AMATLAB微积分及泰勒级数计算

1、.,2.1 符号计算基础 2.2 微分运算 2.3 积分运算 2.4 泰勒级数 2.5 求解方程 2.6 积分变换,第2章 MATLAB符号计算,.,2.1 符号计算基础,2.1.1 符号对象 1. 建立符号变量和符号常数 (1)sym函数 S=sym(A) sym函数用来建立单个符号变量，例如，a=sym(a)建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。 定义符号常量 如pi=sym(pi) a=sym(3/4),.,例2.1考察符号变量和数值变量的差别。 在 MATLAB命令窗口，输入命令： a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d); %定

2、义4个符号变量 w=10;x=5;y=-8;z=11; %定义4个数值变量 A=a,b;c,d %建立符号矩阵A B=w,x;y,z %建立数值矩阵B det(A) %计算符号矩阵A的行列式 det(B) %计算数值矩阵B的行列式,.,例2.2 比较符号常数与数值变量在代数运算时的差别。 在 MATLAB命令窗口，输入命令： pi1=sym(pi);k1=sym(8);k2=sym(2);k3=sym(3); % 定义符号常数 pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3; % 定义数值变量 sin(pi1/3) % 计算符号表达式值 sin(pi2/3) % 计算数值表达式值 sqrt(k1)

3、 % 计算符号表达式值 sqrt(r1) % 计算数值表达式值 sqrt(k3+sqrt(k2) % 计算符号表达式值 sqrt(r3+sqrt(r2) % 计算数值表达式值,.,区别 数值数字并不能保证被完全准确存储，运算时也会引进截断误差； 符号类数字总是被准确记录和计算。,.,(2)syms函数 1.用于定义多个符号变量。 syms函数的一般调用格式为： syms var1 var2 varn 函数定义符号变量var1,var2,varn等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。,.,2. 建立符号表达式 例2.3用2种方法建立符号表达式。

4、 在MATLAB窗口，输入命令： U=sym(3*x2+5*y+2*x*y+6) %定义符号表达式U syms x y; %建立符号变量x、y V=3*x2+5*y+2*x*y+6 %定义符号表达式V 2*U-V+6 %求符号表达式的值,.,例2.4 计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。设A是一个由符号变量a,b,c确定的范得蒙矩阵。 命令如下： syms a b c; U=a,b,c; A=1,1,1;U;U.2 %建立范得蒙符号矩阵 det(A) %计算A的行列式值,例2.5 建立x,y的一般二元函数。 在MATLAB命令窗口，输入命令： syms x y; f=sym(f(x,y);,.,2.

5、1.2 基本的符号运算 (1)符号表达式的代数运算 与矩阵运算基本一致，详见P35。 (2)符号与数值的转换：sym，numeric，eval，sym2poly，poly2sym Numeric，eval：将符号常数转换为数字或计算表达式的函数； Sym2poly：将符号多项式变换为等价系数向量。 Poly2sym：要求用户指定用于表达式的变量（x，y等） 例2.6 f=sym(2*x2+7*x+9) n=sym2poly(f) f1=poly2sym(n,y),.,(3)因式分解与展开 factor(S) 对S分解因式，S是符号表达式或符号矩阵。 expand(S) 对S进行展开，S是符号表

6、达式或符号矩阵。 collect(S) 对S合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。 collect(S,v) 对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。,例2.7 对符号矩阵A的每个元素分解因式。 命令如下： syms a b x y; A=2*a2*b3*x2-4*a*b4*x3+10*a*b6*x4,3*x*y-5*x2;4,a3-b3; factor(A) %对A的每个元素分解因式,.,例2.8 计算表达式S的值。 命令如下： syms x y; s=sym(-7*x2-8*y2)*(-x2+3*y2); s1=expand(s) %对s展开 s2=collect(s,x) %对

7、s按变量x合并同类项(无同类项) factor(s2) % 对s2分解因式,.,(4)表达式化简 MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有： simplify(S) 应用函数规则对S进行化简。 simple(S) 调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。 例2.9化简 命令如下： syms x y; s=(x2+y2)2+(x2-y2)2; simplify(s) %应用函数规则对s进行化简。,.,(5) 符号表达式中变量的确定 MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的符号变量。该函数的调用格式为： findsy

8、m(S,n) 函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有指定n，则返回S中的全部符号变量。 在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLAB将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用findsym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上，MATLAB按离字符x最近原则确定缺省变量。,.,2.2 微分运算,2.2.1符号表达式的极限运算 limit 函数的调用格式为： limit(f,x,a) Limit(f) limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为： limit(f,x,a,right) limit(f,x,a,left),.,例2.10求极限。 在

9、MATLAB命令窗口，输入命令： syms a m x; f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a); limit(f,x,a) %求极限(1) f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x; limit(f) %求极限(2) limit(f,inf) %求f函数在x(包括+和-)处的极限 limit(f,x,inf,left) %求极限(3) f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a); limit(f,x,a,right) %求极限(4),.,2.2.2 符号函数求导及其应用 MATLAB中的求导的函数为： diff(f,x,n) diff函数求

10、函数f对变量x的n阶导数。参数x的用法同求极限函数limit，可以缺省，缺省值与limit相同，n的缺省值是1。,.,例2.11 求函数的导数。 命令如下： syms a b t x y z; f=sqrt(1+exp(x); diff(f) %求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理 f=x*cos(x); diff(f,x,2) %求(2)。求f对x的二阶导数 diff(f,x,3) %求(2)。求f对x的三阶导数 f1=a*cos(t);f2=b*sin(t); diff(f2)/diff(f1) %求(3)。按参数方程求导公式求y对x的导数 (diff(f1)*diff(f2,2

11、)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3 %求(3)。求y对x的二阶导数 f=x*exp(y)/y2; diff(f,x) %求(4)。z对x的偏导数 diff(f,y) %求(4)。z对y的偏导数 f=x2+y2+z2-a2; zx=-diff(f,x)/diff(f,z) %求(5)。按隐函数求导公式求z对x的偏导数 zy=-diff(f,y)/diff(f,z) %求(5)。按隐函数求导公式求z对y的偏导数,.,例2.12在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。 命令如下： x=sym(x); y=x3+3*x-2; %定义曲线函数 f=di

12、ff(y); %对曲线求导数 g=f-4; solve(g) %求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为4,.,2.3 积分运算,2.3.1 不定积分 在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其调用格式为： int(f,x) int函数求函数f对变量x的不定积分。参数x可以缺省，缺省原则与diff函数相同。,.,例2.13求不定积分。 命令如下： x=sym(x); f=(3-x2)3; int(f) %求不定积分(1) f=sqrt(x3+x4); f1=int(f) %求不定积分(2) g=simple(f1) %调用simple函数对结果化简,.,2.3.2 定积分 定积分在实际工

13、作中有广泛的应用。在MATLAB中，定积分的计算使用函数： int(f,x,a,b) 例2.14求定积分。,.,命令如下： x=sym(x);t=sym(t); int(abs(1-x),1,2) %求定积分(1) f=1/(1+x2); int(f,-inf,inf) %负无穷到正无穷求定积分(2) int(4*t*x,x,2,sin(t) %求定积分(3) f=x3/(x-1)100; I=int(f,2,3) %用符号积分的方法求 定积分(4),.,例2.15 轴的长度为10米，若该轴的线性密度计算公式是f(x)=6+0.3x千克/米(其中x为距轴的端点距离)，求轴的质量。 在MATLA

14、B命令窗口，输入命令： syms x; f=6+0.3*x; m=int(f,0,10),.,2.4常微分方程的求解,函数dsolve 该函数的调用格式为： dsolve(eqn1,condition,var) 该函数求解微分方程eqn1在初值条件condition下的特解。参数var描述方程中的自变量符号，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件condition，则求方程的通解。 dsolve在求微分方程组时的调用格式为： dsolve(eqn1,eqn2,eqnN,condition1,conditionN,var1,varN) 函数求解微分方程组eqn1、eqnN在初值条件condit

15、oion1、conditionN下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，var1、varN给出求解变量。,.,常微分方程（补充）,微分方程：凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫做微分方程。 常微分方程：未知函数是一元函数的，叫做常微分方程。 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数即是微分方程的阶。 一般地，n阶微分方程的形式是： 其中F是n+2个变量的函数，且 是必须出现 的，而小于n阶导数的变量不一定要出现。,.,dsolve 参数说明,(1)Eqn 微分方程输入方法： 例： 命令：Y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0,x) (2)condit

16、ion 初始条件 y(a)=b;Dy(a)=c;D2y(a)=d; 最多可接受12个输入参量,.,例2.18 求微分方程的通解。 命令如下： y=dsolve(Dy-(x2+y2)/x2/2,x) %解(1)。方程的右端为0时可以不写 y=dsolve(Dy*x2+2*x*y-exp(x),x) %解(2) y=dsolve(Dy-x/y/sqrt(1-x2),x) %解(3),例2.19 求微分方程的特解。 命令如下： y=dsolve(Dy=2*x*y2,y(0)=1,x) %解(1) y=dsolve(Dy-x2/(1+y2),y(2)=1,x) %解(2),.,2.5 积分变换 1.

17、傅立叶(Fourier)变换 在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是： fourier(fx,x,t) 求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。 ifourier(Fw,t,x) 求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。 2. 拉普拉斯(Laplace)变换 在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是： laplace(fx,x,t) 求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。 ilaplace(Fw,t,x) 求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。 3. Z变换 对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是： ztrans(fn,n,z) 求fn的z变换像函数F(z) iztrans(Fz

18、,z,n) 求Fz的z变换原函数f(n),.,傅立叶变换的定义及基本概念（补充）,令 为实变x的连续函数，如果 满足下面的狄里赫莱条件： （1）有有限个间断点 （2）有有限个极值点 （3）绝对可积,.,傅立叶变换的定义及基本概念,.,傅立叶变换的定义及基本概念,.,例2.20求函数的傅立叶变换及其逆变换。 命令如下： syms x t; y=abs(x); Fw=fourier(y,x,w) %求y的傅立叶变换 fx=ifourier(Fw,w,x) %求Ft的傅立叶逆变换 命令如下： f = exp(-x2) Ft=fourier(f) fx=ifourier(Ft),.,例2.21计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换. 命令如下： x=sym(x);y=x2; Ft=laplace(y,