分类复数3．复数的几何意义复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中轴叫做实轴，轴叫做虚轴.4.复数的模向量的模叫复数的模或绝对值，即.5.共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数用表示，.2.2复数的四则运算1．复数的加、减运算及其几何意义（1）复数加减法：；（2）复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行：分别对应复数，即，则对应复数.2.复数的乘、除运算（1）复数的乘法：；（2）复数的除法.3.常见的运算规律（一）命题角度剖析1.复数及其几何意义★★★★☆2.复数的四则运算★★★★★（二）考情分析高考频率：100%试题难度：容易呈现形式：以选择题或填空题呈现（三）高考预测试题试题以复数的相关概念(纯虚数、共轭复数、模等)为载体，考查复数的四则运算及其几何意义，常出现在选择题前两题的位置上二、题型分类与预测命题点一：复数及其几何意义1.1母题精析（三年高考真题）一．虚数单位i、复数（共1小题）1．（2022•浙江）已知，，为虚数单位），则A．， B．， C．， D．，【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．【解答】解：，，，，，故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的相等，是基础题．二．复数的代数表示法及其几何意义（共2小题）2．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，则在复平面内，对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（2021•新高考Ⅱ）复数在复平面内对应点所在的象限为A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．【解答】解：，在复平面内，复数对应的点的坐标为，，位于第一象限．故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．三．共轭复数（共4小题）4．（2023•北京）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数A． B． C． D．【分析】根据复数的几何意义、共轭复数的定义即可得出结论．【解答】解：在复平面内，复数对应的点的坐标是，，则的共轭复数，故选：．【点评】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（2023•全国）已知，则A． B． C． D．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数即复数的模的概念得答案．【解答】解：由，得，则，．故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．6．（2022•新高考Ⅰ）若，则A． B． C．1 D．2【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，再求出．【解答】解：由，得，，则，．故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7．（2022•甲卷）若，则A． B． C． D．【分析】先求出，由此能求出．【解答】解：，，则．故选：．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．四．复数的模（共2小题）8．（2023•乙卷）A．1 B．2 C． D．5【分析】直接利用复数的模的运算求出结果．【解答】解：由于．故选：．【点评】本题考查的知识要点：复数的运算，复数的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．9．（2022•北京）若复数满足，则A．1 B．5 C．7 D．25【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．【解答】解：由，得，．故选：．【点评】本题考查复数模的求法，考查化归与转化思想，是基础题．1.2解题模型1.复数概念的有关问题的解法(1)求一个复数的实部与虚部，首先要将已知的复数化为标准的代数形式Z=a+bi(a,b∈R),再得到该复数的实部为a,虚部为b.(2)根据复数是实数、纯虚数等，求参数值时，只需将复数化为标准的代数形式，再列出实部、虚部满足的方程(组)或不等式(组)即可.(3)求一个复数的共轭复数，只需将此复数化为标准的代数形式，然后其实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数.(4)复数相等的充要条件是两个复数的代数形式的实部与实部相等、虚部与虚部相等，所以解决与复数相等有关的问题，可利用复数相等的充要条件，列出相关方程(组),把复数问题转化为实数问题进行求解.(5)求复数的模时，直接根据复数的模的公式|a+bi|=和性质=;进行计算.若已知复数的模求解相关量，则先根据复数的运算法则把复数化为标准的代数形式，再根据题目中关于复数的模的条件建立相应的关系式，或根据复数的模的定义，把问题转化为实数问题进行解决.2.复数几何意义的应用策略对复数的几何意义的考查往往以复数的运算为载体，简单考查复数的几何意义.其一般步骤如下：第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准形式；第二步，把复数问题转化为复数与复平面内的点、复数与平面向量之间的关系问题，依据是复数a+bi(a,b∈R)与复平面上的点(a,b)一一对应，复数a+bi(a,b∈R)与平面向量OZ(O为坐标原点，Z为点(a,b))一一对应1.3对点训练（四年省市模考）一．虚数单位i、复数（共1小题）1．（2020•福建二模）若，则A． B．0 C．1 D．2【分析】化简复数，利用复数的相等即可得出，．再进行乘方运算即可．【解答】解：，，则，，，故选：．【点评】本题考查了复数的相等，属于基础题．二．复数的代数表示法及其几何意义（共10小题）2．（2023•莆田模拟）已知，则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据复数的乘法求复数，再根据复数的几何意义分析判断．【解答】解：由题意可得：，所以复数对应的点为，位于第四象限．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．3．（2023•泉州模拟）在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．【解答】解：，复数对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．（2023•福州模拟）在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】设，然后由复数除法运算得，根据对应的点在第二象限可解．【解答】解：设，则，因为复数对应的点位于第二象限，所以，得，所以复数对应的点在第三象限．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．5．（2022•福州模拟）设复数满足，则复平面内与对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据已知条件，先对化简，再结合复数的几何意义，即可求解．【解答】解：，，复平面内与对应的点位于第一象限．故选：．【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．6．（2022•漳州模拟）复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限为A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：设复数，则，，，复数在复平面内对应的点在以为圆心，2为半径的圆上，故在复平面内对应的点所在的象限为第一象限．故选：．【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．7．（2022•漳州模拟）已知，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．【解答】解：，，在复平面内对应的点，位于第四象限．故选：．【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．8．（2021•漳州模拟）若，其中，，则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先利用复数的乘法运算化简，然后利用复数相等列出方程，求出，的值即可．【解答】解：因为，所以，故，解得，所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．故选：．【点评】本题考查了复数的运算，主要考查了复数相等的应用，属于基础题．9．（2021•厦门一模）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】将复数表示出来，然后分子分母同乘分母的共轭复数，化简即可求出所求．【解答】解：因为，所以，所以复数在复平面内对应的点为．故点在第三象限．故选：．【点评】本题主要考查了复数的代数表示及其几何意义，同时考查了运算能力，属于基础题．10．（2020•厦门一模）若复数满足，在复平面内对应的点为，则A． B． C． D．【分析】根据条件可得，化简即可得到在复平面内对应的点的轨迹．【解答】解：在复平面内对应的点为，，，，故选：．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．11．（2022•厦门模拟）在复平面内，复数对应的点位于直线上，则．【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：，又复数对应的点位于直线上，，解得．故答案为：．【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的几何意义，属于基础题．三．纯虚数（共5小题）12．（2023•泉州模拟）已知复数为纯虚数，则实数等于A． B．0 C．1 D．2【分析】根据复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果．【解答】解：因为为纯虚数，所以，解得．故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．13．（2022•泉州模拟）若，是虚数单位）是纯虚数，则A．1 B． C． D．2【分析】根据纯虚数的定义求出的值，根据复数的运算性质以及复数求模求出的值即可．【解答】解：若，是虚数单位）是纯虚数，则，解得：，故，则，故选：．【点评】本题考查了纯虚数的定义，考查复数的运算以及复数求模问题，是基础题．14．（2021•泉州二模）已知复数，其中，．若为纯虚数，则A．， B．， C．， D．，【分析】由题意利用纯虚数的定义，求得、的值，可得结论．【解答】解：复数，其中，，若为纯虚数，则，且，故选：．【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．15．（2020•福州三模）设为虚数单位，若纯虚数满足，则实数等于A．2 B．1 C． D．【分析】利用复数的运算法则化简，再根据为纯虚数，即可得出．【解答】解：，，，．为纯虚数，，．解得．故选：．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（2021•莆田模拟）写出一个虚数，使得为纯虚数，则．【分析】设，，，利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：设，，，则为纯虚数，，，取，，则，故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．四．共轭复数（共12小题）17．（2023•福建模拟）已知是方程的一个根，则A．1 B． C． D．2【分析】根据实系数一元二次方程的性质，结合共轭复数、复数模的性质进行求解即可．【解答】解：因为方程是实系数方程，且△，所以该方程有两个互为共轭复数的两个虚数根，即，故．故选：．【点评】本题主要考查共轭复数的概念，以及复数模公式，属于基础题．18．（2023•南平模拟）已知，则A． B．1 C． D．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】解：，则．故选：．【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．19．（2022•三明模拟）已知复数的共轭复数为，，则A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念和复数代数形式的乘法运算，即可求解．【解答】解：，，．故选：．【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．20．（2022•莆田模拟）若复数，则A． B． C． D．【分析】利用共轭复数的定义、复数的四则运算求解即可．【解答】解：复数，则，故选：．【点评】本题考查了共轭复数的定义、复数的四则运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21．（2022•龙岩模拟）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．【解答】解：，，，复数在复平面内对应的点，位于第四象限．故选：．【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．22．（2020•龙岩一模）设，则A． B． C． D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，．故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．23．（2021•南平模拟）复数满足，则复平面上表示复数的点位于A．第一或第三象限 B．第二或第四象限 C．实轴 D．虚轴【分析】设，，由，利用复数的运算法则、复数相等、几何意义即可得出．【解答】解：设，，，，，，与不全为0，复平面上表示复数的点位于第二或第四象限，故选：．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．24．（2021•漳州一模）已知为虚数单位，复数满足，则A． B． C． D．【分析】由，，再利用复数的运算法则及共轭复数的定义即可得出．【解答】解：，，，，则，故选：．【点评】本题考查了复数的运算法则及共轭复数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25．（2021•龙岩一模）若复数满足为虚数单位），则的共轭复数的虚部为A．2 B． C． D．【分析】根据复数除法运算法则求出复数，然后根据共轭复数的定义求出，最后根据虚部的定义可求出所求．【解答】解：因为，所以，所以，即的共轭复数的虚部为，故选：．【点评】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数和虚部的定义，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．26．（2020•漳州一模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为A． B． C． D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：，，，，，共轭复数的虚部为，故选：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．27．（2020•福建二模）已知复数的共轭复数为，且满足，则A． B． C．3 D．5【分析】把复数设出来，由复数相等求出，再求模．【解答】解：设，则，，即，，，即．则．故选：．【点评】本题主要考查复数模长的计算，共轭复数，比较基础．28．（2020•厦门一模）复数的共轭复数是A． B． C． D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：，复数的共轭复数是．故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．五．复数的模（共15小题）29．（2023•莆田模拟）设为虚数单位，，则A．1 B． C． D．2【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：，则，即，故．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．30．（2023•漳州模拟）复数满足，则A． B． C． D．2【分析】设，由已知列式求解，的值，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：令，，，整理得．，，整理得．，则．故选：．【点评】本题考查复数模的求法，是基础题．31．（2020•宁德二模）已知，则A． B． C． D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．【解答】解：由，得，则．故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．32．（2023•漳州模拟）已知复数为复数的共轭复数，且满足，在复平面内对应的点在第二象限，则A． B． C．1 D．【分析】根据共轭复数的定义，利用复数的运算以及复数相等，建立方程组，结合复数的几何意义，可得实部与虚部，根据复数的模长公式，可得答案．【解答】解：设，在复平面内对应的点在第二象限，故，，则，即，由，得，结合，，解得，则，故．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．33．（2023•龙岩模拟）若复数满足，则A．5 B． C．3 D．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：，则，故．故选：．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．34．（2023•福州模拟）已知，则A．2 B． C．4 D．10【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：，，则，故．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．35．（2021•福州一模）设复数，则满足的复数有A．7个 B．5个 C．4个 D．3个【分析】表示出，得到，而，，求出或0，代入求出的值，求出即可．【解答】解：，，，，，，而，，或0，时，，时，，1，2，综上：，，，，，故选：．【点评】本题考查了复数的运算，考查复数求模，是基础题．36．（2021•厦门二模）已知为虚数单位，，则A．5 B．7 C．9 D．25【分析】把已知等式变形求得，再由求解．【解答】解：由，得，．故选：．【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．37．（2021•莆田二模）是虚数单位，复数满足，则A．10 B． C．8 D．【分析】利用复数的原式法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：，，，则，故选：．【点评】本题考查了复数的原式法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．38．（2019•福州一模）设复数满足，则A． B．1 C． D．2【分析】根据复数的运算法则先求出，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解法一：因为，所以，故选．解法二：因为，所以，所以，故选：．【点评】本题主要考查复数的模长的计算，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．39．（2020•漳州三模）若复数的模为1，则不可能是A． B． C． D．【分析】对四个选项中的复数分别计算求模即可．【解答】解：，又通过计算，，对应复数的模都等于1，则不可能是，故选：．【点评】本题主要考查复数的乘除运算及模长的计算，比较基础．40．（2020•漳州三模）已知复平面内点，分别对应复数和，则向量的模长为A．1 B． C． D．3【分析】求出向量对应的坐标，进而求解结论．【解答】解：因为复平面内点，分别对应复数和，则，；故；故向量的模长为：；故选：．【点评】本题考查复数的几何表示以及向量的模长，考查计算能力，是基础题．41．（2020•莆田一模）若，则A． B． C．3 D．5【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．【解答】解：，，则．故选：．【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．42．（2022•泉州模拟）设，为复数，则下列命题正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或【分析】根据向量的模和复数运算法则判断；通过反例判断．【解答】解：对于，设，，，，，，，，，，，故正确；对于，令，，则，此时，故错误；对于，令，，则，此时，故错误；对于，设，，，，，，则，，，，若，则成立，此时，若，，由，知，由知，，此时，同理可知：当时，，由，得，，此时，综上，若，则或，故正确．故选：．【点评】本题考查命题真假的判断，考查复数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．43．（2021•厦门模拟）若复数，，为虚数单位）满足，写出一个满足条件的复数．【分析】利用已知以及模的运算公式建立方程，求出的值，进而可以求解．【解答】解：因为复数，，为虚数单位）满足，所以，即，解得，，所以满足条件的复数可以为，故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到模的运算性质，属于基础题．命题点二：复数的四则运算1.1母题精析（三年高考真题）一．复数的运算（共10小题）1．（2023•新高考Ⅰ）已知，则A． B． C．0 D．1【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：，则，故．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．2．（2023•甲卷）若复数，，则A． B．0 C．1 D．2【分析】根据复数的运算法则和复数相等的定义，列方程组求出的值．【解答】解：因为复数，所以，即，解得．故选：．【点评】本题考查了复数的运算法则和复数相等的应用问题，是基础题．3．（2022•新高考Ⅱ）A． B． C． D．【分析】由已知结合复数的四则运算即可求解．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．4．（2022•甲卷）若，则A． B． C． D．【分析】由已知求得，代入，则答案可求．【解答】解：，，则．故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．5．（2022•乙卷）设，其中，为实数，则A．， B．， C．， D．，【分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解．【解答】解：，，即，解得．故选：．【点评】本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．6．（2022•全国）已知，则A． B．1 C． D．3【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】解：，．故选：．【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．7．（2021•浙江）已知，为虚数单位），则A． B．1 C． D．3【分析】利用复数相等的定义求解即可．【解答】解：因为，即，由复数相等的定义可得，，即．故选：．【点评】本题考查了复数相等定义的理解和应用，属于基础题．8．（2021•全国）的共轭复数A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】解：，．故选：．【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．9．（2023•天津）已知是虚数单位，化简的结果为．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求解即可．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题．10．（2022•天津）已知是虚数单位，化简的结果为．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：，故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题．1.2解题模型1.复数四则运算的运算法则（1）（2）其中，叫z的模；是的共轭复数．（3）．2.复数四则运算的常用结论（1）（2）.（3）；（4），，，1.3对点训练（四年省市模考）一．复数的运算（共21小题）1．（2023•三明三模）复数的共轭复数为，为虚数单位），则A．1 B． C．2 D．4【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：，则，故．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．2．（2023•厦门模拟）复数，在复平面内对应的点分别为，，则A． B． C． D．【分析】首先根据复数的几何意义求复数，再根据复数的乘法公式求解．【解答】解：由复数的几何意义可知，，，则．故选：．【点评】本题主要考查了复数的运算，考查了复数的几何意义，属于基础题．3．（2022•漳州模拟）若复数满足，则A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：，为纯虚数，设，，，即，解得，．故选：．【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数模公式，属于基础题．4．（2022•泉州模拟）若复数，则A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】解：，则，故，，故错误，，故正确；，故错误．故选：．【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．5．（2022•南平模拟）已知复数，则复数的虚部为A． B． C． D．【分析】由复数的运算，结合复数的概念求解即可．【解答】解：，则复数的虚部为，故选：．【点评】本题考查了复数的运算，重点考查了复数的概念，属基础题．6．（2022•莆田模拟）设，则A． B． C． D．【分析】利用复数的运算性质化简即可求解．【解答】解：由题意可得，故选：．【点评】本题考查了复数的运算性质，考查学生的运算能力，属于基础题．7．（2022•龙岩模拟）复数满足，则A．2 B． C． D．【分析】利用复数的四则运算法则即可得出．【解答】解：，，，，．故选：．【点评】本题考查了复数的四则运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（2022•厦门模拟）复数的虚部为A． B． C．2 D．4【分析】根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．【解答】解：，复数的虚部为2．故选：．【点评】本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．9．（2022•三明模拟）已知复数满足，则的虚部为A． B． C． D．2【分析】根据复数模公式，先对化简，再结合虚部的定义，即可求解．【解答】解：，，即，的虚部为．故选：．【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及虚部的定义，属于基础题．10．（2021•漳州模拟）若复数，则A． B．1 C． D．0【分析】直接展开完全平方公式求解，结合共轭复数的概念得答案．【解答】解：，．故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．11．（2021•宁德三模）复平面内复数，对应的点关于实轴对称，若，则A． B． C． D．25【分析】根据复数在复平面内的几何意义求出复数，再利用复数的四则运算求解．【解答】解：复平面内复数，对应的点关于实轴对称，，，，故选：．【点评】本题主要考查了复数在复平面内的几何意义，考查了复数的四则运算，是基础题．12．（2020•南平三模）若复数在复平面内的对应点为，则的虚部为A． B． C．0 D．1【分析】由已知求得，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由题意得，，．的虚部为．故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．13．（2020•福州模拟）复数满足为虚数单位），则复数的模等于A． B． C． D．【分析】由复数的模的性质可得：，进而得出结论．【解答】解：为虚数单位），则．故选：．【点评】本本题考查了复数运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（2020•福州一模）在复平面内，复数对应的点与对应的点关于实轴对称，则A． B． C． D．【分析】由已知求得，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由题意，，则，故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．15．（2020•厦门模拟）已知复数（其中是虚数单位），则复数的虚部为A． B． C．1 D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，的虚部为．故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．16．（2020•宁德二模）复数在复平面上对应的点的坐标A． B． C． D．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数在复平面上对应的点的坐标．故选：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17．（2023•漳州模拟）已知复数满足，则A． B． C． D．【分析】根据复数的运算及复数的模、共轭复数的概念即可得解．【解答】解：，，，，，故选：．【点评】本题主要考查复数的运算及复数的模、共轭复数的概念，属于基础题．18．（2023•宁德模拟）已知复数满足，则5．【分析】设，，，根据复数的模及复数相等的充要条件得到方程组，解得、，即可求出，从而得解．【解答】解：设，，，则，因为，所以，所以，所以，即，所以．故答案为：5．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．19．（2023•厦门模拟）若，，则0．【分析】先利用题给条件求得，的值，进而求得的值．【解答】解：，又，则，解之得，则．故答案为：0．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．20．（2012•福州一模）已知是虚数单位，则复数．【分析】先把的分子分母同时乘以分母的共轭复数，得到，再由复数的乘除运算法则进行计算．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查得复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．21．（2023•泉州模拟）已知复数满足，，则2．【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．【解答】解：，则，即，解得，，．故答案为：2．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．三、类题狂刷（五年区模、校模）：一．复数的代数表示法及其几何意义（共9小题）1．（2023•思明区校级一模）已知是数满足，则对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数的运算化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论．【解答】解：因为，则，则，因此，对应的点，位于第一象限．故选：．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（2023•福建模拟）若复数满足，则在复平面上所对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解．【解答】解：，则，即，故在复平面上所对应的点位于第三象限．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数的几何意义，属于基础题．3．（2012•漳州二模）在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据所给的复数的代数形式，先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出复数的代数形式的标准形式，写出点的坐标，看出点的位置．【解答】解：复数，复数对应的点的坐标是复数对应的点的在第二象限，故选：．【点评】本题看出复数的代数形式的运算和复数的几何意义，本题解题的关键是正确运算复数的除法运算，本题是一个基础题．4．（2014•仙游县校级模拟）复数在复平面内的对应点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由于复数，在复平面内对应点的坐标为，从而得出结论．【解答】解：由于复数，在复平面内对应点的坐标为，故复数在复平面内的对应点在第二象限，故选：．【点评】本题主要考查复数的代数表示法及其几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．5．（2022•涵江区校级模拟）已知复数，则在复平面内对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出结论．【解答】解：，，，，，对应的点为，属于第二象限，故选：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（2022•福建模拟）复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点在A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．【解答】解：，复数对应的点的坐标为，在第一象限．故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．7．（2022•荔城区校级模拟）已知复数为虚数单位），复数满足，在复平面内对应的点为，则A．复数在复平面内对应的点位于第二象限 B． C． D．的最大值为【分析】根据题意，对选项中的命题真假性判断即可．【解答】解：对于，复数，则在复平面内对应的点位于第三象限，选项错误；对于，，所以选项错误；对于，因为，所以在复平面内对应的点满足，选项错误；对于，因为在复平面内对应的点表示圆，设圆心为，表示点为，且，所以的最大值为，选项正确．故选：．【点评】本题考查了复数的定义与应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．8．（2021•上杭县校级模拟）若复数满足，则在复平面内所对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先利用复数的运算法则求出复数的代数形式，由复数的几何意义得到对应的点的坐标，即可得到答案．【解答】解：因为，所以，所以在复平面内所对应的点为在第二象限．故选：．【点评】本题考查了复数的几何意义，考查了复数的运算法则的运用，解题的关键是求出复数的代数形式，属于基础题．9．（2023•鼓楼区校级模拟）已知复数，若在复平面内对应的点位于第四象限，写出一个满足条件的．【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解．【解答】解：当时，，其在复平面内对应的点位于第四象限．故答案为：3（答案不唯一）．【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．二．纯虚数（共1小题）10．（2012•集美区校级模拟）复数为纯虚数，则的取值是A．3 B． C． D．1【分析】实部为0而虚部不为0的虚数被称为纯虚数，由此定义建立关系式，不难得到本题的答案．【解答】解：是纯虚数且，解之得故选：．【点评】本题给出含字母参数的虚数为纯虚数，求参数的值，着重考查了复数的代数形式和纯虚数的定义等知识，属于基础题．三．复数的运算（共18小题）11．（2023•蕉城区校级模拟）设，若复数的虚部为3（其中为虚数单位），则A． B． C． D．3【分析】利用的性质和复数的除法运算化简求出其虚部，令其等于3可得答案．【解答】解：复数，因为其虚部为3，所以，可得．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．12．（2023•蕉城区校级一模）已知，则的虚部为A． B．2 C． D．【分析】根据复数的四则运算运算求解．【解答】解：因为，所以，所以的虚部为．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．13．（2023•鼓楼区校级模拟）已知，则的值为A． B．0 C．1 D．2【分析】根据复数的运算法则和复数相等，列方程组求出、的值．【解答】解：因为，所以，所以．故选：．【点评】本题考查了复数的运算与复数相等的应用问题，是基础题．14．（2023•泉州模拟）若复数所对应的点在第四象限，且满足，则A． B． C． D．【分析】根据题意求出，再根据复数所对应的点所在象限，即可求解．【解答】解：因为复数满足：，即，故或，因为复数所对应的点在第四象限，故复数，所以．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．15．（2023•晋安区校级模拟）在复平面内，复数满足，则A． B． C． D．【分析】利用复数的运算法则直接求解．【解答】解：在复平面内，复数满足，．故选：．【点评】本题考查复数的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（2023•思明区校级模拟）已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．【解答】解：，则，故，即的虚部为．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．17．（2023•宁德模拟）已知复数，，，则A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据复数的除法运算法则，可得，再利用复数相等的条件，即可得解．【解答】解：，因为，所以，所以，解得，所以．故选：．【点评】本题考查复数的运算，熟练掌握复数的代数运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18．（2012•集美区校级模拟）已知复数满足，则A． B． C． D．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：，故选：．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．19．（2023•福鼎市校级一模）已知复数满足（其中为虚数单位），则A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．【解答】解：，则．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．20．（2023•惠安县模拟）已知复数，则的值为A． B． C．0 D．1【分析】根据复数的性质计算可得，由此利用等比数列的前项和公式计算，即可求得答案．【解答】解：由于复数，故，，故．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．21．（2023•新罗区校级三模）已知复数满足，则复数的虚部为A．2 B． C． D．【分析】根据复数的模长和复数的代数运算可得答案．【解答】解：已知复数满足（其中为虚数单位），则，，则复数的虚部为2．故选：．【点评】本题考查复数的模长和代数运算，属于基础题．22．（2023•思明区校级模拟）若虚数使得是实数，则满足A．实部是 B．实部是 C．虚部是0 D．虚部是【分析】设，且，计算，由其为实数求得后可得．【解答】解：设，且，，是实数，因此，（舍去）或．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．23．（2022•德化县校级模拟）为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是A． B． C．的虚部为 D．在复平面内对应的点在第三象限【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质和几何意义，即可求解．【解答】解：，，，故错误，，故错误，的虚部为，故错误，在复平面内对应的点在第三象限，故正确．故选：．【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质和几何意义，属于基础题．24．（2022•三元区校级模拟）已知是虚数单位，若，则的值是A． B． C． D．1【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解．【解答】解：，则，，所以．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数相等的条件，属于基础题．25．（2021•思明区校级模拟）设为虚数单位，则复数的虚部为A． B． C． D．【分析】先利用复数的模长公式和复数的四则运算求出复数，再利用复数的虚部的定义求解．【解答】解：,复数的虚部为．故选：．【点评】本题主要考查了复数的四则运算，考查了复数的模长公式，考查了复数虚部的定义，是基础题．26．（2015•南安市校级模拟）复数A． B． C． D．【分析】直接利用两个复数代数形式的乘法法则，以及虚数单位的幂运算性质，求得结果．【解答】解：复数，故选：．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位的幂运算性质，属于基础题．（多选）27．（2023•思明区校级三模）设有下面四个命题p1：若复数z满足则z∈R；p2：若复数满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝；p4：若复数z∈R，则∈R其中的真命题为（）A．p1 B．p2 C．p3 D．p4【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数的四则运算，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：对于p1：设z＝a+bi（a，b∈R），则＝＝，若则b＝0，故z＝a∈R，故p1正确；对于p2：不妨令z＝i，满足z2∈R，但z∉R，故p2错误；对于p3：不妨令z1＝i，z2＝2i，满足z1z2∈R，但z1，z2不为共轭复数，故p3错误；对于p4：设z＝a+bi（a，b∈R），则，若z∈R，则b＝0，∈R，故p4正确．故选：AD．【点评】本题主要考查共轭复数的定义，复数的四则运算，以及特殊值法，属于基础题．28．（2023•鼓楼区校级模拟）在复平面内，复数对应的点为，则．【分析】由复数的几何意义得到复数，由共轭复数的概念得到，再由复数的除法运算法则即可求．【解答】解：在复平面内，复数对应的点为，，，．故答案为：．【点评】本题考查复数的几何意义及其四则运算、共轭复数，属于基础题．四．共轭复数（共10小题）29．（2023•蕉城区校级二模）已知非零复数满足，则的共轭复数是A． B． C． D．【分析】设复数，代入中化简，再利用复数相等的条件列方程组可求出，，从而可求出复数，进而可求出的共轭复数．【解答】解：设复数，由，得，化简得，所以，解得（舍去），或，所以，则．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．30．（2023•鼓楼区校级模拟）若复数满足为纯虚数，且，则的虚部为A． B． C． D．1【分析】设，利用复数除法运算和向量模长运算可构造方程求得的值，即为所求虚部．【解答】解：设，为纯虚数，，，又，，解得，的虚部为．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．31．（2023•南平模拟）如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（其中为“等部复数”，则复数在复平面内对应的点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据新定义求得的值，代入求得复数的代数形式，可得复数所对应的点的坐标，进而可得结果．【解答】解：，又“等部复数”的实部和虚部相等，复数为“等部复数”，，解得，，，即，复数在复平面内对应的点是，位于第一象限．故选：．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．32．（2022•上杭县校级模拟）已知复数，则A．2 B．3 C． D．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：，，．故选：．【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．33．（2023•仙游县校级模拟）设，则复数A． B． C． D．【分析】由已知利用复数的四则运算法则、共轭复数的定义即可得出方程组，进而得出结论．【解答】解：设复数，由，，，，解得．故选：．【点评】本题考查了复数的四则运算法则、共轭复数的定义、方程组，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．34．（2022•城厢区校级模拟）若，则的值为A． B．2 C． D．3【分析】由复数模的运算结合复数模的性质，求解即可．【解答】解：因为，所以，则，故选：．【点评】本题考查了复数的运算和复数模的性质，属基础题．35．（2022•荔城区校级模拟）复数，则A．10 B． C． D．【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的乘法法则，即可求解．【解答】解：，，．故选：．【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的乘法法则，属于基础题．36．（2021•鼓楼区校级模拟）复数，则的共轭复数A． B． C． D．【分析】利用复数的运算法则化简，然后根据共轭复数的定义得到．【解答】解：复数，则的共轭复数．故选：．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．37．（2023•石狮市校级模拟）已知复数满足为虚数单位），复数的共轭复数为，则A． B． C．复数的实部为 D．复数对应复平面上的点在第二象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】解：由，得，，故错误；，故正确；复数的实部为，故错误；复数对应复平面上的点的坐标为，，在第二象限，故正确．故选：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．38．（2023•鲤城区校级模拟）已知复数满足，则2．【分析】利用复数的四则运算法则及共轭复数的概念计算即可．【解答】解：．故答案为：2．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．五．复数的模（共18小题）39．（2023•新罗区校级模拟）复平面内复数满足，则的最小值为A．1 B． C． D．3【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：设，，则，即，即，表示以为圆心，1为半径的圆，，表示圆上的点到点之间的距离，故的最小值为．故选：．【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．40．（2023•鲤城区校级模拟）已知复数满足，则的最大值为A． B．2 C． D．3【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：设，，，表示以为圆心，1为半径的圆，圆上的点到的距离，故的最大值为．故选：．【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．41．（2023•思明区校级模拟）若为虚数单位，复数满足，则的最大值为A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：设，，，则，表示以为圆心，1为半径圆上和圆内的点，，表示圆上和圆内的点到点的距离，故的最大值为．故选：．【点评】本题主要考查复数模